线性代数练习题

线性代数练习（2023）一．填空题1．排列975341268的逆序数是，5阶行列式中项前的符号是2．已知3阶矩阵A和B，且|A|＝3，|B|=－2则＿，＿，＿3．设，则元素的余子式是＿＿，元素的代数余子式是＿＿＿（用行列式表示），按第2行展开的表达式是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿，4．（1）行列式＝，（2）设，若|A|＝0，则的值是5．（1），则AB＝＿＿＿＿＿＿，BA＝＿＿＿＿＿＿＿（2）设，则＿＿，＿＿，（3），则＿＿＿（4）若，则X＝＿＿＿＿＿6．（1）n阶可逆矩阵矩阵A的列向量组为，则秩＿＿＿＿（2）设A是阶矩阵，且A的秩是R(A)＝2，，则R(AB)=（3）从矩阵A中划去1行得到矩阵B，则矩阵的秩R(A)与R(B)的关系是＿＿＿＿＿＿（4）设A是阶矩阵，线性方程组的基础解系含有3个向量，则R(A)＝＿＿（5）非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿7．（1）设是非齐次线性方程组的解，，则方程组的通解为＿＿＿＿＿＿＿（2）设是非齐次线性方程组的线性无关的2个解，A为2×3阶矩阵，且，若是方程组的通解，则常数须满足关系式＿＿（3）设A为n阶方阵，是的3个线性无关的解向量，则的一个基础解系是＿＿＿＿＿＿8．（1）已知向量线性相关，不能由线性表示，则线性＿＿＿（相关还是无关）。（2）设n维向量线性无关，令，则向量组是＿＿＿＿＿＿（线性相关还是线性无关）（3）向量组＿＿＿＿＿（线性相关还是线性无关）9．（1）设向量且向量满足，则＝＿＿＿（2）都是4维列向量，且4阶行列式,则4阶行列式＿＿＿＿＿（3）设是3维列向量，组成3阶方阵，且|A|=6，则＿＿＿＿＿＿（4）设4阶矩阵，，其中均为4维列向量，已知行列式＿＿＿＿10．设n阶矩阵A满足，则的逆矩阵是，的逆矩阵是11．（1）向量，若能用线性表示，则k＝（2）设n维向量，矩阵，则AB＝＿＿12．设n元非齐次线性方程组AX=b，矩阵A的秩，系数增广矩阵的秩，那么有唯一解的充分必要条件是13．（1）设矩阵A为方阵，满足，则A的两个特征值是＿＿＿＿＿＿设，则A的特征值是＿＿＿＿＿（2）已知3阶方阵A的特征值是1，－2，3，则|A|=＿＿，的特征值是＿＿＿＿＿（3）已知3阶方阵A的特征值是－1，0，1，则＿＿＿（4）设A是正交矩阵，则行列式＿＿14．设为正交矩阵，则＿＿，＿＿＿二．判断题，下列命题正确的打√，不正确的打×1．行列式的某行有公因子，将公因子提到行列式的外面，行列式的值不变；（）2．；（）3．设A，B均为n阶可逆矩阵，则；（）4．设A为n阶方阵，若，则A的秩等于n；（）5．设A，B均为n阶方阵，则；（）6．非齐次线性方程组AX＝b有两个解，那么也是AX＝b的解；（）7．设，则齐次线性方程组AX＝0必有非零解；（）8．设向量组的秩是，则其中任意个向量均线性无关；（）9．若P,Q都是正交矩阵，则它们的乘积PQ也是正交矩阵；（）三．选择题1．排列的逆序数是（）A．；B.；C.；D.。2．设4阶行列式D中第3行的元素依次为1,2,3,4，对应的余子式依次为4,3,1,2，则D＝（）A．7；B.－7；C.21，D.－21。3．若5阶行列式的项是，则下列正确的是（）A．符号为正；B.符号为负；C.符号为正；D.符号为负。4．的充分必要条件是（）A．；B.；C.且；D.或。5．设A、B、C为n阶方阵，则下列各式正确的是（）A．；B.若，则或；C.；D.若，且可逆，则6．设为n阶方阵，且，则下列成立的是（）A．；B.；C.；D.。7．设A、B、C为n阶方阵，则下列正确的是（）A．；B.若，则或C.；D.8．若都是n阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是（）A；B.；C.；D.9．设A，B是n阶方阵，则下列说法正确的是（）A．若｜A｜＝0，则A＝0；B.若，则A＝0；C.若，则D.。10．设A为阶矩阵，且，则下列叙述正确的是（）A．A中所有的阶子式全不为零；B.A中所有的阶子式全不为零；C．A中至少存在一个阶子式不为零；DA中可能有的阶子式不为零。11．若方程组AX=0中，方程个数小于未知数个数，则方程组（）A．必有非零解；B.必无解；C.仅有零解；D.有惟一解。12．设是非齐次方程组的解，是对应齐次方程组的解，则必有一个解是()A.；B.；C.；D.。13．已知n维向量组线性相关，则（）A．A的任何部分组必线性相关；B.A的任何部分组必线性无关；C.A的极大线性无关组是惟一的；D.向量组A的秩小于S。14．与已知向量都正交的一个向量是，则（）A．－1；B.0；C.1；D.2。15．设是四元非齐次线性方程组的3个解向量，且R(A)=3，，则方程组的通解为（）A．；B.；C.；D.16．设3阶方阵A的特征值为1、3、-1，，则是（）A．滿秩矩阵；B.；C.；D.。17．设4阶矩阵相似，矩阵A的特征值为，则（）A．0；B.24；C.60；D.120。四．计算行列式（1），（2），（3）五．求下列矩阵的逆矩阵（1）（2），六．（1），且求。（2），且求。（3）已知，求矩阵X使。七．（1）设矩阵A满足，证明可逆，并求逆（2）设矩阵A满足，证明可逆，并求逆八．求下列向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量表示成极大无关组的线性组合（1）（2）（3）（4），能否用线性表示？表达式是否惟一？若不惟一，写出另一表达式。九．求解下列线性方程组：（1）（2）（3）（4）齐次线性方程组有非零解，求的取值。（5）k取何值时方程组有惟一解？无穷解?无解？十．求可逆阵使得为对角阵，并给出，，十一．求正交矩阵P和对角阵，使。（1），（2），（3）十二.证明题（1）设A，B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB＝BA。（2）设是n阶方阵，证明：与有相同的特征值。（3）设为n维列向量，且，令，证明H是对称的正交阵。（4）设是维列向量，且，证明：|A|＝0。答案（仅供参考）填空题：1．22，负；2.-24，-24，-4.5；3.；4.(1)-120；（2）1或-5；5.（1）；（2），（3）；（4）。6.（1）n，（2）2，（3）,(4)R(A)=3,(5)R(A)=R(A,b)<n；7.（1）（2）k+L=1，（3）；8.（1）相关，（2）线性无关，（3）线性相关；9.（1）（0，-7，11/2），（2）m-n,（3）18，（4）64；10.（1）；11.（1）-6，（2）E；12.r=s=n；13.（1）1，-3；1，2，（2）-6，1，-1/2，1/3，（3）-4，（4）1或-1；14.。二．判断题：1.对，（2）错（3）错（4）对（5）错（6）错（7）对（8）错（9）对。三.选择题：1.C，2.B，3.B，4.C，5.D，6.C，7.C，8.C，9.C，10.C，11.A，12.D