《简明线性代数》4-4 正定性

§4.4正定性

惯性定理

二次型化为标准形的方法并不唯一,标准形有无数个.即使如此,标准形还是有一些不变量,如秩,以及标准形中正负系数项的个数等.

二次型的任何标准形中,正(负)系数项的个数为定值.称此定值为正(负)惯性指数.

二次型的对称矩阵的所有正特征值的代数重数之和就是正惯性指数.

二次型的对称矩阵的所有负特征值的代数重数之和就是负惯性指数.

二次型的负惯性指数等于秩减去正惯性指数.

正定空间与正定指数

设V

为Rn

的一个子空间,如果对V

中任一非零向量x,恒有f(x)>0,那么称V

为n

元二次型f(x)的一个正定空间.

对于二次型f(x),记

惯性定理*

二次型的任何标准形中正系数项的个数等于正定指数.

二次型f(x)=xTAx

的正定空间和正定指数也称为对称阵A

的正定空间和正定指数,并记p(A)=p(f).

p(f)=max{f(x)的正定空间的维数}

二次型的正惯性指数也即正定指数.

称p(f)为f的正定指数.证明不妨设可逆线性变换x=Cy,使f(x)化为标准形其中ki(i=1,,r)全为正数,r为f(x)的秩.

设

e1,,en

为

n维单位坐标向量组,记ai

=Cei,易知dimV1

=

p,dimV2

=

n-p,且有(1)(2)由(1)知V1

为f(x)的一个正定空间,因此p(f)p.对f(x)的任一正定空间V,由(2)知VV2

为零空间,于是即得dimV

p,从而p(f)

p,(3)结合(3)得p=

p(f).

二次型的任何标准形中正系数项的个数等于正定指数.

设

f(x)=

xTAx

为

n

元二次型,若

x

0

时,恒有

f(x)>0那么称f(x)为正定二次型,称A为正定矩阵.

正定二次型与正定矩阵

定理1

n元二次型f(x)xTAx

为正定的充分必要条件是对称阵A

的特征值全为正数,也即f(x)的正惯性指数等于

n.

n元二次型f(x)=

xTAx

为正定的充分必要条件是

p(A)=

p(f)=

n.推论

若对称阵

A为正定,则|A|>0.

霍尔维茨(Hurwitz)定理

n阶对称阵

A=(aij)为正定的充分必要条件是其中|Ak|称为A的k

阶顺序主子式.

必要性的证明

对任一非零k(k<n)维向量

x,令

n

维向量则y为非零向量.将A

分块为则因此Ak

为正定矩阵.由定理1推论知,

对于一阶矩阵,充分性显然成立.

充分性的证明

霍尔维茨(Hurwitz)定理

n阶对称阵

A=(aij)为正定的充分必要条件是其中|Ak|称为A的k

阶顺序主子式.假定对n-1阶矩阵则An-1为正定矩阵.从而Rn

-1

为An

-1

的正定空间.令记充分性也成立,可知Vn

为A

的对由一个n-1维正定空间,从而p(A)n

-1.由det

A>

0,可知p(A)n

-1,于是p(A)=

n,即A

为正定矩阵.例1

当

a

取何值时,二次型为正定.解1二次型f(x)的矩阵为计算

A的顺序主子式所以当

a>5时,f(x)为正定.例1

当

a

取何值时,二次型为正定.解2用配方法确定f(x)的惯性指数.当且仅当a>5时,f(x)的正惯性指数等于变元个数3,f(x)为正定.

设

f(x)=

xTAx

为

n

元二次型,若

x

0

时,恒有

f(x)0那么称f(x)为半正定二次型,称A为半正定矩阵.

半正定二次型与半正定矩阵

设

f(x)

xTAx

为

n

元二次型,若

x

0

时,恒有

f(x)<0那么称f(x)为