2020高中数学 第十章 概率章末演练巩固提升 第二册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精第十章概率［A基础达标]1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班50名同学（其中男同学30名,女同学20名）采取分层随机抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为(）A.eq\f(1，50） B.eq\f（1，10）C。eq\f（1，5) D。eq\f(1，4)解析：选C.因为在分层随机抽样中,任何个体被抽到的概率均相等，所以女同学甲被抽到的概率P＝eq\f(10，50）＝eq\f（1,5)，故应选C.2．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及以上概率0。110.160.30。290.10。04则至多有2人排队的概率为(）A．0.3 B．0.43C．0。57 D．0.27解析：选C。记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C,A、B、C彼此互斥．记“至多有2人排队"为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P（B)＋P(C)＝0.11＋0.16＋0。3＝0。57。3．一个三位数的百位,十位，个位上的数字依次为a,b，c,当且仅当a>b，b<c时称为“凹数"(如213，312等）,若a，b，c∈｛1，2，3，4｝，且a,b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是（）A.eq\f（1,6) B。eq\f(5,24)C。eq\f（1,3) D。eq\f(7,24)解析:选C.由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312,321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142,214,241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2,3，4组成的三位数有234，243,324，342，432，423,共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时,有214,213，314，412，312,413，共6个“凹数”；当b＝2时,有324，423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数"的概率P＝eq\f（6＋2，24)＝eq\f(1，3).4．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若落在圆桌上时硬币正面朝上,则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(）A。eq\f（1，4) B.eq\f(7，16）C。eq\f（1,2） D。eq\f(9,16)解析:选B。抛四枚硬币，总的结果有16种,“没有相邻的两个人站起来”记为事件A，可分为三类：一是没有人站起来，只有1种结果：二是1人站起来,有4种结果；三是有2人站起来，可以是AC或BD，有2种结果．所以满足题意的结果共有1＋4＋2＝7种结果，P（A)＝eq\f（7,16）.故选B。5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0。05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）＝1－P(B)－P(C）＝0.92.答案：0。926．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种，其中颜色相同的有3种，所以所求概率为eq\f(3，9）＝eq\f(1，3）。答案：eq\f（1，3)7．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq\f（1,70）,eq\f(1，69），eq\f(1,68)，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析：依题意得,加工出来的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，70）))×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，69）)）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，68）)）＝eq\f(67，70)，因此加工出来的零件的次品率是1－eq\f(67，70）＝eq\f（3，70).答案：eq\f（3，70）8．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9,18.现采用分层随机抽样的方法从三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5,A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．(ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果;(ⅱ)设A为事件“编号A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率．解：(1）应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2。(2)（ⅰ）从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为（A1,A2），（A1，A3)，(A1，A4），（A1，A5),(A1，A6），(A2，A3），（A2，A4)，（A2,A5）,(A2,A6）,(A3，A4),（A3，A5)，(A3,A6）,(A4，A5），（A4,A6），(A5，A6)，共15种．（ⅱ)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为（A1，A5)，（A1，A6），（A2，A5）,（A2，A6），（A3，A5),（A3,A6)，(A4,A5),（A4，A6)，(A5,A6),共9种．因此，事件A发生的概率P(A）＝eq\f（9，15）＝eq\f(3，5).9．（2019·江西省临川第一中学期末考试）某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机访问了50名教职工，根据这50名教职工对后勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50），［50，60），…，[80,90)，[90，100]．(1）估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数（结果保留到小数点后一位)；（2）从评分在[40，60)的受访教职工中,随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤处评分在［50，60）内的概率．解:(1）由频率分布直方图,可知(0。004＋a＋0.018＋0.022×2＋0。028)×10＝1，解得a＝0。006。设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为x0,有(0。004＋0。006＋0。022）×10＋0。028·（x0－70）＝0。5，解得x0≈76。4(分)，故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4.(2)由频率分布直方图可知，受访教职工评分在［40，50)内的人数为0.004×10×50＝2（人),受访教职工评分在［50，60)内的人数为0。006×10×50＝3（人)．设受访教职工评分在[40，50)内的两人分别为a1，a2，在[50，60)内的三人分别为b1，b2，b3,则从评分在［40，60)内的受访教职工中随机抽取2人,其样本点有(a1，a2），（a1，b1），(a1，b2）,（a1，b3）,（a2，b1）,(a2,b2），（a2,b3),（b1,b2），(b1，b3)，（b2，b3）,共10个，其中2人评分至少有一人在［50,60）内的样本点有9个，故2人评分至少有1人在［50,60)内的概率为eq\f(9，10).[B能力提升］10．（2019·汕头模拟）甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人获得一等奖的概率分别为eq\f（2，3）和eq\f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）A。eq\f（3，4) B.eq\f(2,3）C。eq\f(5,7） D。eq\f（5,12)解析：选D。根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是eq\f（2,3）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(3,4))）＋eq\f（3,4）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))）＝eq\f（5，12).故选D。11．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（）A.eq\f(2,3） B.eq\f（2,5)C。eq\f（3，5） D.eq\f(9，10）解析:选D。记事件A:甲或乙被录用．从五人中录用三人,样本点有（甲,乙，丙）、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊）、(甲，丙，丁)、（甲,丙，戊)、（甲，丁，戊)、(乙,丙，丁）、(乙，丙，戊）、(乙,丁，戊）、（丙,丁，戊），共10个，而事件A的对立事件eq\o（A，\s\up6(－))仅有(丙，丁,戊）一种可能,所以事件A的对立事件eq\o（A，\s\up6（－）)的概率为P(eq\o（A,\s\up6（－)))＝eq\f(1,10），所以P(A）＝1－P（eq\o(A，\s\up6(－))）＝eq\f(9，10）.故选D。12．甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，则这2条棱互相垂直的概率为()A.eq\f(22,81) B.eq\f（37,81）C。eq\f(44，81） D.eq\f（59,81)解析:选C.由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝81(种）结果，满足条件的事件是这2条棱互相垂直，所有可能情况是当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种结果；当甲选底面上的一条斜边时,乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种情况；当甲选一条侧棱时，乙有6种选法,共有3条侧棱，则共有18种结果．综上所述，共有20＋6＋18＝44(种）结果，故这2条棱互相垂直的概率是eq\f（44,81)。13．（2019·广东省东莞市调研测试）某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分)，每多买2件再积20分(不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分．为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为［3，5)，[5，7）,［7,9)，[9，11），［11，13)，［13，15），[15，17），［17,19），［19，21]九组，整理得到如图频率分布直方图．（1)求直方图中a的值；（2)从当天购物数额在［13，15），［15，17)的顾客中按分层随机抽样的方法抽取6人．那么，从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于240分的概率．解：(1)各组的频率分别为0。04,0。06,2a，2a，6a，0.2，2a，0。08，0。02,所以0.04＋0。06＋2a＋2a＋6a＋0.2＋2a＋0.08＋0.02＝1，化简得12a＝0。6，解得a＝0。05.(2)按分层随机抽样的方法在［13，15）内应抽取4人,记为A，B,C,D，每人的积分是110分；在［15，17)内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分；从6人中随机抽取2人，有（A，B)，（A，C）,(A,D）,(A，a），（A，b)，（B,C），(B，D)，(B，a），(B，b)，(C，D)，(C,a）,（C，b），（D，a)，(D，b），（a，b)共15个样本点，其中这2人的积分之和不少于240分的有(A，a)，（A，b)，(B,a）,(B,b)，（C，a）,(C，b)，(D，a），（D，b），(a，b)共9个样本点；所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为P＝eq\f（9,15）＝eq\f(3，5）。［C拓展探索]14．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在［100,150),[150，200)，[200，250),［250，300)，［300,350），[350，400）(单位:克）中,经统计的频率分布直方图如图所示．（1)估计这组数据平均数；（2）现按分层随机抽样从质量为[200，250)，［250，300）的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个,经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以9元/千克收购；方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．解：(1)由频率分布直方图知，这组数据的平均数eq\o（x，\s\up6(－))≈0。07×125＋0.1