高二数学：5-3-1 函数的单调性与导数（人教A版选择性必修第二册）（解析版）

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h课时同步练5.3.1函数的单调性与导数一、单选题1．下列函数在区间上是增函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项，对于A，，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；对于B，，其导数为，在上，，则函数在上为减函数，不符合题意；对于C，，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；对于D，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；故选A．2．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故选C3．已知函数，则（）A．在上递增 B．在上递增C．在上递减 D．在上递减【答案】A【解析】依题意，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.对照选项可知：函数在上递增.故选A.4．函数的单调减区间是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题,对函数定义域,求导可得,令,可得.故选D.5．函数的单调递增区间（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得，解不等式，所以.所以函数的单调增区间为.故选C6．函数的单调递增区间是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)【答案】B【解析】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.7．若函数，则函数的单调递减区间为（）A． B． C．(0，3) D．【答案】C【解析】函数的定义域为：，因为，令并且，得：，所以函数的单调递减区间为(0，3).故选C.8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在区间单调递增，在区间上恒成立，则，而在区间上单调递减，，的取值范围是故选D．9．已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.因为在上不单调.所以在上有解，又在上单调递减，所以，，故.故选C10．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增区间”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增区间”，则“缓增区间”I为（）A．[1，＋∞) B．[0，] C．[0，1] D．[1，]【答案】D【解析】因为函数的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，，令(x≥1)，则，由g′(x)≤0得，即函数在区间上单调递减，故“缓增区间”I为，故选D.11．已知函数对于任意的满足,其中是函数的导函数,则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意构造函数,则.对于任意的满足,故,当时,,当时,,因此在单调递减,在单调递增.又因为,因此,因此有,化简得.故选B12．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数在区间上不是单调函数，所以在区间上有解，且不是重解.即可得，令，，则，当时，，函数单调递增.故的值域为.故选A.二、填空题13．函数的递减区间为_______【答案】，【解析】函数的定义域为，，故当时，，也即函数的递减区间为.故填.14．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.【答案】【解析】由题意可知，即对恒成立，所以，所以即.故填.15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】因为，所以，函数在上单调递增，可知在上恒成立，即，所以，即，则实数的取值范围是．故填．16．定义域为的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为_____________．【答案】.【解析】令，因为，所以.所以为单调增函数.因为，所以.所以当时，，即，得，解集为故填17．已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】令，则为奇函数，且为增函数，所以故填18．已知函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围______．【答案】【解析】函数的定义域为，.令，可得或；令，可得.所以，函数的单调增区间为和，单调递减区间为.由于函数在上单调，则为以上三个区间的子集.①若，可得；②若，可得，解得；③若，则.因此，实数的取值范围是.故填.三、解答题19．已知函数.（1）求在处的切线的方程；（2）求函数的单调区间.【解析】（1）函数，则，故在处的切线的斜率，故切线的方程是，即；（2）令，得或，令，得，故函数的单调增区间是，单调减区间是.20．已知函数的导函数的一个零点为．（1）求a的值；（2）求函数的单调区间．【解析】（1），由，得．（2）由（1）得，则．令，得或．当时，；当时，或．因此的单调递增区间是，单调递减区间是．21．已知函数，.（1）若与在处相切，求的表达式；（2）若在上是减函数，求实数的取值范围.【解析】（1），，又与在处相切，，解得：，，即，解得：，；（2）在上是减函数，即在上是减函数，在上恒成立，即在上恒成立，则在上恒成立，又在上单调递增，，，解得：，即实数的取值范围是.22．已知函数.（1）若函数在区间上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）讨论函数的单调性.【解析】（1）由题意得，.①当时，，函数单调递减.②当时，令，∵函数在区间上是单调函数，∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立.令，∵，当且仅当时取等号，∴，∴当时，函数单调递增，∴实数a的取值范围是.（2）由（1）可知，