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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE18-学必求其心得,业必贵于专精2。4线性回归方程学习目标核心素养1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较.2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系.3.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程,并能由回归方程对总体进行预测、估计.(重点、难点)通过对已有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.1.变量之间的两类常见关系在实际问题中,变量之间的常见关系有如下两类:一类是确定性函数关系,变量之间的关系可以用函数表示.另一类是相关关系,变量之间有一定的联系,但不能完全用函数表示.2.相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种.3.线性回归方程系数公式能用直线方程eq\o(y,\s\up6(^))=bx+a近似表示的相关关系叫做线性相关关系,该方程叫线性回归方程.给出一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),线性回归方程中的系数a,b满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=\f(n\i\su(i=1,n,x)iyi-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i=1,n,x)i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i=1,n,y)i)),n\i\su(i=1,n,x)\o\al(2,i)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i=1,n,x)i))2),,a=\x\to(y)-b\x\to(x).))上式还可以表示为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=\f(\i\su(i=1,n,x)iyi-n\o(x,\s\up6(-))\o(y,\s\up6(-)),\i\su(i=1,n,x)\o\al(2,i)-n\x\to(x)2)=\f(\i\su(i=1,n,)xi-\x\to(x)yi-\x\to(y),\i\su(i=1,n,)xi-\x\to(x)2),a=\x\to(y)-b\x\to(x).))1.有下列关系:①人的年龄与其拥有的财富之间的关系;②曲线上点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气候之间的关系;④森林中的同一树木,其横截面直径与高度之间的关系;⑤学生与其学号之间的关系.其中具有相关关系的是________.①③④[②⑤为确定关系不是相关关系.]2.下面四个散点图中点的分布状态,直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________.③[散点图①中的点无规律的分布,范围很广,表明两个变量之间的相关程度很小;②中所有的点都在同一条直线上,是函数关系;③中点的分布在一条带状区域上,即点分布在一条直线的附近,是线性相关关系;④中的点也分布在一条带状区域内,但不是线性的,而是一条曲线附近,所以不是线性相关关系,故填③。]3.工人工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=50+80x,下列判断正确的是________.①劳动生产率为1000元时,工资为130元;②劳动生产率提高1000元时,工资提高80元;③劳动生产率提高1000元时,工资提高130元;④当月工资为250元时,劳动生产率为2000元.②[回归直线斜率为80,所以x每增加1,eq\o(y,\s\up6(^))增加80,即劳动生产率提高1000元时,工资提高80元.]4.下表是广告费用与销售额之间的一组数据:广告费用(千元)1461014销售额(千元)1944405253销售额y(千元)与广告费用x(千元)之间有线性相关关系,回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=2。3x+a(a为常数),现要使销售额达到6万元,估计广告费用约为________千元.15[eq\x\to(x)=7,eq\x\to(y)=41.6,则a=eq\x\to(y)-2.3eq\x\to(x)=41。6-2.3×7=25.5.当y=6万元=60千元时,60=2。3x+25。5,解得x=15(千元).]变量间相关关系的判断【例1】在下列两个变量的关系中,具有相关关系的是________.①正方形边长与面积之间的关系;②作文水平与课外阅读量之间的关系;③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故发生率之间的关系.②④[两变量之间的关系有两种:函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.]1.函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.2.准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键.要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系,事实上,现实生活中相关关系是处处存在的,从某种意义上讲,函数关系可以看作一种理想的关系模型,而相关关系是一种普遍的关系.两者区别的关键点是“确定性"还是“不确定性”.1.下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号).①正方体的棱长和体积;②单产为常数时,土地面积和总产量;③日照时间与水稻的亩产量.③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V=x3;单产为常数a公斤/亩,土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y=ax.日照时间长,则水稻的亩产量高,这只是相关关系,应选③。]2.下列命题:①任何两个变量都具有相关关系;②圆的周长与该圆的半径具有相关关系;③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系;④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的;⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线,把非确定性问题转化为确定性问题进行研究.其中正确的命题为________.③④⑤[两个变量不一定是相关关系,也可能是确定性关系,故①错误;圆的周长与该圆的半径具有函数关系,故②错误;③④⑤都正确.]散点图的画法及应用【例2】现有5个同学的数学和物理成绩如下表:学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462利用散点图判断它们是否具有线性相关关系?如果有线性相关关系,是正相关还是负相关?思路点拨:本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩),以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩,可得相应的散点图,再观察散点图得出结论.[解]把数学成绩作为横坐标,把相应的物理成绩作为纵坐标,在平面直角坐标系中描点(xi,yi)(i=1,2,…,5).从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系,且当数学成绩减小时,物理成绩也由大变小,即它们正相关.1.判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.如果变量的对应点分布没有规律,我们就可以认为这两个变量不具有相关关系.2.正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关.正相关是指两个变量具有相同的变化趋势,即从整体上来看,一个变量会随另一个变量变大而变大.从散点图上看,因变量随自变量的增大而增大,图中的点分布在左下角到右上角的区域.负相关是指两个变量具有相反的变化趋势,即从整体上来看,一个变量会随另一个变量变大而变小.从散点图上看,因变量随自变量的增大而减小,图中的点分布在左上角到右下角的区域.提醒:画散点图时应注意合理选择单位长度,避免图形过大或偏小,或者是点的坐标在坐标系中画不准,使图形失真,导致得出错误结论.3.如图是两个变量统计数据的散点图,判断两个变量之间是否具有相关关系?思路点拨:观察图中点的分布情况作出判断.从散点图上看,点的分布散乱无规律,故不具有相关关系.[解]不具有相关关系,因为散点散乱地分布在坐标平面内,不呈线形.4.有个男孩的年龄与身高的统计数据如下:年龄(岁)123456身高(cm)788798108115120画出散点图,并判断它们是否有相关关系?如果有相关关系,是正相关还是负相关?思路点拨:描点(1,78),(2,87),(3,98),(4,108),(5,115),(6,120).观察点的分布,作出判断.[解]作出散点图如图:由图可见,具有线性相关关系,且是正相关.线性回归方程的求法及应用【例3】某产品的广告支出x(单位:万元)与销售收入y(单位:万元)之间有下表所对应的数据.广告支出x/万元1234销售收入y/万元12284256(1)画出表中数据的散点图;(2)求出y对x的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))=bx+a,并解释b的意义;(3)若广告费为9万元,则销售收入约为多少万元?思路点拨:eq\x(画散点图)→eq\x(列表处理数据)→eq\x(计算\x\to(x),\x\to(y),n\i\su(i=1,4,x)\o\al(2,i),\i\su(i=1,4,x)iyi)→eq\x(计算b)→eq\x(计算a)→eq\x(线性回归方程)→eq\x(销售收入)[解](1)散点图如图.(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,列出下列表格,以便计算回归系数a,B.序号xyx2y2xy111211441222284784563342917641264456163136224∑10138305828418于是eq\x\to(x)=eq\f(5,2),eq\x\to(y)=eq\f(69,2),eq\i\su(i=1,4,x)eq\o\al(2,i)=30,eq\i\su(i=1,4,y)eq\o\al(2,i)=5828,eq\i\su(i=1,4,x)iyi=418,代入公式得,b=eq\f(\i\su(i=1,4,x)iyi-4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i=1,4,x)\o\al(2,i)-4\x\to(x)2)=eq\f(418-4×\f(5,2)×\f(69,2),30-4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)=eq\f(73,5),a=eq\x\to(y)-beq\x\to(x)=eq\f(69,2)-eq\f(73,5)×eq\f(5,2)=-2.故y对x的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))=eq\f(73,5)x-2,其中回归系数b=eq\f(73,5),它的意义是:广告支出每增加1万元,销售收入y平均增加eq\f(73,5)万元.(3)当x=9万元时,eq\o(y,\s\up6(^))=eq\f(73,5)×9-2=129.4(万元),即若广告费为9万元,则销售收入约为129。4万元.1.求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行:第一步,计算平均数eq\x\to(x),eq\x\to(y);第二步,求和eq\i\su(i=1,n,x)iyi,eq\i\su(i=1,n,x)eq\o\al(2,i);第三步,计算b=eq\f(\i\su(i=1,n,)xi-\x\to(x)yi-\x\to(y),\i\su(i=1,n,)xi-\x\to(x)2)=eq\f(\i\su(i=1,n,x)iyi-n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i=1,n,x)\o\al(2,i)-n\x\to(x)2),a=eq\x\to(y)-beq\x\to(x);第四步,写出线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))=bx+A.2.对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以求得“回归方程",如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.提醒:(1)对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,判断变量之间是否线性相关,再由系数a,b的计算公式,计算出a,b,由于计算量较大,在计算时应借助计算器,仔细计算,以防出现错误.(2)为了方便,常制表对应算出xiyi,xeq\o\al(2,i),以便于求和.(3)研究变量间的相关关系,求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律,估计、预测某些数据,为我们的判断和决策提供依据.5.如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2012-2018.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据:eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))yi=9。32,eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))tiyi=40。17,eq\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))yi-\x\to(y)2)=0.55,eq\r(7)≈2.646.参考公式:相关系数r=eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i=1))\o()ti-\x\to(t)yi-\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i=1))\o()ti-\x\to(t)2\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i=1))\o()yi-\x\to(y)2)),回归方程eq\o(y,\s\up10(^))=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i=1))\o()ti-\x\to(t)yi-\x\to(y),\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i=1))\o()ti-\x\to(t)2),a=eq\o(y,\s\up6(-))-beq\a\vs4\al(\x\to(t))。思路点拨:(1)eq\x(利用相关系数的大小)eq\o(→,\s\up10(确定))eq\x(y与t的线性相关程度)(2)eq\x(求出回归方程)→eq\x(利用方程进行估计)[解](1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得eq\x\to(t)=4,eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))eq\o()(ti-eq\x\to(t))2=28,eq\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))\o()yi-\x\to(y)2)=0。55,eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))eq\o()(ti-eq\x\to(t))(yi-eq\x\to(y))=eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))eq\o()tiyi-eq\x\to(t)eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))eq\o()yi=40.17-4×9。32=2.89,∴r≈eq\f(2.89,0。55×2×2。646)≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当大,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由eq\x\to(y)=eq\f(9.32,7)≈1。331及(1)得b=eq\f(\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))\o()ti-\x\to(t)yi-\x\to(y),\o(∑,\s\up10(7),\s\do7(i=1))\o()ti-\x\to(t)2)=eq\f(2.89,28)≈0.103.a=eq\x\to(y)-beq\a\vs4\al(\x\to(t))≈1.331-0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))=0.92+0.10t。将2016年对应的t=9代入回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))=0。92+0.10×9=1。82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.1.本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念.2.本节课要掌握以下几类问题(1)准确区分相关关系与函数关系.(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系.(3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤.1.在如图所示的四个散点图中,两个变量具有相关性的是()A.①② B.①④C.②③ D.②④D[由图可知①中变量间是一次函数关系,不是相关关系;②中的所有点在一条直线附近波动,是线性相关的;③中的点杂乱无章,没有什么关系;④中的所有点在某条曲线附近波动,是非线性相关的.故两个变量具有相关性的是②④。]2.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得线性回归方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))=2.347x-6。423;②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))=-3。476x+5。648;③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))=5.437x+8。493;④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))=-4.326x-4.578。其中一定不正确的结论的序号有()A.①③ B.①④C.②③ D.②④B[由正、负相关性的定义知①④一定不正确.]3.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据:x3456y2。5344.5据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为0.7,则这组样本数据的线性回归方程是________.eq\o(y,\s\up6(^))=0。7x+0.35[∵eq\x\to(x
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