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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于().A. B. C. D.2.设函数定义域为全体实数,令.有以下6个论断:①是奇函数时,是奇函数;②是偶函数时,是奇函数;③是偶函数时,是偶函数;④是奇函数时,是偶函数⑤是偶函数;⑥对任意的实数,.那么正确论断的编号是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤3.已知函数()的部分图象如图所示,且,则的最小值为()A. B.C. D.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸5.已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,,则的面积为()A. B. C. D.6.已知复数,则对应的点在复平面内位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7.已知下列命题:①“”的否定是“”;②已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题;③“”是“”的充分不必要条件;④“若,则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为()A.③④ B.①② C.①③ D.②④8.已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入A. B.C. D.9.如图,在中,,是上的一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.10.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的值为()A.0 B.1 C. D.11.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()A.函数在上单调递增 B.函数的周期是C.函数的图象关于点对称 D.函数在上最大值是112.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A,若|OA|=|OF|,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.+1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值是.14.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为________.15.设函数,则______.16.设随机变量服从正态分布,若,则的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知二阶矩阵A=abcd,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α118.(12分)已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线与椭圆C交于两点,是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.19.(12分)如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时,需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8:30之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数,具体数据如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A个数91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数12241515151215151524从这20天中随机选取一天,随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.(Ⅰ)求X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个,至少需要增加几名维修工人?(只需写出结论)21.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点分别为、,焦距为2,直线与椭圆交于两点(均异于椭圆的左、右顶点).当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时,四边形的面积为6.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线的斜率分别为.①若,求证:直线过定点;②若直线过椭圆的右焦点,试判断是否为定值,并说明理由.22.(10分)如图,三棱锥中,点,分别为,的中点,且平面平面.求证:平面;若,,求证:平面平面.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.2、A【解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数,则,所以,所以是偶函数;当是奇函数时,则,所以,所以是偶函数;当为非奇非偶函数时,例如:,则,,此时,故⑥错误;故③④正确.故选:A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义,掌握奇偶性定义是解题的关键,属于基础题.3、A【解析】
是函数的零点,根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得.【详解】由题意,,∴函数在轴右边的第一个零点为,在轴左边第一个零点是,∴的最小值是.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的周期性,考查函数的对称性.函数的零点就是其图象对称中心的横坐标.4、B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.5、A【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选:A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.6、A【解析】
利用复数除法运算化简,由此求得对应点所在象限.【详解】依题意,对应点为,在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点的坐标所在象限,属于基础题.7、B【解析】
由命题的否定,复合命题的真假,充分必要条件,四种命题的关系对每个命题进行判断.【详解】“”的否定是“”,正确;已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题,正确;“”是“”的必要不充分条件,错误;“若,则且”是假命题,则它的逆否命题为假命题,错误.故选:B.【点睛】本题考查命题真假判断,掌握四种命题的关系,复合命题的真假判断,充分必要条件等概念是解题基础.8、C【解析】
由于中正项与负项交替出现,根据可排除选项A、B;执行第一次循环:,①若图中空白框中填入,则,②若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第二次循环:由①②均可得,③若图中空白框中填入,则,④若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第三次循环:由③可得,符合题意,由④可得,不符合题意,所以图中空白框中应填入,故选C.9、B【解析】
变形为,由得,转化在中,利用三点共线可得.【详解】解:依题:,又三点共线,,解得.故选:.【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参数方程:三点共线⇔(为平面内任一点,)10、A【解析】
根据输入的值大小关系,代入程序框图即可求解.【详解】输入,,因为,所以由程序框图知,输出的值为.故选:A【点睛】本题考查了对数式大小比较,条件程序框图的简单应用,属于基础题.11、A【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式;利用整体对应的方式可判断出在上单调递增,正确;关于点对称,错误;根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误;根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得,错误.【详解】将横坐标缩短到原来的得:当时,在上单调递增在上单调递增,正确;的最小正周期为:不是的周期,错误;当时,,关于点对称,错误;当时,此时没有最大值,错误.本题正确选项:【点睛】本题考查正弦型函数的性质,涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解;关键是能够灵活应用整体对应的方式,通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.12、B【解析】
以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,可求出点,则,整理计算可得离心率.【详解】解:以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,取第一象限的解得,即,则,整理得,则(舍去),,.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,考查学生的计算能力,是中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】试题分析:由三角函数定义知,又由诱导公式知,所以答案应填:.考点:1、三角函数定义;2、诱导公式.14、【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标,并将该交点代入抛物线的方程,即可求出实数的方程.【详解】双曲线的半焦距为,则双曲线的右准线方程为,渐近线方程为,所以,该双曲线右准线与渐近线的交点为.由题意得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数,涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用,考查计算能力,属于中等题.15、【解析】
由自变量所在定义域范围,代入对应解析式,再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加,即为答案.【详解】因为函数,则因为,则故故答案为:【点睛】本题考查分段函数求值,属于简单题.16、1【解析】
由题得,解不等式得解.【详解】因为,所以,所以c=1.故答案为1【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、A=【解析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知,Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵,只需运用定义得出方程组即可求出结果,较为简单18、(1);(2)存在,当时,以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.【解析】
(1)设椭圆的焦半距为,利用离心率为,椭圆的长轴长为1.列出方程组求解,推出,即可得到椭圆的方程.(2)存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点.设点,,,,将直线的方程代入,化简,利用韦达定理,结合向量的数量积为0,转化为:.求解即可.【详解】解:(1)设椭圆的焦半距为c,则由题设,得,解得,所以,故所求椭圆C的方程为(2)存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下:设点,,将直线的方程代入,并整理,得.(*)则,因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O,所以,即.又,于是,解得,经检验知:此时(*)式的,符合题意.所以当时,以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O【点睛】本题考查椭圆方程的求法,椭圆的简单性质,直线与椭圆位置关系的综合应用,考查计算能力以及转化思想的应用,属于中档题.19、(1)见解析(2)【解析】
(1)连结BM,推导出BC⊥BB1,AA1⊥BC,从而AA1⊥MC,进而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推导出四边形AMNP是平行四边形,从而MN∥AP,由此能证明MN∥平面ABC.(2)推导出△ABA1是等腰直角三角形,设AB,则AA1=2a,BM=AM=a,推导出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M为坐标原点,MA1,MB,MC为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.【详解】(1)如图1,在三棱柱中,连结,因为是矩形,所以,因为,所以,又因为,,所以平面,所以,又因为,所以是中点,取中点,连结,,因为是的中点,则且,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.(图1)(图2)(2)因为,所以是等腰直角三角形,设,则,.在中,,所以.在中,,所以,由(1)知,则,,如图2,以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,.所以,则,,设平面的法向量为,则即取得.故平面的一个法向量为,因为平面的一个法向量为,则.因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查了利用空间向量法求解二面角的方法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20、(Ⅰ)分布列见解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】
(Ⅰ)求出X的所有可能取值为9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前两问的结果,判断至少增加2人.【详解】(Ⅰ)X的取值为:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列为:X912151824P故X的数学期望;(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,a,b的值可能为:,或,或.经计算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值为.(
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