初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第24讲几何的定值与最值

第二十四讲几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或地址关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特别地址、极端地址，直接计算等方法，先研究出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在必然的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特别地址与极端地址法；2．几何定理(公义)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近来几年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题拥有很强的研究性(目标不明确)，解题时需要运用动向思想、数形结合、特别与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．思路点拨如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=1AB2一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=x，则PB=10x，从代数角度研究CD的最小值．注：从特别地址与极端地址的研究中易获取启示，常能找到解题打破口，特别地址与极端地址是指：中点处、垂直地址关系等；端点处、临界地址等．【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB转动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则关于全部可能的圆的地址而言，⌒为的度数（）MTNA．从30°到60°变动B．从60°到90°变动C．保持30°不变D．保持60°不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的极点C时，其弧的度数，再证明一般状况，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动向背景下，动与静是相对的，我们能够研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的地址，

使图形变化为特别图形时，

研究的量获取定值与最值．【例3】

如图，已知平行四边形

ABCD

，AB=a，BC=b(a

>b)，P为AB

边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式a2b22ab(当且仅当ab时取等号)来求最小值．【例4】如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧⌒上取异于A、B的点M，设直线ACAB与BM订交于K，直线CB与AM订交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择没关．思路点拨即要证AK·BN是一个定值，在图形中△ABC的边长是一个定值，说明AK·BN与AB有关，从图知AB为△ABM与△ANB的公共边，作一个英勇的猜想，AK·BN=AB2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要研究出定值，那么解题目注明确，定值问题就转变为一般的几何证明问题．【例等腰

5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个极点分别在Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨极点Z在斜边上或直角边CA(或

CB)上，当极点

Z

在斜边AB上时，取

xy的中点，经过几何不等关系求出直角边的最大值，当极点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即合适地采用变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常有的解题路子是：利用一元二次方程必然有解的代数模型，运用鉴识式求几何最值；构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形分别过B、C、D的最大值为

ABCD的边长为1，点P为边作射线AP的垂线，垂足分别是，最小值为．

BC上任意一点（可与B′、C′、D′，则

B点或C点重合），BB′+CC′+DD′2．如图，∠AOB=45°，角内有一点O)，则△PQR的周长的最小值为

P，PO=10，在角的两边上有两点．

Q，R(均不相同于点3．如图，两点

A、B在直线

MN

外的同侧，

A到

MN

的距离

AC=8，B

到

MN

的距离

BD=5，CD=4，P在直线

MN

上运动，则

PAPB的最大值等于

．4．如图，A点是半圆上一个三均分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为()A．12C．2D．31B．25．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面搬动到BC的中点S的最短距离是()A．212B．2142C．412D．2426．如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C搬动而R不动时，那么以下结论建立的是()A．线段C．线段

EF的长逐渐增大EF的长不改变

B．线段D．线段

EF的长逐渐减小EF的长不能够确定7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形订交于点N．

BCE，AE

与

CD

订交于点M，BD

与

CE(1)求证：MN∥AB；(2)若AB的长为l0cm，当点的长度最长?若存在，请确定

C

在线段AB上搬动时，可否存在这样的一点C，使线段C点的地址并求出MN的长；若不存在，请说明原由．

MN(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：无论ST滑到什么地址，∠SPM是必然角．9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还建立吗?若是建立，请证明，若是不行立，请说明原由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是()A．8B．12C．25D．14211．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是()A．22B．12C．32D．3212．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU订交于点P，BV与CU订交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水地域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住处小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形地域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形地域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形地域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款可否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；