【教学设计】开放性问题

专题复习（四）开放性问题开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件（或结论）不止一种情况的试题解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法根据开放题的特点主要有如下三种题型：（1）条件开放型；（2）结论开放型；（3）综合开放型题型之一条件开放型（最新·泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形请回答并证明你的结论【思路点拨】（1）根据线段的垂直平分线的性质和直角三角形的斜边上中线的性质，得AF∥CE，然后判定四边形是平行四边形；（2）由（1）的结论，只要满足AC＝CE，四边形ACEF就是菱形由此得出∠B的度数【解答】（1）证明：∵DE垂直平分BC，∴∠FDC＝90°，BD＝eq\f1,2BC，∠BED＝∠CED∴∠FDC＝∠ACB＝90°∴FD∥AC∴△BED∽△BAC∴eq\fBE,BA＝eq\fBD,BC＝eq\f1,2∴E为Rt△ABC的中点∴CE＝AE＝eq\f1,2AB∵AF＝CE，∴AE＝AF∴∠F＝∠AEF∵∠AEF＝∠BED，∴∠CED＝∠F∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形理由是：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝eq\f1,2AB又∵CE＝eq\f1,2AB，∴AC＝CE∴四边形ACEF是菱形解这种类型的开放性问题的一般思路是：①由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻；②添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己（最新·湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行2（最新·内江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）第2题图第3题图3（最新·六盘水）如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB（写出一个即可）4（最新·漳州）如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明（不再添加辅助线和字母）5如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形并证明你的结论题型之二结论开放型（最新·天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论【思路点拨】根据已知条件，能判断出△ABD≌△CBD，可以得出角的相等，＝CD，BD平分AC，还可以得到更多的角相等，也可以得到DB垂直于AC【解答】结论：（1）∠DAB＝∠DCB；（2）BD平分∠ADC和∠ABC；（3）DB⊥AC，DB平分AC结论（1）证明：在△ABD与△CBD中，eq\b\c\{\a\v4\a\co1AB＝CB，,AD＝CD，,DB＝DB，∴△ABD≌△CBD∴∠DAB＝∠DCB结论（2）证明：同上△ABD≌△CBD∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠ADC和∠ABC结论（3）证明：∵AD＝CD∴点D在线段AC的垂直平分线上同理：点B在线段AC的垂直平分线上∴BD是线段AC的垂直平分线即DB⊥AC，DB平分AC所谓结论性开放题就是给出问题的条件，让解题者根据条件寻找相应的结论，且符合条件的结论往往呈现多样化，这类问题就是结论开放型问题其解题思路是：从已知条件出发，沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论1（最新·衢州）写出一个解为＞1的一元一次不等式：2（最新·滨州）写出一个运算结果是a6的算式3（最新·内蒙古）存在两个变量与，是的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当＞0时，随的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式4（最新·云梦九年级期末）如图，已知：射线…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系O中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，eq\f3,2），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）题型之三综合开放型（最新·绍兴改编）看图说故事请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量和的含义；（2）利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量提出问题时要紧扣图象和（1）中实际意义来提出【解答】（1）本题答案不唯一，如下列解法：某市出租车计费方法是当载客行驶里程为（千米），则车费为（元）该函数图象就是表示随的变化过程（2）①出租车的起步价是多少元当＞3时，求关于的函数关系式；②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程解：①由图象得：出租车的起步价是8元设当＞3时，与的函数关系式为＝＋b，由函数图象，得eq\b\c\{\a\v4\a\co18＝3＋b，,12＝5＋b解得eq\b\c\{\a\v4\a\co1＝2，,b＝2故与的函数关系式为＝2＋2②当＝32时，32＝2＋＝15答：这位乘客乘车的里程是15千米这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生1看图说故事请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量、满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量和的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程3如图是一个反比例函数图象的一部分，点A（1，10），B（10，1）是它的两个端点（1）求此函数的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例参考答案题型之一条件开放型1．答案不唯一，如∠1＝∠22答案不唯一AD＝BC或AB∥DC3∠ADE＝∠C答案不唯一4答案不唯一，如∠E＝∠B或∠D＝∠A或DF＝AC或AB∥ED等．以DF＝AC加以说明．∵BF＝EC，∴BF－CF＝EC－CF即EF＝BC在△ABC和△DEF中，eq\b\c\{\a\v4\a\co1BC＝EF，,∠2＝∠1，,FD＝CA，∴△ABC≌△DEF51证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF＝eq\f1,2AB，GH∥AB，GH＝eq\f1,2AB∴EF∥GH，EF＝GH∴四边形EFGH是平行四边形．2当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．理由：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，∴EF＝eq\f1,2AB，HG＝eq\f1,2AB，FG＝eq\f1,2CD，EH＝eq\f1,2CD，又∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝EH∴四边形EFGH是菱形．题型之二结论开放型1．答案不唯一，如2>22答案不唯一，如：2a6－a6，a2×a4，a23，a8÷a2a≠03根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数．例如：①设此函数的解析式为＝eq\f,＞0，∵此函数经过点1，1，∴＝1∴此函数可以为＝eq\f1,；②设此函数的解析式为＝＋b＜0，∵此函数经过点1，1，∴＋b＝1，＜0∴此函数可以为＝－＋2，＝－2＋3，…；③设此函数的解析式为＝a－m2＋na<0，m≤0，∵此函数经过点1，1，∴a1－m2＋n＝1a<0，m≤0．∴此函数可以为＝－2＋2，＝－22＋3，＝－＋12＋5，…41答案不唯一；如从角的相等关系，如∠D＝eq\f29,63该函数的图象如图所示．4该函数的其他性质：①当<0时，随的增大而减小；当0<<1时，随的增大而减小；当≥1时，随的增大而增大．②函数的图象经过第一、二、三象限．③函数的图象与轴无交点，图象由两部分组成．…写出一条即可题型之三综合开放型1．答案不唯一，如：1该函数图象表示小明开车离出发地的路程单位：m与他所用的时间单位：min的关系；2小明以m/min的速度匀速开了5min，在原地休息了6min，然后以m/min的速度匀速开车回出发地．2答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久设甲从A地到B地步行所用时间为小时，由题意得eq\f3