高二数学：专题4-3 等比数列（B卷提升篇）【解析版】

专题4.3等比数列（B卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·浙江其他）正项等比数列中，，，则的值是（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【解析】，，，，.故选：A.2．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高一期末）已知等比数列的前项和，则（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，等比数列的前项和，则，，，则有，解得，故选：.3．（2020·广东云浮·高一期末）在正项等比数列中，若，则（）．A．5 B．6 C．10 D．11【答案】D【解析】因为，且为等比数列，所以，所以.故选：D.4．（2020·浙江瓯海·温州中学高二期末）已知等比数列的前n项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由于数列是等比数列，所以，由于，所以，所以“”是“”的充要条件.故选：C5．（2020·唐山市第十二高级中学高一期末）由实数构成的等比数列的前项和为，，且成等差数列，则（）A．62 B．124 C．126 D．154【答案】C【解析】由题意知，，设的公比为，则解得，则.故选C.6.（2020·河北运河·沧州市一中月考）已知等比数列中，各项都是正数，且、、成等差数列，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，由于、、成等差数列，则，即，整理得，，解得，因此，.故选：D.7．（2020·河北邢台·期中）已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（）A．8 B．9 C．12 D．13【答案】C【解析】因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，，所以，则，要使，则，解得，故n的最大值为12.故选：C.8．（2020·广西壮族自治区南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（）频率半音CDEFGABC（八度）A． B．G C． D．A【答案】B【解析】依题意可知.由于满足，则，所以数列为等比数列，设公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为，所以所求半音对应的频率为.即对应的半音为.故选：B9．（2020·江西新余·其他）在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】∵在等比数列中，，∴公比，∴时，；时，.∵，∴，，，∴，又当时，，∴使不等式成立的的最大值为.故选：C10．（2020·湖北恩施土家族苗族高中月考）已知等差数列的前n项和为，记的最大值为S，，正项等比数列的公比为q，满足，且，则使，成立的n的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】由题可设等差数列的公差为d，∵，∴，，；当时，有最大值，∴，，，∵，∴，，要使成立，即，且，∴，则n的最小值为3.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·武汉外国语学校其他（文））已知是各项均为正数的等比数列，，，，则数列的前10项和为_______．【答案】60【解析】设数列公比为q，由，则，解得或，因为，所以．则，，得，，数列的前10项和．故答案为：6012．（2020·滨海县八滩中学二模）已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________．【答案】107【解析】由题意可设等比数列的公比为，首项为，由成等差数列可得：，代入可得：，解得：或，又因为，易知，又因为，，所以，，故答案为：107.13．（2020·安徽合肥·三模（文））已知数列中，数列的前n项和．若数列的前项和对于都成立，则实数的最小值等于_____．【答案】4【解析】由数列的前项和得，当时，有，当时，有也适合上式，故，，，，，由得：，即.又对于都成立，所以,故实数的最小值等于.故答案为：4.14．（2020·云南省玉溪第一中学高二期中（理））在数列中，是方程的两根，表示数列的前n项和.（1）若是等比数列，则_______；（2）若是等差数列，则_________.【答案】【解析】∵是方程的两根，∴，∴若是等比数列，则；若是等差数列，则，故答案为：，15．（2020·北京海淀·人大附中高三开学考试）已知是等差数列，是公比为c的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c表示）．【答案】100【解析】因为是等差数列，，所以，解得，所以，所以因为是公比为c的等比数列，且，所以，故，当时，，当时，，综上,故答案为：100；16．（2020·江苏南通市·高二期中）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉____个正方形，第n个图中所有挖掉的正方形的面积和为_____．【答案】73【解析】记第个图形中共挖掉个正方形，则，所以，个，，记第个图形中共挖掉的正方形的面积为，则，，，，，将以上个等式相加得.故答案为：73；.17．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）已知正项等比数列中，，则__________，又数列满足；若为数列的前n项和，那么_____________.【答案】【解析】因为，所以.因为，所以，即，解得或.当时，代入，解得（舍去）当时，代入，解得，所以.因为，，所以，，，，……，所以是以周期为的循环数列.因为为数列的前n项和，所以，设，，所以是以首项，公比为的等比数列.所以.故答案为：；三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（文））等差数列满足，.（1）求的通项公式.（2）设等比数列满足，，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】()∵是等差数列，，∴解出，，∴.()∵，，是等比数列，，∴b1=419．（2020·吉林高三其他模拟（文））已知等差数列的前项和为，公差为，且.（1）若，求的通项公式；（2）若，，求数列的前10项和的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，则或.当时，，则；当时，，则.（2）因为，所以，所以.因为，所以.因为，所以的取值范围为.20．（2020·吉林油田高级中学高一期末（理））已知在等比数列中，，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，若任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)设公比为，，则，解得，.，当时，，当时，，即.∴；（2），，两式相减得：.∴，有，，记，则，∴，∴数列递增，其最小值为.故.21．（2020·浙江高一期末）设数列的前项和为，若．（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；（Ⅲ）求证：．【答案】（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由得，当时，两式作差得：，即，即，令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，两式作差得：所以．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，则，恒成立，，即所以，所以．22．（2020·河南高二月考（理））已知数列满足，且.（1）求数列的通项，（2）设，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解