统计概率高考试题(参考答案)

统计、概率练习试题1、【2023高考山东】(4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差【答案】D2、【2023高考四川】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（）A、101B、808C、1212D、2023【答案】B3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。4、【2023高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53【答案】A.5、【2023高考湖北】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为A0.35B0.45C0.55D0.652【答案】B6、【2023高考广东】由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为.（从小到大排列）【答案】7、【2023高考山东】右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【答案】98、【2023高考湖南】图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.(注：方差，其中为x1，x2，…，xn的平均数)[来【答案】6.89、【2023高考江苏】个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．【答案】10、【2023高考安徽】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为，从袋中任取两球共有15种；满足两球颜色为一白一黑有种，概率等于。11、【2102高考北京】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。12、【2023高考辽宁】在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为:(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为，故选C13、【2023高考浙江】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。【答案】【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为.14、【2023高考江苏】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的的概率是▲．【答案】。【考点】概率。【解析】以1为首项，为公比的的概率是。15、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 （A）（B）（C） （D）16、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．B．C．D．17、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______11．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18[27.5，31.5) 1l[31.5，35.5) 12[35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（A） （B） （C） （D）18、从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 A． B． C． D．19、【2023高考山东】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.20、【2023高考新课标】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】21、【2023高考四川】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。命题立意：本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.【答案】【解析】22、【2023高考重庆】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。独立事件同时发生的概率计算公式知23、【2023高考天津】某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。【答案】24、【2023高考陕西】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。【答案】25、【2023高考江西】如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；求这3点与原点O共面的概率。1、【2023高考浙江】设是直线，a，β是两个不同的平面A.若∥a，∥β，则a∥βB.若∥a，⊥β，则a⊥βC.若a⊥β，⊥a，则⊥βD.若a⊥β,∥a，则⊥β【答案】B【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵∥a，⊥β，则a⊥β．如选项A：∥a，∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，⊥a，∥β或；选项D：若若a⊥β,⊥a，∥β或⊥β．2、【2023高考四川】下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C3、【2023高考新课标】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）【答案】B【解析】选由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为，所以几何体的体积为,选B.4、[2023·陕西卷]某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积是()图1－2A．8－eq\f(2π,3)B．8－eq\f(π,3)C．8－2πD.eq\f(2π,3)课标理数5.G2[2023·陕西卷]A【解析】分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V＝2×2×2－eq\f(1,3)π×12×2＝8－eq\f(2,3)π.5、【2023高考新课标】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为（A）eq\r(6)π（B）4eq\r(3)π（C）4eq\r(6)π（D）6eq\r(3)π【答案】B【解析】球半径，所以球的体积为，选B.6、【2023高考全国】已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D.【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.7、在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是______________8、如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是。SEFSEFCAB那么异面直线EF与SA所成的角等于（C）A．60°B．90°C．45°D．3010、[2023·四川卷]如图1－5，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1∥平面BDA1；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．图1－5大纲文数19.G12[2023·四川卷]【解答】解法一：(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD.∵C1D∥AA1，A1C1＝C1P，∴AD＝PD，又AO＝B1O，∴OD∥PB1.图1－6又OD⊂平面BDA1，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1.(2)过A作AE⊥DA1于点E，连结BE.∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，∴BA⊥平面AA1C1C.由三垂线定理可知BE⊥DA1.∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．在Rt△A1C1D中，A1D＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋12)＝eq\f(\r(5),2)，又S△AA1D＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(5),2)×AE，∴AE＝eq\f(2\r(5),5).在Rt△BAE中，BE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(3\r(5),5)，∴cos∠BEA＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(2,3).故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为eq\f(2,3).解法二：图1－7如图1－7，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．(1)在△PAA1中有C1D＝eq\f(1,2)AA1，即Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))).∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(B1P,\s\up6(→))＝(－1,2,0)．设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(A1B,\s\up6(→))＝a＋c＝0，,n1·\o(A1D,\s\up6(→))＝b＋\f(1,2)c＝0.))令c＝－1，则n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－1)).∵n1·eq\o(B1P,\s\up6(→))＝1×(－1)＋eq\f(1,2)×2＋(－1)×0＝0，∴PB1∥平面BDA1，(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－1)).又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(1,1×\f