《几何与代数》复习要点正文

word格式，下载后可自由编辑PAGEPAGE24《几何与代数》复习要点正文第一篇：《几何与代数》复习要点《几何与代数》复习要点1．第一章：行列式的性质不必全部证明，重点是要会利用这些性质计算行列式的值；计算行列式的典型方法：降阶、化成三角形行列式；Vandermonde行列式及分块上、下三角形行列式的结果应记住。熟练掌握线性方程组求解的两种方法：Cramer法则和Guass消元法。2．第二章：P52：知道矩阵乘法的分配律,并会运用。P50:记住矩阵的乘法不能随意交换次序。P55:记住转置运算的性质，特别是第(4)条。p57:行列式乘法定理的证明不用掌握；但结果需记住。P58:熟练掌握可逆矩阵的定义，计算，性质，特别是第（5）条。以及在后续章节中给出的矩阵可逆的其它充要条件，和计算方法。P63:分块矩阵。此节内容务必都掌握。P70:记住矩阵秩的最初定义，会用k阶子式去分析矩阵的秩。引理2.2，2.3，命题2.3不用去看。会用初等变换去求矩阵的秩(初等行变换已经够用，例2.20XX记住两个矩阵等价的定义，记住初等变换不改变矩阵的秩（命题2.4）。P75:记住几个初等矩阵的定义。理解定理2.4，证明不用掌握。P77-78:个人认为推论2.2，2.3很有用，定理2.5和推论2.1若能记住更好。P79:会用初等行变换求解矩阵的逆及矩阵方程AX=B。如果矩阵方程是XA=B，会用转置将其变形为AX=B,从而可用初等行变换求得解X，最后转置一下得XA=B的解X。其中的一些结果在第四章中还可以用向量组的秩来证明。3．第三章：掌握内积，外积，混合积的定义，物理意义，几何意义，及在直角坐标系下的计算。知道两个向量共线的充要条件（定理3.1，推论3.1）。知道三个向量共面的充要条件：定理3.2，推论3.2和混合积等于0。仿射坐标系：了解即可；向量积分配律的证明不必掌握：p101；注意：知道“卦限”的概念；3.4节所有内容应熟练掌握。注意：会求直线在平面上的投影直线（课上曾举过例，往年试题也有例子）；异面直线：公垂线的方向向量、距离要求会计算；但不要求会求公垂线方程；3.5节空间直角坐标变换：不考。4．第四章：4.1.1-4.2.2：熟练掌握。p135:矩阵的值域和核空间及其记号需要掌握。刻画矩阵值域的例子：p146例4.15解法一（解法二不必去看）和p156例4.21。刻画矩阵核空间的例子：p156例4.21。4.2.3:知道定理4.6（及前面的3个引理），但证明不用去看；掌握例4.11.4.3.1：需掌握基的定义并会求，注意例4.14和例4.15可用4.5节的例4.21(p156)的方法求解。4.3.2：对于基变换和坐标变换，只要求会求R,R这两个空间的基变换、坐标变换4．4节：4.4.1和4.4.3要求掌握；4.4.2：记住Schmidt正交化公式（三个向量的正交公式应该够用）4.5.1-4.5.3:熟练掌握4.5.4节：不必记住教材上的分析和结论，但务必学会从方程组解的情况判断平面直线的位置关系，可结合p108的例3.13复习。往年试题也有此类问题。4.6节最小二乘解：不考。23TTTT09-10-22.5.3节：关于矩阵秩的不等式的命题应当熟悉，证明过程不必掌握。但作为对分块矩阵运算的运用，可以了解一下证明。5．第五章：5.1节：熟练掌握5.2节：5.2.1-5.2.2要求掌握；5.2.3：要求记住并理解所有的结论，证明不必全部掌握，但建议理解定理5.3的证明；另外，要求掌握5.2节的所有例题。5.3节：5.3.1：记住性质5.1-5.2和定理5.7，定理5.7的证明不必掌握；知道定理5.7后面的注中的结论（在p20XX第32题中有用）；5.3.2：熟练掌握。5.4节：不考。6．第六章：6.1.1-6.1.2：知道“二次型的矩阵”的定义，知道二次型与实对称的相互转化。务必知道合同与相似两个概念的区别与联系。知道如何由定理6.1推导出定理6.2。熟练掌握将一个二次型化为标准形的两种方法：正交变换和配方法。6.1.3：知道正负惯性指数，秩的定义；知道命题的结论即可；6.1.4：熟练掌握。会运用218页定理6.5(Sylvester定理)，其证明不用掌握；6.2-6.3：注意：要求会画简单的空间图形：曲线曲面，投影柱面，投影曲线旋转面：只要求学生掌握旋转轴是坐标轴的情形；需记住二次曲面的分类，会用二次型的惯性定理对二次曲面进行分类；233页例6.11：不必区分第一二类正交变换对图形的影响。注：Matlab在期末考试中不作要求。纯属个人观点，仅供参考第二篇：线性代数复习要点“线性代数”主要题型（以第三版的编号为准）(注意：本复习要点所涉及的题目与考试无关)一、具体内容第一章、行列式：1.1、四阶或者五阶行列式的计算。比如第1.3节例3、例4，第四节的例3等。1.2、n阶含字母或数字的行列式的计算。比如第1.3节例8，第四节的例4。1.3、一些特殊的齐次线性方程组有非零解的判断。比如第1.5节例3。第二章、矩阵。2.1、矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算、行列式运算、逆运算以及它们的运算性质。2.2、矩阵方程的求解。比如第2.3节的例6，第2.5节的例7等等。2.3、矩阵秩的计算。比如第2.6节例6等等2.4、矩阵运算的简单证明题目。比如第2.2节的例12、例13，第2.3节例8等等。第三章、线性方程组3.1、向量的线性运算。比如第3.2节的例1等等。3.2、抽象的或n维向量线性相关性的证明。比如第3.3节的例2、例3、例4等等。3.3、极大线性无关组的求解或证明。比如第3.4节的例2、例3等等。3.4、向量空间的基的计算或证明。比如第3.5节的例9等等。3.5、线性方程的解的数量与结构的讨论。比如第3.1节的例4，第3.6节的例1等等。第四章、矩阵的特征值4.1、矩阵特征值、特征向量的计算。4.2、矩阵特征值的性质及简单应用。比如第4.2节例6等等。4.3、矩阵相似对角化的判断。比如第4.3节的例4等等。4.4、实对称矩阵的相似对角化。比如第4.4节的例1、例2等等。第五章、二次型5.1、用正交相似变换化二次型为标准型。比如第5.2节的例5等等。5.2、正定矩阵的判别。比如第5.3的例4等等。二、专业要求1、非经管类专业的同学，最好掌握上述所有的内容。2、经管类专业的同学的要求，相对要低一些：若是计算题目，计算量减少；若是证明题，证明难度降低；一般只有一道题目里面的参数需要讨论。比如“1.1”里面最多要求计算四阶行列式，“3.2”里面只要求n维向量线性相关性的证明，“5.2”不要等等。请相应的上课老师注意把握。第三篇：几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略初中数学传统上分为几何和代数（以下简称“几代”）两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的重点、难点与焦点。几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。下面就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：一、几代综合题的复习要点1、基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水几代综合题是基于几何、代数基本知识之上，它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对于几代综合题的复习至关重要。其包含的基础知识主要有：代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定（含全等三角形）、勾股定理与三角函数、圆中的位置关系及其判定。【例1】已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在点C处.（1）直接写出A的坐标；（2）若抛物线yax2bx（a0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若(2)中抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M.问：是否存理由.简析：（1）利用特殊三角形的性质直接写出A的坐标是解直角三角形的最基本的知识。（2）通过解直角三角形求点C的坐标，并利用待定系数法求解析式是确定解析式的基本方法。(3)在作好图形的基础上，探索要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CM=DP，从而转化为方程问题并求解，这也是对于等腰梯形判定的最低要求。由此可见，基础知识的复习是解题的基础，实不可忽视。在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明2、数学思想方法及其灵活运用永远是数学复习的重点内容，也是几代综合题解法的关键所在对于初中阶段常见的数学思想、方法应熟练地掌握，并灵活地运用。如：数形结合、分类讨论、运动变化、方程、不等式、函数、转化化归等数学思想；待定系数法、面积法、配方法、图象法、公式法、反证法等数学方法。【例2】如图2—①，已知直线l1:y28x与直线l2:y2x16相交于点C，l1、l2分别33交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．（1）求点B、点D的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．简析：（1）（2）略（图2—①）（3）解题的关键是利用数形结合，结合运动变化思想，通过分类讨论、把问题转化为①当0≤t3时，（如图2—②）、②当3t8时，（如图2—③）、③当8t12时，（如图2—④）等三种情况并加于解决，其中还用到了方程思想、图象法等数学思想方法。（图2—④）（图2—③）所以数学思想方法是数学的灵魂，也是几代综合题解题的灵魂。3、应体现列代数式是基础，方程是核心，函数是纽带，不等式发挥着重要作用的观点对于初中阶段常见的方程和函数应该做到：准确、迅速利用通法和必要的技巧（特法）解各类方程，熟练掌握、灵活运用函数图象及其性质解决有关问题。【例3】如图3，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.(1)请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；（2）若∠BAD=60°,该花圃的面积为S米.①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=933时x的值；②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？简析：（1）布列代数式：BC=40-AB-CD=（40-2x）（2）①利用几何计算求出解析式和自变量的取值范围：图313333x220XX(0＜x＜20XX同时转化为方S=(40-2x+40-x)〃x=x(80-3x)=2424程3x220XX933并求解。4②在利用不等式求取值范围的前提下，利用二次函数的图像和性质求最值。所以，复习时要特别注意代数的各部分知识间的相互联系，互相补充，形成系统，才能更好的解决几代综合题。4、应熟练掌握几何计算的方法与途径几何的计算从广义上讲大都可以转化为线段的计算，因此几何计算是顺利解决几代综合题的关键环节，应充分关注：利用勾股定理布列方程计算、利用三角函数布列方程计算、利用相似三角形的方程计算、利用坐标的几何意义进行计算、利用面积法进行计算等重要而常见的几何计算方法与途径，从而为几代综合题的解题提供保障。【例4】如图4—①，在平面直角坐标系中，直线l：y2xb与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B.（1）填空：b；（2）已知点P是y轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.．．①若PA=PB，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由.②当⊙P与直线l相切时，求点P与原点O间的距离.简析：（1）b8；（2）在Rt△AOP中，利用勾股定理布列方程并求出圆心到直线的距离OP，并通过d与r的关系判定⊙P与x轴相切.（3）分“当点P在点B下方时”和“和当点P在点B上方时”，两种情况(如图4—②)：既可由△BMP1∽△BOA得和RtMP1B中，由tanABO并求得OP1，同理求OP2由此可见，几何计算在几代综合题中占着重要的地位和作用。MP1OA图4—②BP1AB，也可在RtOABMP1BP1OAAB列方程，并解得BP135，5、应关注几何变换在解题中的应用新课程把“几何变换”的问题作为初中数学的教学内容来研究，凸显了它的意义和作用。平移、对称、旋转是生活中常见的活动，而平移、对称、旋转又是几何的重要组成部分，因为平移、对称、旋转等几何变换既能充分体现合情推理和演绎推理的有机结合，又能与代数充分结合在一起，因而以几何变换为背景的几代综合题也成了综合题的一个亮点。【例5】如图5—①，在6×12的方格纸MNEF中，每个小正方形的边长都是1。Rt△ABC的顶点C与N重合，两直角边AC、BC分别在MN、NE上，且AC=3，BC=2。现Rt△ABC以每秒1个单位长的速度向右平移，当点B移动至点E时，Rt△ABC停止移动。（1）请在图5—②中，画出Rt△ABC向右平移4秒时所在的图形；（2）如图5—②，在Rt△ABC向右平移的过程中，△ABF能否成为直角三角形？如果能，请求出相应的时间t；如果不能，请简要说明理由；（3）如图5—②，在Rt△ABC向右平移的过程中（不包括平移的开始与结束时刻），其外接圆与直线AF、直线BF分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间t的范围（不必说理）。简析：（1）略（2）能。如图5—②所示：利用运动变化中“动中有静”、“静中有动”的观点，画好图形，在设Rt△ABC向右平移t秒下，得到：（ⅰ）当ABBF（ⅱ）当ABAF22MA图①5—①图②图图5—②AF2时，由勾股定理的逆定理得，∠ABF=90º，即△ABF为Rt△。BF2时，由勾股定理的逆定理得，∠BAF=90º，即△ABF为Rt△。即：（）（10t)26232(12t)2并解得t=12即：（）32(12t)2(10t)262,解得t=7.5（3）关注几何变换，动静结合，把握临界位置，显然有：当t=7.5时,直线AF与Rt△ABC的外接圆相切；当0当0所以，在解以几何变换为背景的几代综合题时要本着“动中有静”，“静中有动”的思想，特别关注几何变换前后的位置变化和“变与不变量”，在画好图形的基础上解决问题。6、关注几代综合题与生活实际的联系，体现数学来源于生活而又应用于生活的新课程理念几何与代数都是来源于生活，几代结合也必更有利于生活中实际问题的解决。在几代综合题的复习时，要更加关注生活背景，通过数学建模，从生活到数学，再通过问题解决使数学回归生活。【例6】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图6—①所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．简析：（1）从生活中抽象出几何图形，并计算出面积。.图6—①（2）在分类讨论的基础上，抽象出图6—②（0＜x≤1）和图6—③（1＜x＜13）两个图形并利用几何知识求得：x，0＜x1S323133x13x．1＜x＜（3）把问题转化为一次函数和二次函数的最值问题并求解。图6—②图6—③数学建模是生活走向数学的必由之路，数学问题的解决也必将促使生活问题的解决。从而体现EBB数学的实用价值。几代结合是解决生活问题的重要方法之一，在总复习时应充分关注。7、应关注问题解决的全过程与综合解题能力的提升新课程要求重视学生数学的学习与研究过程，并在过程中获取知识，提升能力。几代综合题的复习更应关注学生的解题全过程和学生综合能力的提升。包括：获取信息、分析信息的能力、实践操作能力、数学建模能力、数学思考和问题解决能力等等。【例7】如图（7），四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线yOAB于点E．xm交折线．．2xm经过点A，请直接写出m的值；2（2）记ODE的面积为S，求S与m的函数关系式；（1）若直线y（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部简析：分的面积是否会随着E点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.（1）m3；（2）学生必需充分获取信息、在系统整理、有效分析信息的基础上，C进行把问题分为：“点E在OA上时，2m≤3（如图7—①）”和“点E在BA上时，3＜m＜5（如图7—②）”两种情况加于解决。（3）学生应具有所必需的作图、识图能力，其中作好图形是关键，然后将探索问题转化为规则图形面积的计算问题。所以要培养学生最基本的获取信息的方法、识图、作图能力、分析问题、解决问题的能力，这是几代综合题复习的一个重点，也是一个难点，同时也达到学生综合解题能力的提升的目的。OyDBE图7—②Ax8、应熟练掌握常见题型的基本解法，达到知己知彼对于常见题型要做到心中有底，脑中有方向、胸中有思路、手上有方法。如最值的求法、面积与周长的处理方法、圆的各种关系的判定方法，存在性问题，操作探索型问题等等。【例8】如图8，已知抛物线yaxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的图8点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．简析：对于本题的解决必需对于常见题型：存在性问题、位置关系判定等了然于胸，才能水到渠成。二、几代综合题的复习策略1、树立信心、迎难而上，不要望而生畏，自我放弃。2、要注重规范解题，步步为营，稳扎稳打。如先看清题意，再画好图形，进而寻求突破途径。3、注重阅读理解等获取信息的方法，在信息的获取中寻求解题的突破口。要十分关注“加括号的说明”和“加着重号的标注”，它们往往就是解题的突破口。4、几何综合题的复习要让学生经历“做→听→改→反思→顿悟”几个环节。做题要求精、求透、不求多、求全，要求以点带面，不求面面俱到，要严禁“题题都做（全而不对）、题题都未做完（对而不全）”、“只听不做”、“只做不听”、“只做不改”等不良现象的出现，以提升复习实效。5、应力求在运算的熟练程度、思想方法的应用和综合能力的提升上有所突破，这三者都是解几代综合题的关键。6、注重在系统的高度上复习几代综合题的解法，不为复习几代综合题而复习几代综合题，而是整体推进，系统提高。如与中档题相结合，复习效果可能更佳，从而达到系统地复习与均衡地提升的目的。7、分层教学、因材施教，让学生在原有的基础上有所发展。几代综合题毕竟是属于提高部分的知识和内容，它要求学生要具备扎实的数学基础和较高的数学能力。因此对学生的要求不宜整体划一，而应是分层递进教学。让优秀生自主发展，尽善尽美；让中等生目标明确，追求进步；让后进生量力选择，以达到更好的复习效益。总之，几代综合题的复习应在熟悉题型的前提下，以知识的应用为基础，以思想方法的渗透为关键，以综合解题能力的提升为落脚点，全面系统的展开。第四篇：20XX线性代数Ⅱ复习要点《线性代数Ⅱ》复习要点教材：工程数学《线性代数》第五版，同济大学数学系编1、掌握行列式的相关性质与计算2、掌握行列式的按行按列展开法则3、掌握矩阵的各种运算及性质，掌握分块对角阵的行列式、逆矩阵的计算4、掌握矩阵可逆的判定方法5、掌握方阵A与A及伴随矩阵A之间的关系，以