2020高中数学 第三章 空间向量与立体几何 .1.2 空间向量的数乘运算练习（含解析）2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精3。1.2空间向量的数乘运算[学生用书P133(单独成册)][A基础达标］1．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则（）A．λ＝μ＝0 B．a＝b＝0C．λ＝0,b＝0 D．μ＝0，a＝0解析:选A.因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量,又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0.2．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\f（1,2)(eq\o（BD，\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6（→)))等于(）A.eq\o(AG，\s\up6（→）) B．eq\o（CG,\s\up6(→）)C.eq\o（BC,\s\up6(→）） D．eq\f（1,2）eq\o（BC,\s\up6(→）)解析：选A。eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\f(1，2）(eq\o(BD,\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6(→))）＝eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\f（1，2)×（2eq\o(BG,\s\up6（→））)＝eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o（BG，\s\up6（→））＝eq\o(AG,\s\up6(→）).3．已知向量a，b，且eq\o（AB，\s\up6(→））＝a＋2b，eq\o（BC，\s\up6(→)）＝－5a＋6b,eq\o（CD，\s\up6（→)）＝7a－2b,则一定共线的三点是（)A．A，B,D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：选A。因为eq\o(AB,\s\up6(→））＝a＋2b.eq\o(BD，\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→））＋eq\o（CD，\s\up6（→))＝2a＋4b＝2（a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6（→）),所以eq\o(AB，\s\up6(→）)∥eq\o(BD,\s\up6（→))，由于eq\o（AB，\s\up6(→)）与eq\o（BD,\s\up6(→))有一个公共点B,所以A，B，D三点共线．4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A。eq\o(OM,\s\up6（→)）＝3eq\o（OA,\s\up6（→))－2eq\o(OB，\s\up6(→))－eq\o(OC，\s\up6（→)）B。eq\o(OM,\s\up6（→））＋eq\o(OA，\s\up6（→))＋eq\o（OB，\s\up6（→)）＋eq\o(OC，\s\up6（→))＝0C.eq\o(MA，\s\up6（→)）＋eq\o（MB，\s\up6（→））＋eq\o(MC,\s\up6(→)）＝0D。eq\o(OM,\s\up6（→））＝eq\f(1，4)eq\o(OB，\s\up6(→））－eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\f(1,2)eq\o（OC,\s\up6（→）)解析：选C.因为eq\o(MA，\s\up6(→)）＋eq\o(MB,\s\up6(→））＋eq\o（MC，\s\up6（→)）＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o（MB，\s\up6(→)）－eq\o（MC，\s\up6(→）），所以M与A，B，C必共面．5．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o(BC，\s\up6(→））＋eq\o(CD，\s\up6（→））＋eq\o（DA,\s\up6(→）)＝0；②|a｜－|b|＝|a＋b｜是a，b共线的充要条件；③若eq\o（AB,\s\up6(→））,eq\o(CD,\s\up6（→）)共线,则AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→）)＝xeq\o（OA，\s\up6（→）)＋yeq\o(OB,\s\up6（→)）＋zeq\o（OC,\s\up6(→))(其中x，y,z∈R），则P，A,B，C四点共面．其中不正确命题的个数是（）A．1 B．2C．3 D．4解析：选C。显然①正确；若a,b共线，则|a｜＋｜b|＝|a＋b|或｜a＋b｜＝|｜a|－|b|｜，故②错误；若eq\o(AB,\s\up6(→)）,eq\o(CD，\s\up6（→))共线，则直线AB,CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C。6．化简：eq\f(1,2)（a＋2b－3c）＋5（eq\f(2，3)a－eq\f(1，2)b＋eq\f（2，3)c)－3（a－2b＋c)＝________．解析：原式＝（eq\f(1，2)＋5×eq\f（2，3）－3)a＋（eq\f(1，2)×2－5×eq\f（1，2)＋3×2)b＋（－3×eq\f（1,2）＋5×eq\f（2,3）－3)c＝eq\f(5,6）a＋eq\f（9，2)b－eq\f（7，6）c.答案：eq\f(5，6)a＋eq\f（9，2)b－eq\f（7，6）c7．在三棱锥A。BCD中,若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\f（1,2）eq\o（BC，\s\up6(→））－eq\f（3,2）eq\o（DE,\s\up6（→）)－eq\o（AD，\s\up6(→))的结果为________．解析：如图，延长DE交边BC于点F，则eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\f（1,2）eq\o（BC，\s\up6（→）)＝eq\o（AF,\s\up6（→）),eq\f（3，2)eq\o（DE,\s\up6(→））＋eq\o(AD，\s\up6(→))＝eq\o（AD，\s\up6（→））＋eq\o（DF,\s\up6（→)）＝eq\o(AF,\s\up6（→）)，故eq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\f（1,2)eq\o(BC,\s\up6（→))－eq\f(3,2）eq\o（DE,\s\up6(→))－eq\o（AD，\s\up6(→））＝0.答案：08．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ，m，n,使λeq\o(OA，\s\up6(→）)＋meq\o（OB，\s\up6(→））＋neq\o(OC，\s\up6(→））＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析:因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使eq\o(AB,\s\up6(→）)＝keq\o(AC,\s\up6（→）)，即eq\o（OB，\s\up6（→））－eq\o（OA,\s\up6(→))＝k(eq\o（OC，\s\up6(→))－eq\o(OA，\s\up6（→)）),所以(k－1)eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o(OB，\s\up6（→）)－keq\o（OC,\s\up6（→））＝0。又λeq\o（OA,\s\up6(→）)＋meq\o(OB,\s\up6（→））＋neq\o(OC,\s\up6(→）)＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.答案：09。如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若eq\o(AE，\s\up6（→)）＝eq\f（1,2)eq\o（OD，\s\up6(→））＋xeq\o（OB,\s\up6（→）)＋yeq\o（OA，\s\up6(→））,求x,y的值．解：因为eq\o(AE,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6(→))＋eq\o(CE，\s\up6(→))＝eq\o(OB，\s\up6(→））－eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o（OC，\s\up6（→))－eq\o(OB，\s\up6（→）)－eq\f（1，2）eq\o(OC，\s\up6(→))＝－eq\o（OA,\s\up6（→）)＋eq\f（1，2）eq\o(OC，\s\up6（→））＝－eq\o（OA，\s\up6（→))＋eq\f(1，2)（eq\o(OD，\s\up6（→))＋eq\o（DC,\s\up6（→）))＝－eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\f(1，2）（eq\o(OD，\s\up6（→）)＋eq\o（AB,\s\up6(→）)）＝－eq\o（OA,\s\up6（→)）＋eq\f（1，2）eq\o(OD，\s\up6(→））＋eq\f(1,2)（eq\o(OB,\s\up6(→））－eq\o（OA,\s\up6(→)）)＝－eq\f（3,2)eq\o(OA,\s\up6(→））＋eq\f(1，2)eq\o（OD，\s\up6（→)）＋eq\f（1，2）eq\o(OB，\s\up6(→)），所以x＝eq\f（1，2），y＝－eq\f(3，2）。10．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：eq\o（A1N，\s\up6(→)）与eq\o（A1B，\s\up6（→)）,eq\o（A1M,\s\up6（→））共面．证明：因为eq\o（A1B,\s\up6(→))＝eq\o(AB，\s\up6（→))－eq\o(AA1，\s\up6(→）），eq\o（A1M，\s\up6(→))＝eq\o（A1D1,\s\up6（→))＋eq\o（D1M,\s\up6(→））＝eq\o(AD，\s\up6（→）)－eq\f(1,2）eq\o(AA1，\s\up6(→））,eq\o（AN，\s\up6（→)）＝eq\f(2，3)eq\o(AC,\s\up6(→)）＝eq\f(2,3）（eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o（AD，\s\up6(→）))，所以eq\o(A1N,\s\up6（→））＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o（AA1,\s\up6(→))＝eq\f（2,3）（eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o(AD，\s\up6（→）)）－eq\o（AA1，\s\up6（→)）＝eq\f(2，3)(eq\o(AB，\s\up6(→))－eq\o（AA1，\s\up6(→）))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\o(AD，\s\up6（→））－\f（1，2)\o(AA1,\s\up6（→))））＝eq\f(2,3)eq\o（A1B,\s\up6(→）)＋eq\f(2,3)eq\o(A1M，\s\up6(→)）.所以eq\o（A1N，\s\up6(→）)与eq\o(A1B,\s\up6(→)），eq\o（A1M,\s\up6（→））共面．[B能力提升]11．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C,有6eq\o（OP,\s\up6（→)）＝eq\o（OA,\s\up6(→)）＋2eq\o（OB,\s\up6(→））＋3eq\o(OC,\s\up6(→）），则()A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B,C四点共面C．O,P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面解析：选B.由6eq\o（OP,\s\up6（→））＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB，\s\up6（→))＋3eq\o（OC,\s\up6（→）），得eq\o(OP，\s\up6（→）)－eq\o（OA,\s\up6（→))＝2（eq\o(OB,\s\up6（→)）－eq\o（OP，\s\up6（→）））＋3（eq\o(OC，\s\up6（→）)－eq\o（OP,\s\up6(→））），即eq\o（AP，\s\up6(→）)＝2eq\o(PB，\s\up6（→）)＋3eq\o(PC，\s\up6（→))，故eq\o（AP，\s\up6（→）)，eq\o（PB,\s\up6（→))，eq\o（PC，\s\up6（→)）共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面．12．已知A,B，C三点不共线,O是平面ABC外任意一点，若由eq\o（OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5）eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\f（2,3)eq\o（OB,\s\up6(→）)＋λeq\o（OC,\s\up6（→）)确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．解析:根据P,A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z,使得eq\o(OP,\s\up6(→））＝xeq\o（OA,\s\up6(→)）＋yeq\o(OB，\s\up6(→））＋zeq\o(OC，\s\up6(→）)成立，其中x＋y＋z＝1，于是eq\f（1,5）＋eq\f(2，3）＋λ＝1，所以λ＝eq\f(2，15）。答案:eq\f(2,15）13．在平行六面体ABCD。EFGH中,已知M,N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，eq\o（AN,\s\up6(→）)＝eq\f(1,2）eq\o（ND,\s\up6(→)），AR＝2RE，求平面MNR截体对角线AG所得线段AP与PG的比．解：如图,设eq\o(AP，\s\up6（→))＝meq\o(AG，\s\up6(→))，因为eq\o(AG,\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（AD，\s\up6（→))＋eq\o（AE,\s\up6（→）)＝2eq\o(AM,\s\up6(→))＋3eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f（3，2）eq\o（AR，\s\up6(→）），所以eq\o（AP，\s\up6(→)）＝2meq\o（AM，\s\up6（→）)＋3meq\o（AN，\s\up6（→)）＋eq\f（3,2）meq\o（AR,\s\up6(→)）。由于P，M，R，N四点共面，所以2m＋3m＋eq\f（3，2)m＝1，从而得m＝eq\f（2,13），即eq\f(AP,AG)＝eq\f(2，13)，所以eq\f（AP，PG)＝eq\f(2，11）.14.(选做题）如图，已知OE是平行六面体OADB。CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证:点M在直线OE上．证明:如图，连接AM并延长交BC于点H，因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点，所以eq\o(AH，\s\