2020高中数学 第三章 推理与证明 4 反证法课后巩固提升 1-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精4反证法[A组基础巩固]1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是（)A．无解 B．两解C．至少两解 D．无解或至少两解解析：解是唯一的否定应为“无解或至少两解"．答案：D2．有下列叙述:①“a>b”的反面是“a〈b”；②“x＝y"的反面是“x>y或x〈y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”．其中正确的叙述有（）A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：①错,应为a≤b；②对;③错，应为“三角形的外心在三角形内或三角形的边上”;④错，应为三角形的内角中有2个或2个以上的钝角．答案：B3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析:“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．答案：B4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（)A．a,b都能被5整除B．a,b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析:方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根,故应选A.答案：A6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角"的否定应是________________________________________________________________________。解析：“任何三角形"的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个"．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角7．用反证法证明命题“若x2－（a＋b）x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时,应假设为________．解析:对“且"的否定应为“或”,所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b8．将“函数f（x)＝4x2－2(p－2）x－2p2－p＋1在区间［－1，1］上至少存在一个实数c，使f(c）〉0"反设，所得命题为________________．解析：“至少存在”的反面为“不存在"．“不存在c，使f（c)〉0"即“f(x)≤0恒成立”．答案：函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒有f（x)≤0。9．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.证明：已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．求证:∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A〈60，∠B〈60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C〈180°.这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°。10．求证：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y2＝ax（a>0),设A(x1，y1)，B(x2，y2），C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线上不同的四点，则有yeq\o\al（2,i）＝axi，xi＝eq\f（y\o\al(2，i)，a）（i＝1,2,3，4），于是kAB＝eq\f(y2－y1，x2－x1）＝eq\f（y2－y1，\f（y\o\al(2,2）,a）－\f(y\o\al(2，1）,a))＝eq\f（a,y2＋y1），同理kBC＝eq\f(a,y3＋y2），kCD＝eq\f(a，y4＋y3）,kDA＝eq\f(a,y1＋y4）.假设四边形ABCD是平行四边形，则kAB＝kCD，kBC＝kDA，从而得y1＝y3，y2＝y4,进而得x1＝x3，x2＝x4，于是点A，C重合，点B,D重合，这与假设A，B,C,D是抛物线上不同的四点相矛盾．故四边形ABCD不可能是平行四边形．［B组能力提升]1．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析：易知△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，故△A1B1C1为锐角三角形，设△A2B2C2也为锐角三角形，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\f（π,2）－A1，，sinB2＝cosB1＝sin\f(π，2)－B1,,sinC2＝cosC1＝sin\f(π,2）－C1，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A2＝\f（π,2)－∠A1，，∠B2＝\f(π,2)－∠B1，,∠C2＝\f（π,2）－∠C1，）)那么∠A2＋∠B2＋∠C2＝eq\f(π,2），这与三角形内角和为180°矛盾,所以假设不成立,所以△A2B2C2是钝角三角形．答案：D2．已知f(x）是R上的增函数,a，b∈R,下列四个命题:①若a＋b≥0,则f(a)＋f(b）≥f(－a)＋f(－b);②若f（a)＋f（b)≥f(－a）＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f（a）＋f(b)〈f(－a)＋f（－b)；④若f(a）＋f（b)<f（－a）＋f（－b)，则a＋b<0。其中真命题个数为（)A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①③正确，②用反证法．假设a＋b<0,则a<－b，b〈－a,∴f（a）<f（－b），f（b）<f（－a)，∴f(a)＋f（b)<f(－a）＋f（－b)与条件矛盾，故a＋b≥0，从而②为真命题，④类似于②用反证法．答案：D3．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数）”,其反设为________．解析：“a，b全为0"即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”,即a，b不全为0。答案:a，b不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析:由反证法的一般步骤可知,正确的顺序应为③①②。答案：③①②5．a、b∈R,用反证法证明a2＋ab与b2＋ab中至少有一个因式为非负数．证明：假设a2＋ab与b2＋ab都是负数，即a2＋ab<0，b2＋ab<0，则a2＋ab＋b2＋ab〈0,即a2＋2ab＋b2<0，也就是（a＋b）2〈0,这与（a＋b）2≥0矛盾．所以假设错误,原结论正确．6．已知函数f(x)在区间［1，＋∞）上是增函数,设当x0≥1，f（x0)≥1时，有f[f（x0)］＝x0，求证：f(x0)＝x0.证明：假设f(x0)≠x0，则必有f（x0）>x0或f(x0）〈x0。若f(x0）>