2022-2023学年浙江省北斗联盟高一年级上册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年浙江省北斗联盟高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．集合，，则（

）A． B． C． D．B【分析】利用集合的运算即可求得.【详解】由已知，故，故所以故选：B2．已知且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由，得或，由得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B．3．为了鼓励大家节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，其中每户的户年用水量与水价的关系如下表所示：分档户年用水量（立方米）水价（元/立方米）第一阶梯0-180（含）5第二阶梯180-260（含）7第三阶梯260以上9假设居住在北京的某户家庭2021年的年用水量为，则该户家庭2021年应缴纳的水费为（

）A．1800元 B．1400元 C．1040元 D．1000元C【分析】结合阶梯水价直接求解即可.【详解】由表可知，当用水量为时，水费为元；当水价在第二阶段时，超出，水费为元，则年用水量为，水价为1040元.故选：C4．意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（

）A． B．C． D．C【分析】分析函数的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【详解】令，则该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，排除B选项.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，函数的最小值为，排除AD选项.故选：C.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为（

）A．1 B．-1 C．2或-1 D．2B由题意可得，且，解出即可．【详解】解：∵是幂函数，∴，即，∴，或，又当时，单调递减，∴，当时，，不合题意，舍去；当，，符合题意，∴，故选：B．6．已知实数，且，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．B【分析】构造，利用均值不等式即得解【详解】，当且仅当，即，时等号成立故选：B本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题7．已知函数满足对任意，且，都有成立，则的范围是（

）A． B． C． D．B【分析】根据已知条件，判断出的单调性，列出不等式组，即可求解.【详解】由得，上，为增函数，得，解得.故选：B8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．D【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，然后利用判别式即得.【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，由，得有解，所以，解得由得两式相减，得，因为，所以，消去，得，因为方程无解或仅有两个相等的实根，所以，解得，故a的取值范围是故选：D.二、多选题9．若，则下列不等式中一定不成立的是（

）A． B． C． D．AD【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可．【详解】解：对于，，所以，所以，所以，故选项一定不成立；对于，不妨取，，则，故选项可能成立；对于，不妨取，，则，故选项可能成立；对于，，故，故选项一定不成立；故选：．10．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用ABC【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项.【详解】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确；当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确；易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确；当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.故选：ABC.11．若函数，分别为上的奇函数，偶函数，且满足，则有（

）A． B．C． D．AD【分析】结合函数奇偶性的性质，可得，联立方程组可求出，的解析式，求出，根据的单调性可得结果.【详解】∵函数，分别为上的奇函数、偶函数，则，，又∵，…①∴，∴，…②由①②得，，故A正确，B错误；∴，且为增函数，∴，故D正确，故选：AD.本题考查的知识点函数奇偶性的性质，其中根据已知条件构造出第二个方程，是解答本题的关键，属于中档题.12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（

）A．的值域为B．的定义域为C．D．任意一个非零有理数，对任意恒成立BCD【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确；因为函数，所以的定义城为，故B正确；因为，所以，故C正确；对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，故选：BCD.三、填空题13．计算：__．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求值．【详解】原式，故．14．如果定义在上的函数，对任意都有，则称函数为“函数”，给出下列函数，其中是“函数”的有_____________（填序号）①

②

③

④①④．【分析】不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【详解】对于任意的不等实数，，不等式恒成立，不等式等价为恒成立，即函数是定义在上的增函数；①在上单调递增，符合题意；②在上单调递减，不合题意；③在上单调递减，在上单调递增，不合题意；④在上单调递增，符合题意；故①④．15．已知，函数，若恒成立，则的取值范围是______．.【分析】分与两种情况，参变分离后，结合基本不等式和函数的单调性求出最值，从而得到的取值范围.【详解】当时，，故等价于，即，，其中，当且仅当，时，等号成立，故；当时，，故等价于，即，，其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，故，解得，综上：的取值范围是.故答案为.四、双空题16．写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数：______；的单调递减区间为______．

和（答案不唯一）

【分析】（1）本题属于开放性问题，只需选择符合要求的解析式即可，不妨取两个单调性不同的指数函数；（2）根据复合函数的单调性规则计算可得.【详解】解：不妨取和，因为函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递增，函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递减，符合题意；对于函数，令，即，解得或，所以函数的的定义域为，又函数在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又在定义域上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，即的单调递减区间为.故和（答案不唯一）；五、解答题17．已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．(1)；(2)条件选择见解析，.【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求；(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.【详解】（1）由题意得，．当时，，∴；（2）选择①．∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．选择②∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．选择③∵，∴，当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得；当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为．18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)判断，的单调性，并证明；(3)解不等式.(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）首先利用函数是奇函数，求的解析式，即可求解函数的解析式；（2）根据函数单调性的定义，即可判断函数的单调性；（3）首先判断函数在上的单调性，不等式转化为，转化为，讨论求解不等式.【详解】（1）∵函数是定义在R上的奇函数，且当，．∴当时，．当时，则，．；（2）在上是单调递增的．证明：，，且，则∵∴，，又∵是增函数，∴∴，即∴在上是单调递增的．（3）由（2）知当时，因为，是奇函数．所以在上是单调递增的．∵所以不等式可转化为，即化简得∴当时，解集为当时，解集为.19．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.(1)求的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？(1)(2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）分段判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．【详解】（1）由已知（2）解：由（1）得当时，；当时，当且仅当时，即时等号成立.因为，所以当时，.∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.20．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．（1）求函数图象的对称中心；（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，然后利用得出与，代入上式求解；（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．即，整理得，于是，解得．所以的对称中心为；（2）函数在上为增函数；（3）由已知，值域为值域的子集．由（2）知在上单增，所以的值域为．于是原问题转化为在上的值域．①当，即时，在单