选修2132立体几何中的向量方法导学案

3.2立体几何中的向量方法(导教学设计)【学习目标】1.在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的看法，为进一步运用打好基础；2?学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的地址关系；3?学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题(主若是关于角的问题)；.能初步利用向量知识解决相关的实责问题及综合问题【学习重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用.【学习难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转变与适合的运算方式.【学习过程】一、双基回眸前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感觉到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中领悟到了向量运算的富强作用?这一节，我们将全面地研究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法?为此，第一简单回顾一下相关的基本知识和方法：1.直线l的方向向量的含义：.2?向量的特别关系及夹角(最后的填空是用坐标表示)(1)a//b____________________________________;(2)___________________a丄b________________________;(3)___________________aa=_____________________=;(4)_______________________cosva,b>=_____________=.二、创立情况前面，我们主若是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特别线段的长的问题等等若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的地址关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？――这些问题就是我们将要研究或解决的主要问题三、合作研究同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面_________________________.由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了下面请同学们合作研究一下这方面的知识和方法：（一）.平面的法向量:（二）?直线、平面的几种重要的地址关系的充要条件：请同学们依照直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特其他地址关系的充要条件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面，的法向量分别为u,v，则:l

//

m_____

_______________

；l丄m______

______________

；l

//

______

_______________________;

l

丄

_____

_______________________;//

_____

_______________________;丄【小试牛刀】1.设直线l,m的方向向量分别为a,b,依照以下条件判断直线l,m的地址关系(1)—=(2,-1,-■2),b:=(6,-3,-6)；te(2)a—=(1,2,-■2),b:=(-2,3,2)；teb(3)—=(0,0,1),(0,0,-3).a=te2.平面a的法向量分别为—tev，依照以下条件判断平面，的地址关系：—=(-2,u,(1)2,5),v=(6,-4,4)；te(2)uF=(1,2,-■2),v:=(-2,-4,4)；uF(3)u=(2,-3,5),1,v:=(-3,-4).3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F平面ADE.（你能用几种方法呢？）（三）利用向量方法证明一一平面与平面平行的判判定理【定理】一个平面内的两条订交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行已知：直线l,m和平面，，其中l,m，l与m订交，l//,m//，求证：//【解析】依照//u//V,所以只要证明u//V即可，那需要证明u,V都是平面的法向量四、互动达标关于两特别点间距离的问题此类问题前面已经接触过，下面再来总结及拓展一下:问题.1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中极点A为端点的三条棱长都相等，且它们互相的夹角都是60°那么以这个极点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系【解析】依照前面所学的方法，可将AC,用与棱相关的向量表示出来，经过运算求解【解析】【研究】1?此题中平行六面体的另一条对角线的长与棱长有什么关系？2?若是一个平行六面体的各棱长都相等，而且以某一极点为端点的各棱间的夹角都是等于，那么由这个平行六面体的对角线长可以确定棱长吗？3.此题的晶体中相对的两个面之间的距离是多少？【解析】显然，第1个问题与问题.1近似；第2个问题是问题.1的逆向问题，所列的式子应该是同样的，只但是未知数的地址不同样；第3个问题略有挑战性，可把两个面之间的距离转变成两点的距离或点到面的距离一一关于这个问题，同学们可在课后先研究一下，今后在进行总结下面我们再来看一个问题.1的逆向问题：问题.2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A,B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.【解析】正如上面的解析，此题是问题.1的逆向问题，解决方法与问题.1一致【解析】【研究】1.此题中若是AC和BD夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？（经过课本第107页的第2题领悟一下即可）2?若是已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，而且以同一极点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？3?若是已知一个四棱柱的各棱长都等于a，而且以某一极点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？【解析】显然，第1个问题又回到了问题.1的形式；第2、3个问题是问题.1的逆向问题，但第3个问题又是略有挑战性，需要经过做辅助线构出问题?2的图形模式关于这个问题，同样是同学们先课后研究一下，今后在进行总结_________________________________________________________0\￡关于直线、平面的地址关系的论证及夹角问题问题.3

如图，在四棱锥

P—ABCD

中，底面

ABCD

是正方形

,

侧棱

PD丄底面E

是PC

的中点，作

EF

丄PB

交PB

于点

F.(1)求证：

PA

//

平面

EDB

;

(

2)求证：

PB

丄平面

EFD

;(3)求二面角

C-

PB

—

D

的大小

.【解析】此题包括：判断直线与平面平行和垂直及计算二面角的大小——均可用向量方法来解决?题目中的垂直条件特别适合建立空间直角坐标系来表示向量^【解析】直线与平面所成的角怎样用向量来解决呢？同学们可借助此题的背景来求直线PA与平面PBC所成角:_________________________________________________________0\关于点到平面的距离问题利用问题.3的条件（PD=DC改为PD=DC=a）求出点A到平面PBC的距离一一总结出点到平面的距离的求法：关于实质冋题问题4?一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg,在它的极点处分别受力F1,F2,F3,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60，且FjF2F3200kg，这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力是多少时，才能提起这块钢板？【解析】钢板所受重力为500kg，垂直向下作用在三角形的中心O.若能将各极点地方受的力Fi,F2,F3用向量形式表示，求出合力，就能判断钢板的运动状态【解析】500kg五、思悟小结六、牢固提高1.(1)设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若II，贝Uk=______;若丄，贝Uk=________.)若