2020高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质教学案 第一册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精2。1等式性质与不等式性质（教师独具内容）课程标准:1。梳理等式的性质，理解不等式的概念,掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．教学难点：用作差法比较代数式的大小．【知识导学】知识点一等式的性质(1）如果a＝b，那么a＋c＝b＋c。(2)如果a＝b,那么ac＝bc或eq\f（a，c）＝eq\f（b，c）(c≠0）．(3）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.知识点二作差比较法(1）理论依据：eq\o(□,\s\up4(01）)a－b〉0⇔a〉b；eq\o(□,\s\up4（02））a－b＝0⇔a＝b；eq\o（□,\s\up4(03）)a－b<0⇔a<b.(2）方法步骤：①eq\o(□，\s\up4（04）)作差；②eq\o(□，\s\up4(05))整理；③eq\o(□，\s\up4（06）)判断符号；④eq\o(□，\s\up4（07))下结论．知识点三两个实数大小的比较（1）a>b⇔eq\o(□,\s\up4(01)）a－b〉0;（2）a＝b⇔a－beq\o（□，\s\up4(02))＝0；（3)eq\o（□,\s\up4（03）)a〈b⇔a－b〈0.知识点四不等式的性质（1）如果a〉b，那么b<a;如果b〈a，那么eq\o(□,\s\up4(01）)a>b，即eq\o（□，\s\up4(02))a>b⇔b〈a.(2）如果a〉b，且b〉c，那么eq\o（□,\s\up4(03））a>c，即a〉b，b>c⇒eq\o(□,\s\up4(04)）a>c.（3)如果a>b，那么a＋ceq\o(□，\s\up4（05））〉b＋c.（4）如果a〉b，c〉0，那么aceq\o(□，\s\up4（06))〉bc；如果a>b，c<0，那么aceq\o(□,\s\up4(07)）〈bc。(5）如果a〉b,c>d,那么a＋ceq\o（□，\s\up4（08）)>b＋d。(6)如果a〉b〉0,c>d〉0,那么aceq\o（□，\s\up4（09）)〉bd；如果a>b>0，c〈d<0，那么aceq\o(□,\s\up4(10））〈bd。（7)如果a>b>0，那么aneq\o(□，\s\up4（11））>bn(n∈N，n≥2)．（8）如果eq\o(□,\s\up4(12）)a>b〉0，那么eq\r(n,a）〉eq\r(n,b）(n∈N，n≥2）．【新知拓展】1．关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d。2．常用的结论(1)a>b，ab〉0⇒eq\f（1，a)<eq\f(1，b)；(2)b<0〈a⇒eq\f(1,a）>eq\f(1，b）；（3）a〉b>0，c>d>0⇒eq\f（a，d)>eq\f（b,c)；（4）若a>b>0，m>0，则eq\f（a，b)〉eq\f(a＋m，b＋m);eq\f（a,b）<eq\f(a－m，b－m）（b－m〉0);eq\f（b，a)〈eq\f(b＋m，a＋m）;eq\f（b，a)>eq\f(b－m,a－m）（b－m>0)．3．比较大小的方法比较数(式）的大小常用作差与0比较．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．4．利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据,避免改变代数式的取值范围．1．判一判（正确的打“√”,错误的打“×")（1)若x2＝0，则x≥0.（）(2)两个实数a,b之间,有且只有a〉b，a＝b，a〈b三种关系中的一种．（）(3)若a>b，则ac2>bc2。()（4)若a〉b〉0，则eq\f(1，a）>eq\f(1,b).（)(5)若x>1,则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2。（）答案（1)√(2)√（3)×（4)×(5）√2．做一做（1)已知a＋b〉0,b<0，那么a，b,－a，－b的大小关系是（)A．a〉b>－b〉－a B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b〉－a〉－b(2)设b〈a，d<c，则下列不等式中一定成立的是()A．a－c>b－d B．ac>bdC．a＋c〉b＋d D．a＋d>b＋c（3）已知x〈1，则x2＋2与3x的大小关系是________．答案(1)C（2)C（3)x2＋2>3x题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小：(1）已知a,b为正数，且a≠b,比较a3＋b3与a2b＋ab2；（2)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x;(3)已知x，y均为正数，设m＝eq\f（1，x）＋eq\f(1,y），n＝eq\f（4,x＋y)，比较m与n的大小．［解](1)(a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b)－b2(a－b）＝（a－b)(a2－b2）＝(a－b）2(a＋b)．∵a〉0，b〉0且a≠b，∴(a－b）2>0，a＋b〉0，∴(a3＋b3）－（a2b＋ab2）〉0，即a3＋b3〉a2b＋ab2。（2）x3－1－(2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1＝（x3－x2)－（x2－2x＋1)＝x2（x－1)－(x－1）2＝（x－1）(x2－x＋1）＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2)）)2＋\f(3,4））)。∵x<1，∴x－1<0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f（3，4）〉0，∴(x－1）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（1,2）)）2＋\f(3,4））)〈0,∴x3－1〈2x2－2x.（3)∵m－n＝eq\f(1,x)＋eq\f（1,y）－eq\f（4,x＋y)＝eq\f(x＋y，xy）－eq\f（4,x＋y）＝eq\f(x＋y2－4xy,xyx＋y)＝eq\f（x－y2,xyx＋y).又x,y均为正数，∴x>0，y>0，xy〉0，x＋y〉0，(x－y）2≥0。∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立）．[变式探究］若将本例（2）中“x<1”改为“x∈R"，则x3－1与2x2－2x的大小又如何呢？解由例题知x3－1－（2x2－2x）＝(x－1）eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2）)）2＋\f（3,4）)），∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2)））2＋eq\f（3,4)〉0,∴当x－1<0，即x〈1时，x3－1〈2x2－2x;当x－1＝0，即x＝1时，x3－1＝2x2－2x；当x－1>0，即x>1时，x3－1〉2x2－2x.金版点睛作差比较法的四个步骤eq\a\vs4\al(［跟踪训练1］)(1）比较x3＋6x与x2＋6的大小；(2)已知a,b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．解(1)（x3＋6x)－（x2＋6）＝x(x2＋6）－(x2＋6）＝（x－1）(x2＋6）．∵x2＋6>0，∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6；当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6；当x〈1时，x3＋6x<x2＋6。(2）x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝（a－b)(a2＋1）．当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y；当a＝b时,x－y＝0，所以x＝y；当a＜b时，x－y＜0,所以x＜y.题型二不等式的性质及应用例2下列命题正确的是________．①eq\f(c，a）<eq\f（c,b)且c〉0⇒a〉b；②a>b且c>d⇒ac〉bd；③a〉b〉0且c〉d〉0⇒eq\r（\f(a,d)）>eq\r（\f（b,c）);④eq\f(a,c2）〉eq\f(b,c2）⇒a>b.［解析］①eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(c，a）〈\f(c，b），,c>0）)⇒eq\f（1,a)〈eq\f（1，b）；当a〈0，b〉0时，满足已知条件，但推不出a>b,∴①错误．②当a＝3，b＝1,c＝－2，d＝－3时,命题显然不成立．∴②错误．③eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉b〉0，,c〉d>0)）⇒eq\f(a，d）>eq\f(b，c）〉0⇒eq\r(\f（a，d)）〉eq\r(\f（b,c))成立．∴③正确．④显然c2>0，∴两边同乘以c2得a〉b。∴④正确．[答案］③④金版点睛解决这类问题,主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定.eq\a\vs4\al([跟踪训练2]）(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：①若eq\f(a,c）>eq\f(b，d），则ad>bc；②设a，b为正实数，若a－eq\f(1，a）〈b－eq\f（1，b),则a〈b。（2)若a<b〈0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由：①eq\f（1，a－b)〈eq\f(1，a）；②eq\f(1，a＋b)〉eq\f（1,b）.解(1)①由eq\f（a,c)>eq\f（b，d),所以eq\f(a,c）－eq\f(b，d)>0，即eq\f（ad－bc，cd）>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ad－bc>0，，cd>0)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ad－bc<0，,cd<0.）)即ad〉bc且cd>0或ad<bc且cd〈0，故不正确．②因为a－eq\f(1,a)<b－eq\f（1，b)，且a〉0,b>0，所以a2b－b<ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a〈0⇒ab（a－b）＋（a－b）〈0⇒(a－b）（ab＋1）<0，所以a－b〈0，即a〈b正确．（2)①成立．由a<b<0得a<a－b〈0，所以eq\f（1，a－b)〈eq\f（1,a).②成立．因为a〈b<0，所以a＋b〈b<0，所以eq\f(1，a＋b)>eq\f（1，b)。题型三利用不等式的性质证明不等式例3(1)已知a〉b，e〉f，c〉0，求证：f－ac〈e－bc；（2)已知a>b>0，c〈d〈0,求证：eq\f(b,a－c)<eq\f（a，b－d）；(3)已知bc－ad≥0，bd>0.求证：eq\f(a＋b，b）≤eq\f(c＋d，d）。[证明](1)∵a>b，c>0，∴ac〉bc.∴－ac〈－bc。∵f〈e,∴f－ac<e－bc.(2)∵c〈d〈0,∴－c>－d>0。又a>b〉0，∴a－c>b－d〉0.∴0〈eq\f(1,a－c)<eq\f（1，b－d）.再由0〈b〈a,∴eq\f(b，a－c）〈eq\f(a，b－d）.(3）∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd>0，∴eq\f（a，b）≤eq\f（c，d).∴eq\f(a,b）＋1≤eq\f(c,d）＋1。∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f（c＋d，d)。金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧（1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件．(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．eq\a\vs4\al([跟踪训练3])（1)已知c>a〉b〉0，求证：eq\f(a，c－a）>eq\f(b，c－b)；（2）已知a，b，x，y都是正数，且eq\f(1，a）>eq\f（1，b）,x>y,求证：eq\f（x,x＋a）>eq\f（y,y＋b）。证明（1)∵a>b，∴－a〈－b，又c>a>b>0，∴0<c－a<c－b，∴eq\f(1，c－a)>eq\f(1,c－b）〉0.又∵a>b>0，∴eq\f（a，c－a）〉eq\f(b,c－b）.(2)∵a，b,x,y都是正数,且eq\f（1，a)〉eq\f(1，b)，x〉y,∴eq\f（x，a）>eq\f(y，b)，故eq\f（a,x)〈eq\f（b,y)，则eq\f(a，x)＋1〈eq\f（b,y）＋1，即eq\f(a＋x，x)〈eq\f（b＋y,y）.∴eq\f(x，x＋a)〉eq\f（y，b＋y）。题型四利用不等式的性质求取值范围例4(1)已知2〈a≤5,3≤b〈10，求a－b,eq\f（a,b)的取值范围；（2)已知－eq\f（π,2)≤α<β≤eq\f（π，2),求eq\f(α＋β,2),eq\f(α－β,3）的取值范围．［解］（1)∵3≤b〈10,∴－10〈－b≤－3.又2<a≤5,∴－8〈a－b≤2.又eq\f（1,10）＜eq\f（1,b)≤eq\f（1，3），∴eq\f（1,5）〈eq\f（a，b）≤eq\f(5,3)。（2)∵－eq\f(π,2)≤α〈β≤eq\f(π,2），∴－eq\f(π，4)≤eq\f(α，2)<eq\f（π,4)，－eq\f（π，4）〈eq\f(β，2）≤eq\f(π,4）。两式相加得－eq\f（π,2）〈eq\f（α＋β，2)〈eq\f(π，2）.∵－eq\f(π，6）≤eq\f（α,3)<eq\f（π,6)，－eq\f(π,6)<eq\f（β,3)≤eq\f(π,6），－eq\f（π,6）≤－eq\f（β,3)〈eq\f(π，6)，两式相加得－eq\f（π，3）≤eq\f（α－β，3)<eq\f(π，3).又α〈β,∴eq\f(α－β,3）〈0,∴－eq\f（π,3)≤eq\f（α－β,3)〈0。[变式探究］将本例(1）中,条件不变，求a＋b，ab的取值范围．解由2<a≤5,3≤b＜10得2＋3〈a＋b<5＋10，2×3<ab<5×10，即5<a＋b<15,6〈ab〈50。金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用a的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围;其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y"视为整体，即2x＋3y＝eq\f（5,2)(x＋y）－eq\f(1,2）（x－y)，所以需分别求出eq\f（5，2)(x＋y）,－eq\f（1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题,则不能再间接得出，必须“直来直去"，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．eq\a\vs4\al（［跟踪训练4］)已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．解令a＋b＝μ,a－b＝v,则2≤μ≤4，1≤v≤2。由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋b＝μ，,a－b＝v，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f（μ＋v,2)，，b＝\f(μ－v,2).））因为4a－2b＝4·eq\f（μ＋v，2)－2·eq\f（μ－v,2)＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，而2≤μ≤4，3≤3v≤6,所以5≤μ＋3v≤10。所以5≤4a－2b≤10。1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1,则m与n的大小关系是()A．m〈n B．m〉nC．m≥n D．m≤n答案D解析∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.2．设a,b,c，d∈R