2020高中数学 第四章 圆与方程 42 空间两点间的距离公式练习（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精第34课时空间两点间的距离公式对应学生用书P95知识点一空间两点间的距离1．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5）到x轴的距离d等于()A．eq\r（32＋22）B．eq\r（22＋－52)C．eq\r(32＋－52)D．eq\r（32＋22＋－52)答案B解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0）,所以点A到x轴的距离d＝｜AB|＝eq\r(22＋－52）．2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C的中点E与AB的中点F的距离为(）A．eq\r(2）aB．eq\f(\r(2）,2）aC．aD．eq\f(1,2）a答案B解析A′(a，0，a），C（0，a,0），点E的坐标为eq\f（a，2），eq\f（a，2),eq\f（a，2)，而Feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a，\f(a,2)，0）），∴｜EF|＝eq\r(\f(a2,4）＋02＋\f（a2,4)）＝eq\f（\r（2），2)a，故选B．知识点二两点间公式的应用3．点P（x,y，z)满足eq\r(x－12＋y－12＋z＋12）＝2,则点P在()A．以点（1，1,－1）为球心,以eq\r（2)为半径的球面上B．以点（1，1，－1）为中心，以eq\r（2)为棱长的正方体内C．以点(1，1,－1）为球心，以2为半径的球面上D．以上都不正确答案C解析eq\r（x－12＋y－12＋z＋12）表示P(x，y，z）到点M(1，1，－1)的距离，即|PM|＝2为定值．故点P在以点(1，1，－1)为球心、以2为半径长的球面上．4．如图所示,PA，AB，AD两两互相垂直，四边形ABCD为矩形，M,N分别为AB，PC的中点．求证:MN⊥AB．证明如图所示，以A为坐标原点，分别以AB，AD,AP所在直线为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，BC＝b，PA＝c，则A（0，0,0），设B（a，0，0），D(0，b，0)，C(a，b,0），P(0,0，c)，连接AN．因为M，N分别是AB，PC的中点，所以Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a,2)，0，0)）,Neq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a，2），\f（b,2），\f（c,2)）），则｜AM|2＝eq\f（a2，4），|MN|2＝eq\f(b2＋c2,4)，｜AN｜2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4),所以|AN｜2＝|MN|2＋｜AM|2，所以MN⊥AB．对应学生用书P96一、选择题1．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（)A．eq\f(\r（6)，2)B．eq\r(3)C．eq\f（\r(3)，2)D．eq\f（\r(6)，3）答案A解析如图所示，在正方体OABC－O1A1B1C1中,设正方体的棱长为a(a＞0），则点P在顶点B1处，建立分别以OA，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系,则点P的坐标为(a，a，a)，由题意得eq\r(a2＋a2）＝1，∴a2＝eq\f（1，2），∴｜OP|＝eq\r（3a2)＝eq\r(3×\f(1,2））＝eq\f(\r（6),2)．2．与两点A（3，4，5）,B（－2,3，0）距离相等的点M（x，y,z）满足的条件是（)A．10x＋2y＋10z－37＝0B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0D．10x－2y＋10z＋37＝0答案A解析由｜MA|＝｜MB|,即（x－3)2＋（y－4）2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2,化简得10x＋2y＋10z－37＝0,故选A．3．到定点(1，0，0)的距离小于或等于2的点的集合是(）A．｛(x，y，z)｜(x－1)2＋y2＋z2≤2}B．{(x，y，z)｜(x－1)2＋y2＋z2≤4}C．{(x，y，z）|（x－1）2＋y2＋z2≥4｝D．{（x,y，z）｜x2＋y2＋z2≤4｝答案B解析由空间两点间的距离公式可得，点P(x,y，z）到定点（1,0,0)的距离应满足eq\r(x－12＋y2＋z2)≤2，即（x－1)2＋y2＋z2≤4．4．已知A（x,5－x，2x－1),B（1，x＋2,2－x)，当｜AB|取最小值时，x的值为()A．19B．－eq\f（8，7)C．eq\f（8，7）D．eq\f（19,14）答案C解析｜AB｜＝eq\r（x－12＋3－2x2＋3x－32)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r（14\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)）)2＋\f(5,7）)，∴当x＝eq\f(8,7)时，|AB｜最小．5．△ABC的顶点坐标是A（3，1，1）,B(－5，2,1）,Ceq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(8，3),2,3)),则它在yOz平面上射影的面积是（)A．4B．3C．2D．1答案D解析△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1），B′（0，2,1），C′(0，2,3）,∵｜A′B′|＝eq\r（0－02＋1－22＋1－12）＝1,|B′C′|＝eq\r（0－02＋2－22＋3－12）＝2，｜A′C′｜＝eq\r（0－02＋2－12＋3－12)＝eq\r（5)，∴|A′B′|2＋｜B′C′|2＝｜A′C′｜2，∴△ABC在yOz平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1．二、填空题6．在空间直角坐标系中，设A（m，1，3)，B（1,－1,1)，且｜AB|＝2eq\r（2），则m＝________．答案1解析｜AB｜＝eq\r（m－12＋［1－－1]2＋3－12)＝2eq\r（2），解得m＝1．7．已知点Peq\f(3,2)，eq\f(5，2),z到线段AB中点的距离为3,其中A(3，5,－7）,B(－2，4，3)，则z＝________．答案0或－4解析由中点坐标公式，得线段AB中点的坐标为eq\f（1，2）,eq\f(9,2），－2．又点P到线段AB中点的距离为3，所以eq\r(\f（3，2）－\f（1，2)2＋\f（5，2）－\f（9，2）2＋［z－－2］2)＝3，解得z＝0或－4．8．点B(eq\r（3),0，0)是点A(m，2，5）在x轴上的射影,则点A到原点的距离为________．答案4eq\r（2）解析由点B(eq\r(3），0，0)是点A(m，2,5）在x轴上的射影，得m＝eq\r(3）,所以点A到原点的距离为d＝eq\r(\r(3)2＋22＋52）＝eq\r（32）＝4eq\r(2)．三、解答题9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，｜C1C|＝|CB｜＝|CA|＝2，AC⊥CB,D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求｜DE|，｜EF|．解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系．∵｜CC1｜＝|CB|＝｜CA｜＝2，∴C(0,0,0）,A（2，0，0），B(0，2,0)，C1（0，0,2),B1（0，2，2)，由空间坐标系中的中点坐标公式可得D（1,1，0），E(0，1,2)，F(1，0，0），∴｜DE｜＝eq\r(1－02＋1－12＋0－22）＝eq\r(5)，|EF｜＝eq\r(0－12＋1－02＋2－02)＝eq\r(6）．10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1｜＝2,点M在A1C1上，且|MC1｜＝2|A1M｜，N为D1C的中点，求M，N两点间的距离．解如图，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz．由题意，可知C（3，3，0）,A1（0，0，2），C1（3，3，2),D1(0,3，2）