2020高中数学 第三章 概率 .2.1 古典概型（1）练习（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12-学必求其心得，业必贵于专精第20课时古典概型（1）知识点一基本事件及其计数问题1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有(）A．(男，女），(男,男）,（女，女）B．（男,女），（女,男）C．(男,男），（男，女），(女，男),（女,女）D．(男，男）,（女，女)答案C解析两个孩子出生有先后之分．2．做试验“从0,1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对（x，y）,x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的基本事件;(2)求出这个试验的基本事件的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件．解（1)这个试验的基本事件为(0，1)（0，2），(1，0），(1,2),(2，0），（2,1）．(2）基本事件的总数为6．（3）“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件:(2,0），(2,1）．知识点二古典概型的判断3．下列是古典概型的是（）A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止答案C解析A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是;D项中基本事件可能会是无限个,故D不是．4．下列试验中,是古典概型的个数为(）①种下一粒花生，观察它是否发芽；②向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率;③从正方形ABCD内,任意取一点P，点P恰与点C重合；④从1，2，3,4四个数字中，任取两个数字，求所取两数字之一是2的概率；⑤在区间[0，5]上任取一个数，求此数小于2的概率．A．0B．1C．2D．3答案B解析①花生发芽与不发芽的可能性不相等，不是古典概型；②硬币不均匀,所以正面向上与反面向上的可能性不相等,不是古典概型；③点P的个数是无限的，不是古典概型；⑤在区间[0,5］上任取一个数有无限个，不是古典概型．故只有④是古典概型，选B．知识点三简单的古典概型的概率5．一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球,记为A1，A2，4个黑球，记为B1，B2，B3，B4,从中一次摸出2个球．（1)写出所有的基本事件；（2）求摸出的2个球颜色不同的概率．解（1)从中一次摸出2个球，有如下基本事件:（A1，A2），(A1，B1），(A1，B2），（A1,B3)，（A1,B4），（A2，B1)，(A2，B2），（A2，B3），(A2,B4)，（B1，B2),(B1,B3），（B1,B4），(B2，B3),(B2，B4)，(B3，B4),共15个．(2)由（1)知，从袋中的6个球中任取2个，所取的2球颜色不同的事件有（A1,B1)，(A1,B2)，（A1，B3)，(A1,B4)，(A2，B1)，（A2，B2），(A2，B3），(A2，B4），共8个，故所求事件的概率P＝eq\f(8,15)．6．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．（1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．解记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．（1)从4张标签中无放回地随机选取2张，共有12个基本事件，分别为(1，2），（1，3)，(1，4)，（2,1),（2,3）,(2，4)，（3，1）,（3,2），（3，4），（4，1),(4，2）,（4，3)．事件A包含了其中的6个基本事件:（1，2)，（2，1),(2，3），(3，2)，（3，4),(4，3）．由古典概型概率计算公式知P（A）＝eq\f（6，12）＝eq\f（1,2)，故无放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为eq\f（1，2)．（2）从4张标签中有放回地随机选取2张，共有16个基本事件，分别为（1，1），（1，2），(1，3）,（1，4)，(2,1)，(2，2），（2,3），（2,4),（3,1),(3，2)，（3，3）,(3，4)，(4，1）,（4，2），（4，3)，（4，4）．事件A包含了其中的6个基本事件:（1,2），(2，1），(2，3)，（3,2)，（3，4）,（4,3）．由古典概型概率计算公式知P（A）＝eq\f（6，16）＝eq\f(3,8）,故有放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为eq\f（3,8)．易错点混淆“等可能性”与“非等可能性”7．任意掷两枚骰子，计算：（1）出现点数之和为奇数的概率；（2）出现点数之和为偶数的概率．易错分析本题易出现认为点数之和为奇数与偶数共11种情况的错误;由于以上两种情况为不等可能事件,不属于古典概型,不能应用古典概型概率公式计算．正解任意掷两枚骰子,所有可能的结果为（1，1），（1，2）,（1,3），(1，4），(1，5），（1，6),（2，1），（2，2),(2，3），(2，4)，（2，5），(2，6)，(3，1）,(3,2）,（3，3)，（3,4),（3，5）,（3，6)，（4,1),(4，2），（4，3），(4，4)，(4，5),(4，6），(5，1)，(5，2），(5,3），(5，4），（5,5）,(5,6)，(6，1)，(6，2)，(6，3),(6，4),（6，5），(6，6），共36个．(1）出现点数之和为奇数的有（1，2)，（1，4）,(1，6），（2，1)，(2,3)，(2,5)，（3，2）,(3，4）,（3，6），（4，1），(4，3），(4，5)，(5，2），(5,4）,(5,6），(6,1），（6，3),(6，5),共18个．因此点数之和为奇数的概率为eq\f(18,36)＝eq\f（1,2）．(2）点数之和为偶数的概率为1－eq\f(1，2）＝eq\f(1,2)．一、选择题1．如果一项试验中所有可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率（)A．都是1B．都是eq\f（1，n）C．都是eq\f（m，n）D．不一定都相等答案B解析由古典概型的意义可得．2．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是（)A．eq\f(1,9）B．eq\f（1,6)C．eq\f(1,4）D．eq\f(1,3）答案D解析抛掷2次所得的结果有36种,点数之和为3的倍数的基本事件有（1,2)，（1，5）,（2，1），(2，4），（3，3),（3，6)，（4,2），(4,5)，(5，1）,（5,4)，(6，3），(6，6），共12种结果，因此所求概率为eq\f(12,36)＝eq\f（1,3)．3．从数字1,2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是()A．eq\f(1，3)B．eq\f(1，6）C．eq\f（1,8)D．eq\f(1,4）答案A解析构成的两位数为12，13，21，23，31，32，共6个，这6个基本事件是等可能的,因此是古典概型．其中大于23的为31，32，共2个，所以所求概率P＝eq\f(2，6)＝eq\f（1，3)．4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为(）A．eq\f（1，3）B．eq\f(1，4)C．eq\f(1,5)D．eq\f(1,6）答案D解析设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1，b2,b3．齐王与田忌赛马,其情况有:（a1，b1），(a2,b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a1，b1），（a2，b3)，(a3，b2），齐王获胜;（a2,b1），（a1,b2），（a3，b3)，齐王获胜；(a2,b1），(a1，b3)，(a3，b2），齐王获胜；(a3，b1)，（a1，b2)，（a2，b3）,田忌获胜；（a3，b1），（a1,b3),(a2，b2）,齐王获胜．共6种．其中田忌获胜的只有一种情形，即（a3，b1），(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为eq\f（1,6），故选D．5．甲、乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2，3,4｝，若｜a－b｜≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(）A．eq\f(3，8）B．eq\f(5,8）C．eq\f(3，16）D．eq\f（5，16)答案B解析两人分别从1，2，3,4四个数中任取一个,有16种情况，其中满足｜a－b|≤1的情况有（1，1）,(1，2），（2,1)，（2，2）,(2，3)，（3,2)，（3,3），(3，4)，(4,3)，(4,4)，共10种,故他们“心有灵犀"的概率为eq\f(10，16）＝eq\f(5，8）．二、填空题6．如图所示，有一个正十二面体,12个面上分别写有1～12这12个整数,投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为________．答案eq\f（2，3)解析由题意可知,所有的基本事件数为12，其中为2或3的倍数的是2,3，4,6，8,9，10，12,共8个．故所求的概率为eq\f（8,12）＝eq\f（2，3)．7．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则eq\f（m，n)等于________．答案eq\f（1，4)解析试验发生包含的基本事件数n＝4．即“1，2，3"，“1，2，4"，“1,3，4”，“2，3,4”．由三角形的性质“两边之和大于第三边”知可组成三角形的有“2，3,4”,m＝1．所以eq\f(m，n)＝eq\f（1，4）．8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213,134等)，若a,b，c∈｛1，2，3，4｝，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．答案eq\f（1,2)解析由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213,231，312，321,共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数为6个，由1，3，4组成的三位自然数为6个，由2,3，4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数",共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为eq\f（12，24）＝eq\f(1，2)．三、解答题9．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验,求连续两次取出的都是正品的概率；(2）从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．解(1)将灯泡中2只正品记为a1,a2,1只次品记为b，画出树状图如下图所示．基本事件总数为9，连续两次取得正品的基本事件数为4，所以所求概率P＝eq\f（4，9）．(2）“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即{a1，a2｝，{a1,b｝，｛a2，b}({a1,a2}表示一次取出正品a1，a2），“2只都是正品"的基本事件数是1，所以所求概率P＝eq\f（1,3)．10．抛掷两枚骰子，计算:（1）事件“两枚骰子点数相同"的概率；（2）事件“点数之和小于7"的概率；（3）事件“点数之和等于或大于11"的概率．解每枚骰子落地都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36．（1）记“两枚骰子点数相同"为事件A，则事件A有6个基本事件，即A＝{(1，1）,（2，2），(3，3），(4，4），（5，5),(6，6)｝，∴P（A）＝eq\f（6,36）＝eq\f(1,6)．(2）记