2014年北京高考数学理科试题及答案

3来源于网络3来源于网络绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A={xlx2—2x=0},B={0,1,2}，若ApB=(1)(2)(3)(A){0}(B){0,1}(C){0,2}(D){0,1,2}下列函数中，在区间(0,+a｝上为增函数的是(B)y=(x-1)2(C)y=2-x(d)y二(2)(3)(A){0}(B){0,1}(C){0,2}(D){0,1,2}下列函数中，在区间(0,+a｝上为增函数的是(B)y=(x-1)2(C)y=2-x(d)y二log0gx+1)x=—1+cos0y=2+sin0'(o为参数)的对称中心(A)在直线y=2x上(B)在直线y=-2x上(C)在直线y=x—1上(D)在直线y=x+1上⑷当m=7,n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A)7(B)42(C)210(D)840⑸设｛a｝是公比为q的等比数列，则“q>1”是“｛a｝”为递增数列的nn(A)充分且不必要条件(B)必要且不充分条件(C)充分且必要条件(D)既非充分也非必要条件⑹若x,y⑹若x,y满足<x+y—2>0kx一y+2>0且z=y—x的最小值为—4，则k的值是y>0(A)2(B)-2(C)2(D)⑺在空间坐标系O-(A)2(B)-2(C)2(D)⑺在空间坐标系O-xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1Q，若S，s,-2S3分别表示三棱锥D—ABC在xOy，yOz，zOx则坐标平面上的正投影图形的面积，则(A)S1=S2=S3(B)S=S且S丰S(C)S=S且(A)S1=S2=S3(B)123113322315)5)D6)D(7)D(8)B来源于网络来源于网络来源于网络(8)有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一颗成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生(A)1(B)3(C)4(D)5第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)复数(10)已知向量a、二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)复数(10)已知向量a、b满足Ia1=1，b=(2,1)且九a+b=0，则I九1=(11)在设曲线C经过点3)，且話-x2=1具有相同渐近线'则C的方程是(12)若等差数列｛a｝满足a+a+a>0，a+a<0，则当n=n789710时，｛a｝的前n项和最大.n(13)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．(14)，则f((14)，则f(x)的最小正周期为设函数f(x)=Asin(®x+申)(A,3,申是常数，A>0,e>0)，若f(x)在区间工，］上具有单调性，且62三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。三、兀1(15)(本小题13分)如图，在AABC中，上B=3，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，COSZADC=-(I)求sinZBAD.(i[)求bd，AC的长.(16)(本小题13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比场次投篮次数(16)(本小题13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512独立)I)赛相互从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；[)(III)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6的概率；[)(III)记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比

E(X)和x的大小。(17)(本小题14分)如图，正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM和MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中,F为PE的中点，平面ABC与棱PD，PC分别相较于点G、H.(I)求证：AB//FG；恒成椭圆(II)若PA丄平面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段PH的长恒成椭圆(18)(本小题13分)已知函数f(x)=xcosx—sinx，xg[0,—]立，求a的最大值与b的最小值.(I)求证：f(x)<0；(II)若a<sinx<b在(0,2立，求a的最大值与b的最小值.(19)(本小题14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(I)求C的离心率;(II)设0为原点，若点A在椭圆G上，点B在直线y=2上,OA丄OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.(20)(本小题13分)对于数对序列P(a,b)，(a,b)...(a,b)，1122，'nn记T(P)=a+bT(P)=b+max{T(P),a+a++a}(2<k<n)TOC\o"1-5"\h\z111,kkk—112k，苴中max{T(P),a+a++a}表示T(P)和'a+a++a两个数中最大的数.k—112kk—1\■.12k对于数对序列P(2,5)，(4,1)求T(P)T(P)；…12记m为四个数a、b、c、d的最小值，对于两个数对(a,b)，(c,d)组成的数对序列P(a,b)，(c,d)和P'(c,d),(a，b)，试分别对m=a和m=b时的情况比较T2(P)和T2(P')的大小；(III)在由5个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的有序数对序列中，写出一个数对序列P使—(P)最小，并写出T5(P)的值(只需写出结论)。绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1)1)C2)A(3)B(4)C二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)来源于网络来源于网络(III)EXX.来源于网络(III)EXX.来源于网络9)1(10)j511)x9)1(10)j511)x2Jy212y2x(13)36三、解答题(共6小题，共80分)(12)814)15)(共13分)解：(I)(I)在ADC中，因为COSADC所以sinADC~Y所以sinBADsin(ADCB)(II)ABD中，由正弦定理得BDABsinBAD8sinADB(II)ABD中，由正弦定理得BDABsinBAD8sinADB3/31434*3在ABC中，由余弦定理得所以AC7(16)(共13分)解：根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,—场不超过0.6”。则C=ABUAB，A,B独立。根据投篮统计数据，P(A)13所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，—场不超过0.6的概率为亦.

17)(共14分)解：I)在正方形中，因为B是am的中点，所以AB〃DE。I)又因为AB匸平面PDE,所以AB〃平面PDE,因为ABu平面abf，且平面ABF平面PDF=FG,(II)所以AB〃FG。因为PA(II)所以AB〃FG。因为PA丄底面ABCDE,所以PA丄AB,PA丄AE.如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,O,O),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).D设平面ABF的法向量为设平面ABF的法向量为n=(x,y,Z)，则n-AB=0,即Vn-AF=0,x=0,、y+z=0.令z=i,，令z=i,，贝yy=—i。所以n=(0_,i,设直BC与平面ABF所成角为a,则sina=cos(n,BCn-BC

niBC设点H的坐标为(u,v设点H的坐标为(u,v,w).。因为点H在棱PC上，所以可设PH=九PC(0<h<1),，即(u,v,w—2)=九(2，1，—2).。所以u=2九,v=九,w=2—2九。因为n是平面ABF的法向量，所以n-AH=0，即(。，一1，1》(2九,九,2-2九)=0。2422、解得九=3，所以点h的坐标为(3'3'3).°所以PH==218)18)共13分)解：(I)由f(x)=xcosx—sinx得19)(共19)(共14分)来源于网络f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinxo兀兀因为在区间(0,-)上f'(x)=-xsinx0，所以f(x)在区间0,y上单调递减。YLJ从而f(x)<f(0)=0o(II)当x>0时，“里巴>a”等价于“sinx-ax>0”“里叮<b”等价于“sinx-bx<0”。xx令g(x)=sinx一cx，贝yg'(x)=cosx一c,兀当c<0时，g(x)>0对任意xe(0,-)恒成立。上单调递减。从而当c>1时，因为对任意xe(0,牛)，g'(x)=cosx-c<0，所以g(x)在区间|0,上单调递减。从而g(x)<g(0)=0对任意xe(0，—)恒成立。兀当0<c<1时，存在唯一的x0e(0,—)使得g'(x0)=cosx—c=0。兀g(x)与g'(x)在区间(0,-)上的情况如下:=1-=1--c>0，即0<c<?,2兀任意xe(0,|)恒成立”当且仅当+0-\因为g(x)在区间【0,xj上是增函数，所以g(x°)>g(0)=0。进一步，“g(x)>0对2兀综上所述，当且仅当c<时，g(x)>0对任意xe(0，T恒成立；当且仅当c>1时,兀2兀g(x)<0对任意xe(0,-)恒成立o所以，若a<号<b对任意xe(°与)恒成立，则a最大值为扌，b的最小值为1.来源于网络来源于网络解：x2y2I)由题意，椭圆c的标准方程为才+—=1。I)所以a24,b2=2，从而c2=a2—b2=2。因此a—2,c=卞'所以a2cV2故椭圆c的离心率e=万=丁(II)直线(II)直线AB与圆x2+y2二2相切。证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,叮，(t2)，其中xo主°。2y因为OA丄OB，所以OA-OB=0，即tx+2y=0，解得t=—0。°0x0当x二t时，y=y，代入椭圆C的方程，得t=±€2,故直线AB的方程为x=±迈。圆心0到直线AB的距离d=迈。此时直线AB与圆x2+y2二2相切。y—2当x丰t时，直线AB的方程为y—2=一°(x—t)，TOC\o"1-5"\h\z0x—t°即(y—2)x—(x—t)y+2x—ty=0,oooo圆心0到直线AB的距离2y又x2+2y2=4，t=—0故00x0此时直线AB与圆x2+y2二2相切。20)(共13分)解：I)T(P)=1+max{T(P),2+4}=1+max{7,6}=811I)T(P)=max{a+b+d,a+c+d}I)2T(P')=max{c+d+b,c+a+b}2m=a时，T(P')=max{c+d+b,