导数在经济上的应用

一、边际分析第六节导数在经济上的应用第三章二、弹性分析3.6.1常用的经济函数导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第1页!3.6.1常用的经济函数需求函数:就是商品需求量与价格之间的函数关系。1.需求函数常见的需求函数有以下几种类型

(1)线性需求函数

导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第2页!(2)二次需求函数

(3)指数需求函数

一般来说，需求函数是价格的单调减少函数.导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第3页!(2)二次供给函数（略）

(3)幂供给函数

(4)指数供给函数

一般来说，供给函数是价格的单调增加函数.导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第4页!例3.6.1.

某商品的需求函数供给函数求均衡点。解：由均衡条件得：4.成本函数FC(q))和变动成本(variablecost,VC(q)).固定成本包括设备的固定费用和其他管理费用；变动成本是随销售量或有形成本函数：一个企业的成本包括固定成本(fixedcost产量的变化而变化。总成本=固定成本+可变成本，即平均成本函数导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第5页!5.收益函数与利润函数收益函数：生产者出售一定数量产品所得的全部收入，即收益=价格×售出量，即利润函数：利润是一个企业所追求的主要目标之一。利润L(q)是产量（或销售量）的函数，利润=收益-成本，生产者盈利；生产者亏损；生产者盈亏平衡；称为盈亏平衡点（又称保本点）导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第6页!例3.6.5设某产品的价格函数是其中p为价格（元），q为产品销售量。又设产品的固定成本为6000元，变动成本为20元/件。求成本函数、收益解：成本函数为收益函数利润函数函数和利润函数。导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第7页!最大利润：小结：一般地，当时，即时，总利润最大。例3.6.7.某商店以每台350元的价格每周可能售出CD唱机200台，市场调查指出，当价格降低10元时，一周的销售量可增加20台。求出价格函数和销售额函数,商店要达到最大销售额，应该把价格降低多少元导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第8页!2.最小成本问题：例3.6.8.某产品的成本函数为：求当产量为多少时，平均成本最小。解:平均成本：（只取正值）导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第9页!计划生产q

件产品后再多生产1件产品,成本的实际改变是:即:产品数量为q时，边际成本≈增减一件产品时成本的实际改变边际成本:(或少)2

边际成本函数导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第10页!3.边际收益函数总收益：边际收益函数：在销售了q

件产品后再多（或少）销售1件产品,收益的实际改变是:边际收益:含义:产品数量为q时，边际收益≈多(或少)售一件产品时收益的增加(或减少)量导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第11页!设q为商品售出量,4.边际利润函数总成本函数：利润函数：总收益函数：L=总收益–总成本边际利润：边际利润的含义:销售量为q时，边际利润≈再多售一件产品时利润的增加量(少售)(减少量)导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第12页!2.需求弹性设需求函数为P为产品的价格,当很小时，有故需求弹性近似地表示当价格为P时，价格变动1%，需求量将近似地变动%。所以需求弹性反映了需求量对价格变动反映的灵敏度。一般地，因为需求函数为单减函数，故需求弹性为负值。该函数在P点可导，则该产品在价格为P时的需求弹性：导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第13页!3.供给弹性：与需求弹性的定义类似。设供给函数为P为产品的价格,该函数在P点可为P时的供给弹性：所以供给弹性反映了供给量对价格变动反映的灵敏度。一般地，因为供给函数为单增函数，故供给弹性为正值。导，则该产品在价格当很小时，有故供给弹性近似地表示当价格为P时，价格变动1%，供给量将近似地变动%。导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第14页!例3.6.12设某种商品的需求函数为(1)求当P=4时的边际需求，并说明其经济意义。解(1)当P=4时的边际需求为说明当P=4时，价格提高1%时，需求量减少0.54%.说明当价格P=4时，价格提高1个单位，需求量减少8个(2)求当P=4时的需求弹性，并说明其经济意义。单位。导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第15页!(4)求当P=6时，若价格上涨1%，总收益将变化百分之几。是增加还是减少？（需求函数为由(3)的分析当P=6时，若价格上涨1%，总收益将减少0.85%。导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第16页!供给函数:就是商品供给量与价格之间的函数关系。需求函数的反函数称为价格函数。2.供给函数常见的供给函数有以下几种类型

(1)线性供给函数

导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第17页!需求函数供给函数均衡价格均衡量价格pQ供过于求供不于求3.均衡点导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第18页!例3.6.2如果已知某产品的成本C是产量q的线性函数，而时，；当时，，求出当时的成本是多少？解：设则解之得：所以将代入上式，得（元）实际上，6000是固定成本，是可变成本。导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第19页!例3.6.4某工厂生产的某产品，年产量为q台，每台售价为100元，当年产量超过800台，超过的部分只能以9折的价格出售，这样可以多出售200台。再多生产，将无法出售。试写出本年的收益函数。解：导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第20页!1.最大利润问题：3.6.2.最大值与最小值在经济问题中的应用举例例3.6.6.已知某产品的总收益函数为总成本函数为解：利润函数为,求产量为多少时总利润最大.这是L(q)唯一的驻点所以当q=20时总利润最大.导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第21页!例3.6.7.某商店以每台350元的价格每周可能售出CD唱机200台，市场调查指出，当价格降低10元时，一周的销售量解：设调价后每周能售出x台，可增加20台。求出价格函数和销售额函数,商店要达到最大而每多销售一台，则价格降低说明若价格降低所以销售额，应该把价格降低多少元则每周增加的销售量为故价格函数为：有唯一的极大值，即为最大值。销售额函数为：求其最大值：销售额可达到最大。导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第22页!1.边际函数：设函数称为f(x)在x

处的变化率。称为f(x)在平均变化率。所以，边际函数近似等于当自变量

从x处改变一个单位时，y相应的改变量称为边际函数。此时，实际上，经常省略“近似”。3.6.3导数在经济分析中的应用一.边际分析导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第23页!例3.6.9.某产品的总成本C(单位:元)和产量q的关系式为求生产100件和225件产品时的边际成本.解:经济含义:当产量为225件时,再增加1件产品,总成本将增加6元左右。经济含义:当产量为100件时,再增加1件产品,总成本将增加6.5元左右。导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第24页!其中p为单价,例3.6.10.

设产品的需求量为：求边际收益函数及q=20,50,70时的边际收益，并解释所得结果的经济意义。解：产品单价为总收益函数为边际收益函数：q=20时,再多售一件产品总收益将增加12个单位q=50时,再多售一件产品总收益不会增加q=70时,再多售一件产品总收益反而减少7个单位导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第25页!二.弹性分析

定义3.6.1设函数称为f(x)在x处的弹性（相对变化率）。1.函数弹性的概念边际函数是指函数的绝对改变量与绝对变化率，而函数的弹性是指相对改变量与相对变化率。可导，称为f(x)在和之间的弹性(平均相对变化率)。记为导数在经济上的应用共30页，您现在浏览的是第26页!例3.6.11设某种商品的需求量Q与价格P的关系为(1)求需求弹性；(2)当商品的价格为10元时，再提高1%，求商品需求量的变化情况。解(1)需求弹性为需求弹性为负，说明价格P提高1%时，需求量减少%。(2)当价格为10元时，说明当价格为10元时，价格提高1%时，需求量减少13.9%.价格降低1%时，需求量增加13.9%.导数在经济上的应用共30页，您现在浏