导数在研究函数中的应用考试题

导数在研究函数中的应用测试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：导数在研究函数中的应用测试题一选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的）1若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(-∞,+∞)内递加的()A充分不用要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不用要条件2（原创题）函数y4x21单调递加区间是（）x1A.(0,)B.(,1)C.()D.(1,),23已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单调函数,则实数a的取值范围是（）A.(,3][3,)B.[3,3]C.(,3)(3,)D.(3,3)4对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f'(x)0，则必有（）A.f(0)f(2)2f(1)B.f(0)f(2)2f(1)C.f(0)f(2)2f(1)D.f(0)f(2)2f(1)5函数yx33x29x2x2有（）极大值5，极小值27极大值5，极小值11极大值5，无极小值极小值27，无极大值6已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )A-1＜a＜2B-3＜a＜6Ca＜-1或a＞2Da＜-3或a＞67（改编题）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象以下列图，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A.1个B.2个C.3个D.4个

yyf?(x)Obax8（原创题）函数yxlnx的最小值为（）A.1B.1C.e2D.10ee39已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c()A有最大值15B有最大值－1522C有最小值15D有最小值－152210已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为15,则a等于()4A.3B.1C.1D.1或32222211（原创题）半径为5的半圆有一内接矩形，当周长最大时其边长等于( )A.5和15B.5和45C.4和7D.以上都不对22x12（2011·山东高考）函数-2sinx的图象大体是()y=2二填空题（共4小题，每题3分共12分，把答案填在相应的地址上）13（原创题）.函数ylnx的单调递加区间是______________.x14函数f(x)x3ax2bxa2,在x1时有极值10，那么a,b的值分别为________.15若函数f(x)＝2x(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为3，则a的值为____________.xa3（改编题）.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为________________.三解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(本小题10分)已知f(x)ax4bx2c的图象经过点(0,1)，且在x1处的切线方程是yx2（1）求yf(x)的剖析式；（2）求yf(x)的单调递加区间.18(本小题10分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x2与x1时都获取极值求a,b的值与函数f(x)的单调区间3(1)(2)若对x[1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.20(本小题10分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．若是降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大20（改编题）(本小题10分)已知a为实数，f(x)(x24)(xa).⑴求导数f(x)；⑵若f(1)0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；⑶若f(x)在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递加的，求a的取值范围.(原创题)(本小题12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－ax（a>0）⑴求函数f(x)的单调区间；⑵当a1时，若x1，证明：11．ln(x1)x1【挑战能力】★1已知函数fxxa2，gxxlnx，其中a0．x（1）若x1是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1,x21，e（e为自然对数的底数）都有fx1gx2成立，≥求实数a的取值范围2已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点,其中m,nR,m0,(1)求m与n的关系式;(2)求f(x)的单调区间;(3)当x[1,1]时,函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.★3两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点

C建筑垃圾办理厂，其对城市的影响度与所选地址到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾办理厂对城A和城B的总影响度为y,统计检查表示：垃圾办理厂对城A的影响度与所选地址到城A的距离的平方成反比，比率系数为4；对城B的影响度与所选地址到城B的距离的平方成反比，比率系数为k,当垃圾办理厂建在的中点时，对称A和城B的总影响度为0.0065.1）将y表示成x的函数；11）谈论（1）中函数的单调性，并判断弧上可否存在一点，使建在此处的垃圾办理厂对城

A和城

B的总影响度最小？若存在，

求出该点到城

A的距离，若不存在，说明原由

.导数在研究函数中的应用测试题答案一选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的）1【答案】A.【剖析】当f′(x)＞0在R上恒建马上，f(x)递加，反之，f(x)递加时，f′(x)≥0.2【答案】C【剖析】令y'18x310(2x1)(4x22x1)018xx2xx223【答案】B【剖析】f'(x)3x22ax10在(,)恒成立，4a21203a34【答案】C【剖析】当x1时，f'(x)0，函数f(x)在(1,)上是增函数；当x时，f'(x)0，1f(x)在(,1)上是减函数，故f(x)当x1时获取最小值，即有f(0)f(1),f(2)f(1),得f(0)f(2)2f(1)5【答案】C【剖析】'2x1'x1'y3x6x90,x1,得x3，当时，y0；当时，y0当x1时，y极大值5；x取不到3，无极小值6【答案】D【剖析】.由题意：f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等实根,=4a2-12(a+6)＞0,解得:a＜-3或a＞6.7【答案】A【剖析】极小值点应有先减后增的特点，即f'(x)0f'(x)0f'(x)08【答案】A【剖析】令y'lnx10x110，；当x10所以，当x时y'时，y'eeey极小值f(1)1，，在定义域内只有一个极值，所以ymin1eee9【答案】B【剖析】.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，f(－1)＝3－2b＋c0则0f2＝12＋4b＋c15＋2b＋2c≤015b＋c≤－.210【答案】C【剖析】当a1时,最大值为4,不合题意,当1a2时,fx在a,2上时减函数,fa最大,a22a315解得a1或a3舍去).4,2,(211【答案】B【剖析】设矩形的一边长为x，则另一边长为225x2，则l2x425x20xR，l'24x，令l'0，解得x15，25x2x25（舍去）.当0x5时,l'0,当5x5时,l'0,所以当x5时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为5,45.12【答案】C.【剖析】因为111，此时原函数是增函y′=-2cosx，所以令y′=-2cosx>0，得cosx<12124，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可数；令y′=-2cosx<0，得cosx>42得C正确.二填空题（共4小题，每题3分共12分，把答案填在相应的地址上）13【答案】0,e【剖析】因为y'1lnx,所以y'1lnx00xex2x214【答案】4,11【剖析】f'(x)3x22axb,f'(1)2ab30,f(1)a2ab1102ab3,a3,或a4，当a3时，x1不是极值点a2ab39bb1115【答案】3－1【剖析】f′(x)＝x2a2x2ax22,当x>a时，x22x2aaf′(x)<0，f(x)单调递减，当－a<x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递加，当x＝a时，f(x)＝a＝3，a＝3<1，不合题意.∴f(x)max＝f(1)＝1＝3，a＝3－1.2a321a316【答案】203cm3【剖析】设圆锥的高为x,则底面半径为202x2,其体积为V1πx202x20x20,V'1π4003x2,令V'0,解得33x1203,x2203(舍去).当0x203时,333V'0;当203x20时,V'0,所以当x203时,V33取最大值.三解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17【剖析】：（1）f(x)ax4bx2c的图象经过点(0,1)，则c1，f'(x)4ax32bx,kf'(1)4a2b1,切点为(1,1)，则f(x)ax4bx2c的图象经过点(1,1)得abc1,得a5,b922f(x)5x49x2122（2）f'(x)10x39x0,310x0,或x10单调递加区间为(310,0),(310,)101018【剖析】：（1）f(x)x3ax2bxc,f'(x)3x2

10102axb由f'(2)124ab0，f'(1)32ab0得a1,b23932f'(x)3x2x2(3x2)(x1)，函数f(x)的单调区间以下表：x(,2)2(2,1)1(1,)333f'(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递加区间是(,2)与(1,),递减区间是(2,1)；33（2）f(x)x31x22xc,x[1,2]，当x2时，f(2)22c23327为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)c2,x[1,2]恒成立，则只需要c2f(2)2c，得c1,或c2.【剖析】（1）设商品降低x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)又已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈［0,21］.2）依照（1），我们有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).故x＝12时，f(x)达到极大值11664，因为f(0)=9072，f(12)=11664，所以定价为30－12＝18元时能使一个星期的商品销售利润最大.20【剖析】：⑴由原式得f(x)x3ax24x4a,∴f(x)3x22ax4.⑵由f(1)0得a1,此时有f(x)(x24)(x1),f(x)3x2x4.22由f(1)0得x4或x=-1,又f(4)50,f(1)9,f(2)0,f(2)0,33272所以f(x)在[－2,2]上的最大值为9,最小值为50.227⑶解法一:f(x)3x22ax4的图象为张口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得f(2)0,f(2)0,即4a80∴－2≤a≤2.84a0所以a的取值范围为[－2,2].解法二:令f(x)0即3x22ax40,由求根公式得:x1,2aa212(x1x2)3所以f(x)3x22ax4.在,x1和x2,上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时,f(x)≥0,从而x1≥-2,x2≤2,即a212a6解不等式组得－2≤a≤2.a2126a.∴a的取值范围是[－2,2].21【剖析】：⑴函数f(x)的定义域为(1,)．f(x)＝1－a＝x1a(x1a)1a1a.a0,1,x1a1a当x(1,1a),f'(x)0;x(1a,),f'(x)0．aa∴当x∈(1,1a)时，f(x)是增函数，即f(x)的单调递加区间为(1,1a)；aa1a)时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为1a).当x∈(,(,aa⑵证明：由⑴知，令g(x)ln(x1)11，则g(x)x1∴当x∈（－1，0）时，g(x)＜0，当

11＝x．x12(x1)2(x1)x∈（0，＋∞）时，g(x)＞0．∴当x1时，g(x)≥g(0)，即ln(x1)11≥0，∴ln(x1)11．1x1x1综上可知，当x1时，有11)x．ln(xx1【挑战能力】1【剖析】（1）∵hx2xa2lnx，其定义域为0，，xa2∴hx21x2．xa2∵x1是函数hx的极值点，∴h10，即30．∵a0，∴a3．经检验当a3时，x1是函数hx的极值点，∴a3．（2）对任意的x1,x21，e都有fx1≥gx2成立等价于对任意的x1,x21，e都有fxmin≥gxmax．当x［1，e］时，gx110．x∴函数gxxlnx在1，e上是增函数．∴gxmaxgee1．∵fx1a2xaxa，且x1,e，a0．x2x2xaxa①当0a1［1，e］时，，且xfxx20∴函数fxxa2在［1，e］上是增函数，x∴fxminf11a2.由1a2e1，得a≥e，0a≥又1，∴a不合题意．②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则fxxaxa0，x2若a＜x≤e，则fxxaxa0．x2a2∴函数fxx1,a上是减函数，在a，e上是增函数．在x∴fxminfa2a.由2a≥e1，得a≥e1，2又1≤a≤e，∴e1≤a≤e．2③当ae且xxaxa［1，e］时，fx20，x∴函数fxxa2在1，e上是减函数．x∴fxfa2minee.e由a2e1，得a≥e，e≥e又ae，∴ae．综上所述，a的取值范围为e1,．22【剖析】:(1)f(x)3mx26(m1)xn因为x1是函数f(x)的一个极值点,所以f(1)0,即