以《比的意义》教学为例

以《比的意义》教学为例缘起：由一节课引起的思考《比》是小学数学六年级上学期一个非常重要的内容。由于比和除法联系十分密切，这一部分内容过去一直编排在“分数除法”单元里。修订后，把“比”这部分的内容单独分拆出来，编者的想法是为了突出“比和比例”的独立性、重要性。在学习“比”的意义之前，学生已经掌握了除法的意义、分数的意义、分数与除法的关系等知识，会进行分数乘、除法计算，会解答有关分数乘、除法的实际问题。通过学习“比”的意义，学生不仅能加深对除法的意义、分数的意义以及分数乘、除法的理解，还能通过分数、除法和比三者关系的沟通，建立起新的知识结构，把握知识的本质，又可以为后面学习圆周率、百分数、比例等相关的知识打下良好的基础。通过研究，笔者发现大多数教学设计基本上都是跟着教材走流程：先通过国旗的长和宽的关系“长是宽的15倍”，指出长和宽的倍数关系还可以用“长和宽的比是3:2”反之，由“宽是长的2/3”得到“宽和长的比是2:3”，然后让学生观察，因为3÷2=15=3/2，由此可得3÷2和3:2是有密切联系的；然后介绍路程和时间的关系也是相除关系，也可以写成比，最后学生观察归纳，得出“两个数的比表示两个数相除”，然后就进入自学比的各部分名称、比值的含义、比的后项不能为0、比和除法、分数的各部分的联系阶段。这样的教学过程本也无可厚非，但是这样的教学过程，很难让学生对“比”的本质有所感悟。特别是部分教师在教学实践中，前面的流程往往走得很快，特别注重的是“比”的意义中的写比的技巧（比如“A和B的比，A写前面，B写后面”）、比值的计算、已知比值和前项（或者后项）求后项（或者前项）等，而忽视了在课堂教学中突出“比”的概念的本质，学生只是机械的模仿写比，并未真正理解比的意义，更谈不上体会比在生活中的应用价值。我们知道，要实现数学学科核心素养培养目标，最终都要在课堂教与学的过程中达成的。下面就谈谈我在《比的意义》的教学中是如何用好教学用书，聚焦概念本质进行教学的。精研教学用书，进行教学探索一、借助用书准确定位，明确教学目标《教学用书》教学总目标和要求是：“理解比的意义和性质，会”对《比》这一单元的总的要求是：“理解比的意义，知道比与分数、除法的关系；……在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系……的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间的内在联系，把握数学知识的本质；经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程，感受数学知识在日常生活中的应用价值。”而“比的意义”这一节的具体要求是“引导学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程。借助学生的生活经验和学习经验，通过情境设计，引发学生思考和讨论，在理解比的现实背景的基础上，逐步抽象出比的概念，理解比的意义。”由此，笔者把这节课的教学目标定位为：1、使学生在已有知识基础上认识比，感受现实背景中的比，能“从量与量之间的关系这一角度”理解具体情境中的比的含义。了解比与分数、除法的关系，能根据要求写出两个数量的比；知道比的各部分名称，掌握比的读、写法，会求比值。2、让学生在探索并理解比的意义的过程中，体会知识之间的内在联系，培养初步的观察比较、抽象概括、分析综合的能力。3、使学生在学习中积累数学活动的经验，体会数学知识的应用价值。二、借助用书参考设计，确定教学环节《教学用书》里不但有教学目标、内容、要求、教学建议，还有推荐的教学设计或者教学片段。在设计教学的时候，可以有选择地进行参考，进行教学设计。比如《比的意义》在教学用书，宽10厘米；另一面长60厘米，宽40厘米。国旗法规定：五星红旗的长宽之比是3:2。这两面国旗是否符合规定？（1）清洁剂和水的比是1:8；师：这里的清洁剂和水的关系，和前面例题里的一样吗？这个比是什么意思？生：这里表示清洁剂要放1份，水要放8份。清洁剂是水的1/8，水是清洁剂的8倍。师：表示的都同样是清洁剂和水的关系，为什么写出的比不同呢？生：因为同样是放一份清洁剂，但是水的体积不同了，前面的比，水放4份，这里是8份。师小结：同样的情景，数量变化了，两个量的关系就变化了，写出的比就不一样了。（2）妈妈做牛奶面包，放了5杯牛奶，2杯面粉。师：你能用一个比来表示牛奶和面粉体积间的关系吗？生1：我写出的是5:2。生2：我写出的是2:5。师：他们写出的比都能表示牛奶和面粉的体积关系吗？（有的学生点头，有的摇头）生3：5：2和2:5是相反的，不可能两个都对。师：同样是表示这两个数量之间的关系，为什么写出来的比不同呢？生4：我认为生1写出的是牛奶和面粉的体积比，生2写出的是面粉和牛奶的体积比。师小结：虽然他们写出的都是牛奶和面粉的体积关系，但是5:2表示的是牛奶和面粉的体积之比，2:5表示的是面粉和牛奶的体积之比，写比的时候要看清楚谁和谁比。比是有顺序的。（3）课室里有2面国旗：一面长15cm，宽10厘米；另一面长60厘米，宽40厘米。国旗法规定：五星红旗的长宽之比是3:2。这两面国旗是否符合规定？生1：五星红旗的长宽之比是3:2，也就是说长是3份，宽是2份，15:10就等于3:2。（师追问为什么相等，生回答不出）生2：我是这么想的，把长方形的长15厘米平均分成3份，每份就是5厘米，宽刚好是这样的2份，所以我认为第一面国旗是符合规定的；同样道理，把第二面红旗的长平均分成3份的话每份就是2022，宽应该是40厘米，所以第二面国旗也是符合规定的。师小结：也就是说，3:2代表的是国旗的长和宽之间的一种不变的关系，虽然国旗的长和宽都变化了，但是这种内在的关系是不变的。（4）引导思考比的意义师：通过上面对比的学习，你对比有了哪些认识？生：我知道了比表示两个数量之间的关系。生：比前后不能调转，比是有顺序的。【设计意图：通过情景1的引入，学生体会到比让学生进一步理解比的实际含义，大量感知，对比归纳，体会比是一种两个量进行比较的状态。】3、深入研究，让学生掌握“比”的本质情境3理解不同类量的比的意义小明和小花都买了一些苹果。他们买的苹果和花的钱数如下表：师：这里有哪几个数量？可以怎样表示总价和数量之间的关系？生：10÷2=5（元）,15÷3=5（元）【师板书】师：小明买苹果的总价和数量之间的关系，也可以用10:2来表示。那小花买苹果的总价和数量的关系，可以怎样表示呢？生：可以用15:3表示。师：5元表示什么呢？生：表示每千克苹果的价钱。师：（课件上表格多出现1列，如图）师小结：买苹果的总价和买的数量对应起来，也可以用比表示。这时还出现了一个新的量：每千克苹果的价钱。我们经常会遇到类似的数量关系。出示：一辆小汽车，2小时行驶了12022。某商店进行促销，买3把牙刷，送1支牙膏。师：第（1）题里知道了哪两个量？可以怎样表示它们之间的关系？生1：第一题知道了路程和时间，可以用12022=60（千米/时）。师：如果用比怎样表示？生1：可以用12022。【师板书】师：第（2）小题里的两个量有像刚刚这样的数量关系吗？（生纷纷摇头表示不知道）如果买6把牙刷，送几支牙膏？（2支）那你能想到怎样表示购买的牙刷和牙膏之间的关系吗？生2：我认为可以用“3:1”表示每支牙膏要买3支牙刷才能送。师小结：像上面这样的，两个有关联的数量之间，也可以用比来表示它们的对应关系。情境4归纳概括比的意义师：回顾刚才研究过的问题，请你想一想，比表示的是两个数量之间怎样的关系？生1：两个数量间是除法关系，比如总价除以数量，路程除以时间。生2：清洁剂和水的比是1:8，表示清洁剂是水的1/8，也可以用除法来算。师：所以，两个数的比可以表示两个数量的相除关系。（板书：两个数的比可以表示两个数量的除法关系）有时候，两个数的比表示这两个数量之间的倍数关系；有时候，两个数的比表示这两个数量之间的对应关系，这种对应关系会产生一个新的量。【设计意图：学生通过多个生活实例，已经对“比”有了进一步的了解，他们知道比表示两个量之间的关系，但是这种关系是基于“倍数”和“份”去理解，只停留在这里，是很难理解不同类的两个量之间的比的。这一环节先结合学生熟悉的行程问题和购物问题里的数量关系，理解不同类量的比之间的对应关系也能用比表示，然后与前面的例题进行对比、归纳出比的最核心本质——无论是两个数量的倍数关系，还是两个数量的对应关系，只要是除法关系，就可以用两个数的比来表示。】4、生活应用，让学生明确“比”的价值情境5体会比的实际价值师：我们已经知道了比的意义，也知道了比和除法、分数有密切的联系。爱思考的同学不禁要问：既然比表示除法关系，我们已经学习了除法和分数，为什么还要学习比呢？【出示图片】请你读一读下面的信息，再交流意见。制作牛奶面包时，牛奶和面粉的比是5:2，妈妈放了5杯牛奶，2杯面粉，做出了香喷喷的牛奶面包；面包厂做面包，工人师傅在搅拌器里放入50桶牛奶和2桶面粉，同样做出了美味的面包。调和油的花生油、菜籽油、玉米油之比是1:1:1师：如果把牛奶和面粉的比换成：牛奶是面粉的25倍，或者面粉是牛奶的2/5，你觉得怎样？生1：很不方便。现在直接按照这个比，用杯子或者碗、甚至桶来量都很方便，变成了倍数以后还要先算一下放多少。生2：工人师傅如果不会算，就做不好面包了。还是用比方便，直接看出各种配料房多少份。师：怎样用除法表示调和油里三种油的比？生：两个数量的我会，三个的不知道。师小结：用比表示数量间的相除关系，更直观、清楚，而且还能直接表示多于两个量之间的关系。【设计意图：学生通过前几个环节的学习，已经懂得了两个量之间的除法关系可以用比表示，这时候必然会产生疑惑：既然已经有除法了，为什么还要学习比呢？比对于除法来说有什么存在价值？本环节就是针对学生在学习“比”后的这一疑惑而设计的。通过几个实例，启发学生反思，体会“比”在表达信息时，是直接描述两个量甚至于多个量之间的一种状态，比如前面说的清洁剂和水的比是1:4，现实生活中只