A和资产定价基本定理货币金融学

第五讲Ross的套利定价

理论(APT)和资产定价基本定理1《金融经济学》第五讲CAPM和APT的表达形式CAPM:APT:APT

开始时作为CAPM的替代物出现的。2《金融经济学》第五讲StephenRoss(1944-)3《金融经济学》第五讲摘自Levy《投资学》325页4《金融经济学》第五讲Markowitz理论和CAPMMarkowitz理论指出，对于固定的收益（期望收益率)，怎样选取适当的证券组合，使得风险(收益率方差)最小。CAPM则指出，任何证券和证券组合的收益(期望收益率)怎样通过两个均值－方差有效的收益率的期望值来估计。两者通过“系统风险”、“非系统风险”之说联系在一起。5《金融经济学》第五讲“未定权益空间”上的正交分解6《金融经济学》第五讲正交分解的含义对于Markowitz理论来说，为求“风险”最小，应取“收益率前沿”直线上的点，使“非系统风险”(的长度)为零。对于CAPM来说，任何证券或证券组合的“收益”可用“收益率前沿”直线上的两点来计算，它并不关心“非系统风险”(的长度)有多大。就这两点来说，增加“风险因素”的APT不可能有任何新作为。7《金融经济学》第五讲APT能取代CAPM吗？APT声称它要取代CAPM,并认为它所取的“风险因素”不需要“均值－方差有效”。但是如果要求“误差项”可能是所有“非系统风险”，即所有与“收益率前沿”所在平面正交的元素，那么它将要求所有“风险因素”都“均值－方差有效”。因此，结论是“误差项”不能是所有“非系统风险”。8《金融经济学》第五讲APT能否提高“收益估计质量”？如果APT的目的是为了提高“收益估计”的“质量”，即要求“误差项”“很小”，这对于个别证券或证券组合是可能做到的，它可通过对继续进行对“更大的风险因素空间”进行正交分解来做到。但是不可能有一个对所有证券或证券组合都是“高质量”的APT!因为对于任何确定的“风险因素空间”，总存在“误差项很大”的证券组合。9《金融经济学》第五讲APT理论的真正意图APT理论试图回答的问题其实与Markowitz理论－CAPM试图回答的问题有很大不同。它回避“均值－方差有效”的概念，也不仅仅是要得到“收益估计”，而是对“部分”(但是有无限个！)证券希望得到“相对较好”的“收益估计”，并且认为只要互相独立的“风险因素”越来越多，个别的“收益估计”就会越来越好（“渐近无套利假设”)。10《金融经济学》第五讲APT的的出出发发点点、、终终点点与与根根据据为此此，，APT的的出出发发点点与与以以前前有有很很大大不不同同：：多多““风风险险因因素素””，，被被估估计计收收益益的的是是一一系系列列无无限限多多种种证证券券，，““误误差差项项””不不是是““非非系系统统风风险险””(不不一一定定与与““前前沿沿平平面面””正正交交)，，它它们们的的方方差差是是有有界界的的。。APT的的终终点点是是：：““误误差差项项””的的““总总体体””““较较小小””。。理论论根根据据是是““渐渐进进无无套套利利假假设设””，，即即线线性性定定价价函函数数是是连连续续的的。。11《金金融融经经济济学学》》第第五五讲讲关于于CAPM和和APT的结结论论CAPM:它对对任任何何收收益益率率r都成成立立。。不不可可能能被被““证证实实””。。APT:它对“一些””收益率r成立，有可能能被“证实””。12《金融经济学学》第五讲5.1渐近无套利假假设和Ross的的APT方法13《金融经济学学》第五讲14《金融经济学学》第五讲15《金融经济学学》第五讲16《金融经济学学》第五讲17《金融经济学学》第五讲18《金融经济学学》第五讲19《金融经济学学》第五讲20《金融经济学学》第五讲21《金融经济学学》第五讲22《金融经济学学》第五讲23《金融经济学学》第五讲24《金融经济学学》第五讲25《金融经济学学》第五讲26《金融经济学学》第五讲27《金融经济学学》第五讲28《金融经济学学》第五讲29《金融经济学学》第五讲30《金融经济学学》第五讲31《金融经济学学》第五讲5.2多因子模型与与随机折现因因子32《金融经济学学》第五讲33《金融经济学学》第五讲34《金融经济学学》第五讲35《金融经济学学》第五讲资产定价基本本定理Ross在在提出他的APT理理论以后，1978年年又提出一一条很一般的的定理。这条条定理后来被被人们称为““资产定价基基本定理”。。甚至“金融融学基本定理理”。它指出完整的的无套利假设设等价于正线线性定价法则则。这条资产定价价基本定理对对金融经济学学框架的形成成，实际上起起了决定性的的作用。36《金融经济学学》第五讲Ross1978年年的经典论文文37《金融经济学学》第五讲Ross论文的引言38《金融经济学学》第五讲引言的译文“在一个没有有未被开发的的套利机会的的资产市场中中，存在一个个线性估值算算子，它可以以毫不含糊地地以完善的市市场替代来为为收益流定价价，或者对通通过市场组合合界定的现金金流来界定其其值。用不到到进一步假定定，只要预计计的收益可以以通过购买一一个市场资产产组合的确定定的跨时规划划来复制(或或界定)，这这是可能的。。这些结果已已被证明，并并且被用来简简化和统一许许多金融经济济学中的论述述，其中包括括项目估值，，Modigliani-Miller理论，远期定定价，封闭式式互助基金悖悖论以及有效效市场理论。。”39《金融经济学学》第五讲最近出版(2003)的新书TableofContentsArbitrage,StatePricesandPortfolioTheory(P.H.Dybvig,S.Ross).IntertemporalAssetPricingTheory(D.Duffie).TestsofMulti-FactorPricingModels,Volatility,andPortfolioPerformance(W.E.Ferson).Consumption-BasedAssetPricing(J.Y.Campbell).TheEquityPremiuminRetrospect(R.Mehra,E.C.Prescott).AnomaliesandMarketEfficiency(G.W.Schwert).Arefinancialassetspricedlocallyorglobally?(G.A.Karolyi,R.Stulz).MicrostructureandAssetPricing(D.Easley,M.O'Hara).ASurveyofBehavioralFinance(N.C.Barberis,R.H.Thaler).Finance,Optimization,andtheIrreduciblyIrrationalComponentofHumanBehavior(R.J.Shiller).Derivatives(R.EWhaley).FixedIncomePricing(Q.Dai,K.Singleton).40《金融经济学学》第五讲41《金融融经济济学》》第五五讲42《金融融经济济学》》第五五讲资产定定价基基本定定理所谓资资产定定价基基本定定理实实际上上是一一条数数学定定理，，它是是指一一个正正线性性(定价价)函数应应该有有什么么形式式。资产定定价基基本定定理的的讨论论是从从“有有限维维未定定权益益空间间”开开始的的。这这时所所有““未定定权益益”都都可以以用有有限维维向量量来表表示。。对于一一般的的“未未定权权益Hilbert空间””，至至今似似还没没有明明确的的“资资产定定价基基本定定理””。43《金融融经济济学》》第五五讲S维维向量量空间间上的的正线线性函函数对于S维维向向量空空间来来说，，其上上的正正线性性函数数一定定可以以通过过一个个S维维正向向量来来表示示，其其分量量是这这个函函数在在S个个单位位向量量上所所取的的值。。每个个S维维向量量的正正线性性函数数都可可表示示为这这个正正向量量与自自变向向量的的内积积。44《金融融经济济学》》第五五讲S维维向量量空间间的经经济学学对应应物Arrow-Debreu在把不不确定定性引引进一一般经经济均均衡模模型时时，没没有用用概率率论，，而是是用一一个有有限(S)维维向向量来来对应应一个个“未未定权权益””。这样，，Arrow-Debreu意意义下下的““未定定权益益空间间”就就是一一个S维维向向量空空间。。在这这个空空间中中的S个个单单位向向量，，后人人把它它们称称为Arrow-Debreu证证券券。相应的的“未未定权权益空空间””常称称为“未定定市场场(ContingentMarket)。45《金融融经济济学》》第五五讲完全市市场的的资产产定价价基本本定理理金融经经济学学考虑虑的问问题是是：如如何用用基本本证券券的价价格来来为所所有的的未定定权益益定价价。如果任任何未未定权权益都都是基基本证证券的的未来来价值值的线线性组组合，，这样样的““市场场”就就称为为“完完全市市场””。在“未未定市市场””情形形下，，即““未定定权益益空间间”是是有限限维空空间时时，完完全市市场就就是说说基本本证券券组的的未来来价值值构成成空间间的““基””。46《金融融经济济学》》第五五讲完全市市场的的资产产定价价基本本定理理基的数数学性性质翻翻译成成经济济语言言为：：每一一种资资产(未未定权权益、、衍生生证券券等)都都可以以通过过基本本证券券的组组合来来“复制”，或或者叫叫“重构”。在这种种情况况下，，尤其其是S种种Arrow-Debreu证证券也也能被被复制制。而而Arrow-Debreu证券的的价值值一定定是正正的。。由此此我们们就得得到这这种情情形的的资产产定价价基本本定理理。47《金融融经济济学》》第五五讲问题在在于不不完全全市场场情形形困难的的是，，基本本证券券集不不能构构成向向量空空间的的不完完全市市场情情形。。在这这种情情况下下，我我们要要证明明资产产定价价基本本定理理，可可以通通过对对证券券集不不断加加入证证券来来使其其成为为完全全市场场。被被加入入的证证券的的定价价当然然要求求仍然然满足足无套套利假假设。。被加入入的证证券显显然可可以是是Arrow-Debreu证券。。48《金融融经济济学》》第五五讲一种最最简单单的情情形举一个个最简简单的的例子子，看看这样样的过过程是是怎样样进行行的。。假设S=2。而而证券券只有有一种种无风风险证证券，，并且且它的的当前前价格格是1，，未来来价格格是(1,1)。即只只有一一种没没有时时间价价值的的货币币。这这时我我们能能对其其他证证券定定价吗吗？显显然，，除了了与它它完全全成比比例的的证券券外，，别的的都定定不了了。49《金融融经济济学》》第五五讲无套利利(正线线性)定价但是由由于无无套利利假设设的约约束，，我们们仍然然可以以对任任何证证券的的价格格定出出其可可能的的范围围。我我们在在最初初的例例子中中实际际上已已经指指出，，如果果有一一种证证券的的未来来价格格是(a,b)，那那么其其当前前价格格只可可能在在a和b之间。。否则则就有有套利利机会会。因此，，对于于Arrow-Debreu证证券券例如如(1,0),其其当前前价格格只可可能是是0和和1之之间的的数。。50《金金融融经经济济学学》》第第五五讲讲一般般情情形形的的讨讨论论这个个简简单单的的例例子子说说明明，，在在不不完完全全市市场场中中也也能能利利用用无无套套利利假假设设来来定定价价，，但但是是所所定定出出的的价价不不是是唯唯一一的的。。一般般情情况况下下，，对对一一组组不不构构成成完完全全市市场场的的基基本本证证券券集集，，我我们们都都可可通通过过它它们们对对另另一一个个与与它它们们线线性性无无关关的的证证券券定定出出其其当当前前价价格格的的范范围围。。任任取取该该范范围围中中的的一一个个价价格格，，形形成成一一个个新新的的证证券券集集。。继继续续这这一一过过程程。。51《金金融融经经济济学学》》第第五五讲讲资产产定定价价基基本本定定理理的的数数学学困困难难最后后形形成成一一个个能能张张成成S维空空间间的的基基本本证证券券集集，，使使问问题题归归结结为为完完全全市市场场情情形形。。在不不完完全全市市场场情情形形下下，，对对一一种种证证券券确确定定其其定定价价范范围围是是问问题题的的关关键键。。解解决决这这一一问问题题有有本本质质的的数数学学困困难难。。它它需需要要凸凸集集分分离离定定理理或或者者其其他他定定价价命命题题。。52《金金融融经经济济学学》》第第五五讲讲凸集集分分离离定定理理53《金金融融经经济济学学》》第第五五讲讲资产产定定价价基基本本定定理理的的一一般般提提法法资产产定定价价基基本本定定理理说说到到底底就就是是正正线线性性定定价价法法则则在在数数学学上上怎怎样样表表达达。。对于于““未未定定权权益益Hilbert空间间””来来说说，，问问题题可可以以这这样样来来提提：：一一个个连连续续正正线线性性定定价价函函数数是是否否一一定定有有这这样样的的性性质质：：这里里是是““最最大大的的未未定定权权益益空空间间””。。54《金融经经济学》》第五讲讲资产定价价基本定定理的经经济含义义这条定理理的经济济含义可可叙述为为：一个个“小市市场”中中的正线线性定价价法则是是否可以以扩充到到“大市市场”？？或者说说，我们们能否通通过“已已定价商商品”的的价格来来为“未未定价商商品”定定价，，使得正正线性定定价法则则仍然保保持？整个衍生生证券定定价理论论，即Black-Scholes-Merton理理论就就是这样样的基本本思想，，即“相对定价价”思想。。55《金融经经济学》》第五讲讲资产定价价基本定定理的数数学解答答一般问题题没有一一般答案案，即以以刚才的的形式提提出的问问题不一一定有解解。但是当是是有限限维空间间时，问问题的答答案是肯肯定的。。只是要要得到这这样的结结果，数数学上都都不太简简单(涉及凸凸集分离离定理)。一种有限限维的情情况是““未来只只有有限限种状态态”的““未定市市场(ContingentMarket)”的情况。。56《金融经经济学》》第五讲讲“未定市市场”的的资产定定价基本本定理这时，资资产定价价基本定定理这样样叙述：：设未来来有S种状态，，市场中中有K种已定价价的“基基本证券券”，其其“未来来价格””为“当前价价格”为为那那么么“无套套利假设设”（正正线性定定价法则则）成立立的充要要条件为为存在使使得57《金融经济学学》第五讲Arrow-Debreu证券和“状态态价格”称为状态价格，它们是未来来价值为单位位向量的“证证券”的价格格。这种证券券已经被文献献上普遍称为为Arrow-Debreu证券。。“Arrow-Debreu证券”这一名名词起源于Arrow-Debreu把“不不确定性”引引进一般经济济均衡理论时时的做法。其其主要特点是是其中没有概概率的概念。。58《金融经济学学》第五讲引进等价概率率鞅测度如果在“基本本证券”中有有“无风险证证券”，其未未来价格为当前价格为，，那么有有令那那么可可看作第第i种状态的概率率，这种概率率称为“等价价概率鞅测度度”，即在这这种概率测度度下，每一种种未定权益的的当前价格都都等于其未来来价格的折现现值的期望值值。59《金融经济学学》第五讲在等价概率鞅鞅测度下的随随机折现因因子写成数学表达达式就是由此还可对收收益率得得到到即所有未定权权益的期望收收益率都相等等。这就是““鞅”这个名名词的含义。。这时随机折现现因子是无风风险证券！60《金融经济学学》第五讲等价概率鞅测测度下，不不再有“金融融平面几何””！当随机折现因因子为无风险险证券时，““金融平面几几何”不再有有效，即不再再有（有意义义的）Markowitz理理论，不再有有CAPM。CAPM变为“平凡””的情形：所所有期望收益益率都等于无无风险收益率率。这一结果是现现代经典金融融经济学最重重要的结果，，因而可称为为“金融学基基本定理”！！61《金融经济学学》第五讲未定权益定价价与

概率论论的早期历史史BlaisePascal(1623-1662)PierredeFermat(1601-1665)未定权益定价价问题联系着着概率论的起起源。1654年Pascal与Fermat的五封封通信，奠定定概率论的基基础。他们当当时考虑的就就是一个“未未定权益定价价”(掷骰骰子)问题题。62《金融经济学学》第五讲Pascal－Fermat问题二人掷骰子赌赌博，先掷满满5次双6点者赢。。有一次，A掷满4次双6点，B掷掷满3次次双6点点。由于天天色已晚，两两人无意再赌赌下去，那么么该怎样分割割赌注？答案：A得得3/4,B得1/4.结论：应该用用数学期望来来定价。63《金融经济学学》第五讲资产定价基本本定理

与““P-F定定价”的根根本区别“P-F定价”直到现现在还是“未未定权益定价价”的一种主主要方法。当当然，计算时时要考虑“折折现”。例如如，保险定价价、NPV方方法等都属属这种类型。。但这种方法不不能用到一般般的衍生证券券定价。而““资产定价基基本定理”与与“P-F定价”的根本本区别在于后后者用的是““客观概率””，前者用的的是“等价概概率鞅测度””。64《金融经济学学》第五讲一般的资产定定价基本定理理资产定价基本本定理可推广广到一般的多多时期模型。。这时，需要要引进“条件件数学期望””、-流等概念念。这时，鞅鞅就定义为““当前的值等等于未来的（（条件）期望望值”的随机机过程。“无套利假设设”在这时就就要比“正线线性定价法则则”要更复杂杂些。但除线线性定价以外外，仍然是““未来值钱的的现在也值钱钱”。65《金融经济学学》第五讲一般的资产定定价基本定理理（续）然而，这时““无套利假设设”不一定再再等价于“存存在等价概率率鞅测度”。。最好的结果是是Dalang-Morton-Willinger(1990):有限期、有限限种“基本证证券”的“市市场”，“无无套利假设””等价于“存存在等价概率率鞅测度”。。其他情况都需需要加一些比比“无套利假假设”更高的的条件。66《金融经济学学》第五讲5.3有限状态情况况下的

资产产定价基本定定理67《金融经济学学》第五讲68《金融经济学学》第五讲69《金融经济学学》第五讲70《金融经济学学》第五讲71《金融经济学学》第五讲72《金融经济学学》第五讲73《金融经济学学》第五讲74《金融经济学学》第五讲等价概率鞅测测度下，不不再有“金融融平面几何””！当随机折现现因子为无无风险证券券时，“金金融平面几几何”不再再有效，即即不再有（（有意义的的）Markowitz理论，，不再有CAPM。CAP