数学-课程导学第五章第一节

第五第五 数第一 数列的概念与简单表示要点梳理·要点梳理·考纲点了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通式)．知识扫一、概含数按照一定顺序排列的一列数列的数列中的每一个数列的通数列{an}的第n项通 数列的通前n项数列{a}中，S＝ 做数列的前n项表示方列表列表格表达n与an的对应关图象通公把数列的通项使 表达的法递推公使用初始值a1和an＋1＝f(an)或数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1，，…，n})的函数n＝n)，当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值．性递增数递减数常数摆动数周期∀n∈N*，存在正整数常数四、an与Sn的关若数列{an}的前n项和为an＝S 小题热数列

式，3，5，7，9…的一个

＝＝

＝＝ 解析观察可知，数列的通式为

设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8 数列

}的通式为

＝n A．递增数 B．递减数C．常数 D．摆动数解

—

＝1

— 已知数列{an}的前4项为1，3，7，15，写出数列{an}的一个通式 解析∵1，3，7，15分别加上1，则为2，4，8，16，数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通式 解析由已知，得故考点突破·考点突破·an与Sn关系式的应例 (1)(2014·丰台模拟)已知数列{an}的前n项和为＝3n－1，那么该数列的通式为 【解当n＝1 【答案(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－4(n∈N*)，则 ；数列{log2an}的前n项和 【解析】n＝1时，S1＝2a1－4a1＝2a1－4，解得a1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－4)－(2an－1－4)整理可得an＝2an－1，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝42n－1＝2n＋1，故log2an＝log22n＋1＝n＋1所以数列

an}n

【答案】 [规律方法 已知Sn求an的三个步先利用a1＝S1求出用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时的表达式，如果符合，则可以把数列的通式合写；◎变式训已知数列{an}的前n项和为则 解析an＋1＝Sn＋1－Sn即 3S又S＝a＝1所以数列

}是首项为n＋1＝2 3

公比为的等比数列，故 2

答案 考点二由数列的递推关系式求通 例 (1)在数列{an}中则

【解析】

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋…＋ln …2＝ln

【答案ln若数列an}满足a1＝1，an＋1＝2an，则数列a}的通式为 ．【解析】由

可知an＋1＝2n，所以aan

＝

· 1＋n－1＝22

1【答案】an＝

[规律方法 常见递推数列的通式的求对于形如an＋1＝an＋f(n)的递推数列求通式．只要f(n)可求和，便可利用累加法求通项．a对于形如an＋1＝g(n)的递推数列求 式，an要g(n)可求积，便可利用累乘的方法或迭代的方法◎变式训如果数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通式 an＋1＝an＋2n 考点三（探究）数列的性质及其应因为数列可以看做是一类特殊的函数，所以数列也具备函数的性质，因此，高考命题往往以数列为载体，以选择题、填空题的形式考查单调性、周期性等问题，同时考查递推数列、数列的通式等内容．考向一数列的单调已知正项数列a}中，a1＝t，其前n项和为Sn，满足S＝an＋1.1)如果数列a}为等差数列，求t的取值，并求出数列a的通式；(2)如果数列{an}为单调递增数列，求t解析(1)由2Sn＝an·an＋1知：2S1＝2a1＝a1·a2，则＝2.当n≥2时当n≥2时，2an＝an(an＋1－an－1)，即an＋1－an－1＝2，如果数列{an}为等差数列，则d＝1，则a1＝t＝a2－d＝1.反之，当a1＝t＝1时，由a2＝2且an＋1－an－1＝2得an＝n，为等差数综上数列{an}为等差数列时，t＝1，此时(2)由上知令a1＝t<a2<a3，得考向二求数列的最大项或最小

已知数列{an}的 式为

则数列

解析设

∈(01]

－t＝t－ 1

4，所以当t＝1，ymax＝0，所以n＝1时，数列{an}有

＝0

＝－81，所n＝3时，数

}有最小值

99考向列的周期3．(2014·新课标卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝ ，a＝2，则a 解析由题易知a

＝2，得

a

7＝2；

＝2，得

＝－1，得a5＝2，于是可5数列{a}具有周期性，且周期为3，所以a n2

[规律方法 数列性质的应用方重点类解决方的判根据an＋1－an的符号用