2020高中数学 第三章 不等式单元质量测评 5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精第三章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a<0，－1〈b〈0，则（）A．－a<ab〈0 B．－a>ab>0C．a>ab〉ab2 D．ab〉a〉ab2答案B解析∵a〈0，－1〈b<0，∴ab〉0，a〈ab2〈0，故A，C,D都不正确，正确答案为B．2．不等式组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4x＋3y≤12,,x－y＞－1，,y≥0))表示的平面区域内整点的个数是(）A．2个B．4个C．6个D．8个答案C解析画出可行域后，可按x＝0,x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0，0)，（1,0）,(2，0），(3，0）,(1,1），（2，1)共6个．3．不等式eq\f(x2－x－6，x－1)>0的解集为(）A．｛x|x〈－2或x〉3｝B．{x|x<－2或1〈x<3}C．{x｜－2〈x〈1或x〉3}D．｛x｜－2〈x〈1或1〈x〈3｝答案C解析原不等式可化为(x＋2)·（x－1）(x－3)〉0，如图由穿根法可得该不等式的解集为{x｜－2〈x〈1或x〉3}．4．若a〉0,b〉0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（)A．eq\f（1,ab)>eq\f（1，2） B．eq\f（1,a)＋eq\f（1，b)≤1C．eq\r(ab）≥2 D．eq\f（1，a2＋b2)≤eq\f（1，8)答案D解析∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴eq\r(ab)≤eq\f（a＋b，2)＝2。∴ab≤4.∴eq\f(1,ab）≥eq\f(1，4）。∴eq\f(1,a）＋eq\f（1，b)＝eq\f（a＋b,ab）＝eq\f（4,ab）≥1，故A，B，C均错误．故选D．5．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是（）A．a≤－4 B．a≥－4C．a≥－12 D．a≤－12答案A解析∵y＝2x2－8x－4（1≤x≤4)在x＝4时，取最大值－4,当a≤－4时,2x2－8x－4≥a存在解．6．方程x2＋（m－2）x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是（)A．(－5，－4］B．(－∞，－4］C．（－∞,－2)D．（－∞，－5)∪（－5，－4］答案A解析令f（x)＝x2＋（m－2)x＋5－m,要使f（x）＝0的两根都大于2，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ＝m－22－45－m≥0，，f2〉0，,－\f（m－2，2）〉2，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m2≥16，,m>－5，,m〈－2))⇒－5<m≤－4。故选A．7．已知某线性规划问题的约束条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，，3y≥x，,x＋y≤4，)）则下列目标函数中，在点(3，1）处取得最小值的是（)A．z＝2x－y B．z＝2x＋yC．z＝－eq\f(1，2）x－y D．z＝－2x＋y答案D解析作出不等式组对应的平面区域如图：A中，由z＝2x－y得y＝2x－z，平移直线可得，当直线经过点A（3,1)时，截距最小，此时z最大;B中，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z,平移直线可得，当直线经过点A（3,1）时，截距最大,此时z最大；C中,由z＝－eq\f（1,2)x－y得y＝－eq\f(1,2)x－z，平移直线可得，当直线经过点B时，截距最大，此时z最小；D中，由z＝－2x＋y得y＝2x＋z，平移直线可得，当直线经过点A（3,1）时，截距最小，此时z最小，满足条件．故选D．8．已知实数x，y满足x2＋y2＝1,则(1－xy)(1＋xy）有()A．最小值eq\f(1,2）和最大值1 B．最小值eq\f（3,4）和最大值1C．最小值eq\f（1,2）和最大值eq\f（3，4） D．最小值1答案B解析∵x2y2≤eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x2＋y2,2））)2＝eq\f(1,4)，当且仅当x2＝y2＝eq\f(1,2)时,等号成立，∴1－x2y2≥eq\f（3，4）≥0,∴eq\f（3，4)≤1－x2y2≤1.故（1－xy）（1＋xy)有最小值eq\f（3,4)和最大值1。9．已知f（x）＝(x－a)(x－b)＋2(a〈b)，且α，β（α<β)是方程f(x）＝0的两根，则α，β，a,b的大小关系是(）A．a<α〈β<b B．a<α<b<βC．α<a<b〈β D．α〈a<β<b答案A解析∵α，β为f（x）＝0的两根，∴α，β为f(x)＝（x－a)(x－b）＋2与x轴交点的横坐标．∵a,b为（x－a）（x－b）＝0的根，令g（x）＝(x－a)(x－b),∴a，b为g（x)与x轴交点的横坐标．∴f(x)图象可由g(x）图象向上移2个单位得到，由图知选A．10．已知直线l过点P（2,1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为(）A．1B．eq\r（2）C．2eq\r(2）D．4答案D解析设直线l为eq\f(x,a)＋eq\f（y,b)＝1（a>0，b〉0)，则eq\f(2，a）＋eq\f（1，b）＝1，故1＝eq\f（2，a）＋eq\f（1,b)≥2eq\r（\f（2,a）·\f(1,b）)＝eq\f（2\r（2)，\r（ab）），即ab≥8，当且仅当a＝2b＝4时，等号成立．于是△OAB的面积为S＝eq\f(1,2）ab≥4.故选D．11．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元）与营运年数x(x∈N＊)为二次函数关系(如图所示）,若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运(）A．3年B．4年C．5年D．6年答案C解析设二次函数为y＝a(x－6）2＋11。又图象过点（4,7)，代入得7＝a（4－6）2＋11，解得a＝－1，∴y＝－x2＋12x－25。设年平均利润为m,则m＝eq\f(y,x）＝－x－eq\f(25，x)＋12≤2，当且仅当x＝eq\f（25,x),即x＝5时取等号．12．设x，y满足约束条件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－1≥0，,x－y＋2≥0，，x＋4y－8≤0，))且目标函数z＝ax＋y仅在点（4，1)处取得最大值，则原点O到直线ax－y＋17＝0的距离d的取值范围是（)A．(4eq\r(17），17] B．（0,4eq\r(17)）C．eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(17\r（2)，2),17）) D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（17\r(2)，2)））答案B解析由约束条件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－1≥0，,x－y＋2≥0，，x＋4y－8≤0）)作出可行域,如下图可行域，∵目标函数z＝ax＋y仅在点A(4，1）取最大值,当a＝0时，z＝y仅在点(0,2）取最大值，不成立;当a<0时，目标函数z＝ax＋y的斜率k＝－a>0，目标函数在（4,1）取不到最大值．当a>0时，目标函数z＝ax＋y的斜率k＝－a，小于直线x＋4y－8＝0的斜率－eq\f(1，4)，∴a〉eq\f(1，4）。综上，a>eq\f（1，4)。原点O到直线ax－y＋17＝0的距离d＝eq\f(17,\r（1＋a2）)〈4eq\r(17），则原点O到直线ax－y＋17＝0的距离d的取值范围是(0,4eq\r（17）)．故选B．第Ⅱ卷(非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若x＝(a＋3）(a－5)，y＝（a＋2)（a－4),则x与y的大小关系是________．答案x＜y解析因为x－y＝（a＋3)(a－5)－（a＋2）(a－4）＝(a2－2a－15)－（a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y。14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是（1,m)，则m＝________.答案2解析由题意知a〉0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2，∴不等式为2x2－6x＋4<0,即x2－3x＋2〈0,∴1〈x〈2，∴m＝2。15．若不等式x2〈｜x－1|＋a在区间（－3,3)上恒成立，则实数a的取值范围为________．答案[7，＋∞）解析由x2〈|x－1｜＋a得a>x2－｜x－1｜，令f（x)＝x2－|x－1｜＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2－x＋1，1≤x〈3，,x2＋x－1，－3<x〈1,））∴f（x)在eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（－3，－\f（1，2)））上单调递减,在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，3））上单调递增,∵f(－3）＝5,f(3)＝7,∴f(x）〈7，∴a的取值范围是［7，＋∞)．故答案为[7，＋∞)．16．不等式(x2－x＋1)(x2－x－1)>0的解集是________．答案{xeq\b\lc\｜\rc\}（\a\vs4\al\co1(x〈\f（1－\r(5），2）或x〉\f(1＋\r（5），2)))解析∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2)））2＋eq\f(3，4）〉0,∴（x2－x－1)(x2－x＋1）>0可转化为解不等式x2－x－1>0，由求根公式知，x1＝eq\f(1－\r(5),2），x2＝eq\f（1＋\r(5)，2)。∴x2－x－1>0的解集是｛xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1（x＜\f（1－\r(5），2）或x＞\f（1＋\r（5）,2)））.∴原不等式的解集为{xeq\b\lc\｜\rc\}（\a\vs4\al\co1(x＜\f（1－\r（5）,2）或x＞\f（1＋\r(5）,2))).三、解答题(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）已知直角三角形两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长．解设一条直角边长为xcm（0〈x<10)，则另一条直角边长为（10－x)cm，面积S＝eq\f（1,2）x(10－x）≤eq\f(1,2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（x＋10－x,2）)）2＝eq\f(25，2)(cm2），等号在x＝10－x,即x＝5时成立，∴面积最大时斜边长L＝eq\r(x2＋10－x2）＝eq\r(52＋52）＝5eq\r（2)（cm)．18．(本小题满分12分）已知函数f（x)＝x2－2x－8，g（x)＝2x2－4x－16.(1)求不等式g（x)〈0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥（m＋2）x－m－15成立，求实数m的取值范围．解(1）g（x)＝2x2－4x－16〈0，∴（2x＋4）（x－4）<0，∴－2<x〈4，∴不等式g（x）<0的解集为{x｜－2<x〈4｝．（2）∵f(x）＝x2－2x－8，当x>2时,f（x)≥（m＋2）x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥（m＋2)x－m－15对一切x>2恒成立．∴eq\f(x2－4x＋7，x－1）≥m对一切x〉2恒成立，又x－1>1，eq\f(x2－4x＋7,x－1）＝x－1＋eq\f(4,x－1）－2≥2eq\r(x－1×\f(4，x－1))－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，∴实数m的取值范围是(－∞，2］．19．(本小题满分12分)实系数方程x2＋ax＋2b＝0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求eq\f（b－2，a－1）的取值范围．解令f(x)＝x2＋ax＋2b，则方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在（0,1)内另一个根在(1，2）内,即为f(x）与x轴的交点分别位于(0,1)和(1，2）之间,从而有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（f0〉0，,f1<0，，f2>0，))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（b>0,，1＋a＋2b〈0,，2＋a＋b〉0.）)则点(a，b)对应的区域为图中三角形区域ABD,其中A(－3，1），B(－1，0)，D(－2，0)．而eq\f（b－2,a－1）的几何意义为区域内的点(a，b)与C(1，2）连线的斜率，则有eq\f(1,4)＝kAC<eq\f(b－2，a－1）<kBC＝1，即eq\f(b－2,a－1)的取值范围为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,4），1）).20．(本小题满分12分)实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0,，x〉0，，y≤2.）)（1）若z＝eq\f(y,x)，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；（2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．解由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x>0，，y≤2)）作出可行域如图中阴影部分所示．(1)z＝eq\f（y,x）表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此eq\f(y，x)的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（OA斜率不存在）．而由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，，y＝2,)）得B(1，2)，则kOB＝eq\f（2，1）＝2。∴zmax不存在，zmin＝2，∴z的取值范围是［2,＋∞)．(2）z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．因此x2＋y2的范围最小为|OA｜2(取不到），最大为｜OB|2.由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，，x＝0，）)得A(0,1）,∴|OA｜2＝(eq\r（02＋12））2＝1,|OB｜2＝（eq\r（12＋22））2＝5。∴z的最大值为5，没有最小值．故z的取值范围是(1,5]．21．(本小题满分12分)已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，且f(－1）＝0,是否存在常数a，b，c,使得不等式x≤f(x)≤eq\f(1，2)(x2＋1)对一切实数x恒成立?并求出a，b,c的值．解已知f(－1)＝a－b＋c＝0，①若存在常数a，b,c，使得x≤f（x）≤eq\f（1,2）（x2＋1)恒成立，则令x＝1，得1≤f（1)≤1.∴f(1）＝a＋b＋c＝1。②由①②，得b＝eq\f（1,2)，a＋c＝eq\f(1,2)，则f（x)＝ax2＋eq\f（1，2)x＋eq\f（1，2)－A．∵x≤f（x）≤eq\f(1，2)(x2＋1)对一切实数x都成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1，2)x＋\f（1，2)－a≥x，，ax2＋\f（1，2）x＋\f(1,2）－a≤\f(1,2)x2＋1）)恒成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ax2－\f(1，2)x＋\f（1，2）－a≥0，，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a－\f(1,2））)x2＋\f(1，2)x－a≤0））恒成立．a．对于不等式ax2－eq\f(1，2）x＋eq\f(1,2）－a≥0恒成立,则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝4a2－2a＋\f（1，4）≤0,）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＞0，,\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a－\f（1,4)）)2≤0，））∴a＝eq\f（1,4)。b．对于不等式eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f（1，2）））x2＋eq\f(1,2)x－a≤0恒成立，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a－\f（