2020高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程讲义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精2。4线性回归方程学习目标核心素养1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较．2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系．3．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．（重点、难点）通过对已有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.1．变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系,变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种．3．线性回归方程系数公式能用直线方程eq\o（y，\s\up6（^）)＝bx＋a近似表示的相关关系叫做线性相关关系,该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x1,y1)，（x2，y2),…，（xn，yn）,线性回归方程中的系数a，b满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(n\i\su（i＝1，n，x)iyi－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\i\su（i＝1,n,x)i））\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1，n,y）i)）,n\i\su(i＝1，n,x)\o\al（2，i）－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\i\su(i＝1,n,x）i）)2），,a＝\x\to（y)－b\x\to(x）.））上式还可以表示为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f（\i\su（i＝1，n，x)iyi－n\o(x，\s\up6（－））\o（y，\s\up6（－）)，\i\su（i＝1，n，x）\o\al（2,i)－n\x\to（x）2)＝\f（\i\su(i＝1，n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to（y），\i\su(i＝1，n，)xi－\x\to(x)2），a＝\x\to(y）－b\x\to(x).））1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木,其横截面直径与高度之间的关系;⑤学生与其学号之间的关系．其中具有相关关系的是________．①③④[②⑤为确定关系不是相关关系．］2．下面四个散点图中点的分布状态,直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．③［散点图①中的点无规律的分布,范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小;②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近,所以不是线性相关关系，故填③。]3．工人工资y(元)依劳动生产率x（千元)变化的线性回归方程为eq\o（y，\s\up6(^))＝50＋80x，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1000元时，工资为130元；②劳动生产率提高1000元时，工资提高80元;③劳动生产率提高1000元时，工资提高130元；④当月工资为250元时,劳动生产率为2000元．②[回归直线斜率为80，所以x每增加1，eq\o(y，\s\up6(^）)增加80，即劳动生产率提高1000元时，工资提高80元．］4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据:广告费用(千元)1461014销售额（千元）1944405253销售额y(千元)与广告费用x（千元)之间有线性相关关系，回归方程为eq\o(y，\s\up6（^))＝2。3x＋a（a为常数),现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．15[eq\x\to(x）＝7，eq\x\to(y）＝41.6，则a＝eq\x\to(y）－2.3eq\x\to（x）＝41。6－2.3×7＝25.5.当y＝6万元＝60千元时，60＝2。3x＋25。5，解得x＝15（千元)．］变量间相关关系的判断【例1】在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________．①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系;③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]1．函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键．要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲,函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系．两者区别的关键点是“确定性"还是“不确定性”．1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号）．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量;③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩,土地面积x(亩）和总产量y（公斤）之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③。]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________．③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．］散点图的画法及应用【例2】现有5个同学的数学和物理成绩如下表:学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？如果有线性相关关系，是正相关还是负相关?思路点拨:本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩），以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解]把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标,在平面直角坐标系中描点（xi,yi)（i＝1,2,…,5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．1．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．如果变量的对应点分布没有规律,我们就可以认为这两个变量不具有相关关系．2．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关．正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看,一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看,一个变量会随另一个变量变大而变小．从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域．提醒：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．3．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系?思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看,点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．［解]不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下:年龄(岁）123456身高(cm）788798108115120画出散点图，并判断它们是否有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关?思路点拨:描点(1,78)，（2,87），(3,98），(4，108），（5，115），（6，120）．观察点的分布，作出判断．［解]作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．线性回归方程的求法及应用【例3】某产品的广告支出x(单位：万元）与销售收入y(单位：万元）之间有下表所对应的数据．广告支出x/万元1234销售收入y/万元12284256（1)画出表中数据的散点图；（2）求出y对x的回归直线方程eq\o(y,\s\up6（^))＝bx＋a,并解释b的意义；（3)若广告费为9万元,则销售收入约为多少万元？思路点拨：eq\x（画散点图）→eq\x（列表处理数据)→eq\x(计算\x\to（x），\x\to(y），n\i\su(i＝1，4,x）\o\al（2,i)，\i\su(i＝1,4,x)iyi)→eq\x(计算b)→eq\x（计算a）→eq\x(线性回归方程)→eq\x(销售收入)［解］(1）散点图如图．(2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a，B．序号xyx2y2xy111211441222284784563342917641264456163136224∑10138305828418于是eq\x\to(x)＝eq\f（5,2）,eq\x\to（y）＝eq\f(69，2)，eq\i\su（i＝1，4,x）eq\o\al（2，i）＝30，eq\i\su（i＝1，4,y)eq\o\al(2，i）＝5828,eq\i\su(i＝1,4，x)iyi＝418，代入公式得，b＝eq\f(\i\su(i＝1，4，x)iyi－4\x\to（x）\x\to（y)，\i\su(i＝1,4,x）\o\al（2，i)－4\x\to（x)2)＝eq\f（418－4×\f（5,2）×\f（69，2），30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5,2）))2)＝eq\f(73,5）,a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x)＝eq\f(69,2）－eq\f(73，5）×eq\f(5,2)＝－2.故y对x的回归直线方程为eq\o（y,\s\up6（^））＝eq\f（73，5）x－2，其中回归系数b＝eq\f(73，5），它的意义是：广告支出每增加1万元,销售收入y平均增加eq\f（73，5）万元．（3)当x＝9万元时，eq\o(y，\s\up6(^））＝eq\f(73，5)×9－2＝129.4(万元），即若广告费为9万元,则销售收入约为129。4万元．1．求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行：第一步，计算平均数eq\x\to（x)，eq\x\to(y）；第二步，求和eq\i\su(i＝1，n,x）iyi,eq\i\su(i＝1，n，x)eq\o\al(2，i)；第三步，计算b＝eq\f（\i\su（i＝1，n,）xi－\x\to（x）yi－\x\to（y）,\i\su（i＝1,n，）xi－\x\to(x)2)＝eq\f（\i\su(i＝1,n，x）iyi－n\x\to（x)\x\to(y）,\i\su(i＝1,n，x）\o\al（2，i)－n\x\to(x)2），a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x）；第四步，写出线性回归方程eq\o(y，\s\up6（^)）＝bx＋A．2．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程",如果这组数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．提醒：(1）对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a，b的计算公式，计算出a，b，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误．(2）为了方便,常制表对应算出xiyi，xeq\o\al(2,i），以便于求和．(3）研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律,估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据．5．如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注:年份代码1－7分别对应年份2012－2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;（2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：eq\o（∑，\s\up10（7)，\s\do7（i＝1)）yi＝9。32，eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7（i＝1））tiyi＝40。17，eq\r（\o（∑,\s\up10(7），\s\do7(i＝1）)yi－\x\to(y）2)＝0.55,eq\r（7)≈2.646.参考公式：相关系数r＝eq\f（\o(∑，\s\up10（n)，\s\do7（i＝1）)\o（）ti－\x\to(t)yi－\x\to（y)，\r(\o(∑，\s\up10(n）,\s\do7(i＝1))\o()ti－\x\to(t)2\o（∑，\s\up10（n）,\s\do7(i＝1））\o（）yi－\x\to(y)2)），回归方程eq\o（y,\s\up10（^）)＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝eq\f(\o（∑,\s\up10(n）,\s\do7（i＝1))\o（）ti－\x\to(t）yi－\x\to（y)，\o（∑,\s\up10（n),\s\do7(i＝1)）\o（）ti－\x\to（t)2），a＝eq\o（y,\s\up6（－))－beq\a\vs4\al(\x\to(t）)。思路点拨:(1)eq\x（利用相关系数的大小)eq\o（→，\s\up10(确定)）eq\x(y与t的线性相关程度）（2）eq\x(求出回归方程）→eq\x（利用方程进行估计)［解]（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据得eq\x\to(t)＝4，eq\o（∑,\s\up10(7)，\s\do7(i＝1））eq\o()（ti－eq\x\to（t)）2＝28，eq\r(\o（∑，\s\up10(7),\s\do7（i＝1）)\o（)yi－\x\to（y）2）＝0。55,eq\o(∑，\s\up10（7)，\s\do7(i＝1))eq\o（)(ti－eq\x\to(t）)（yi－eq\x\to(y))＝eq\o(∑，\s\up10(7），\s\do7(i＝1））eq\o（）tiyi－eq\x\to(t）eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7（i＝1）)eq\o（）yi＝40.17－4×9。32＝2.89，∴r≈eq\f（2.89，0。55×2×2。646)≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2）由eq\x\to（y）＝eq\f（9.32，7）≈1。331及（1）得b＝eq\f（\o（∑，\s\up10(7)，\s\do7（i＝1））\o(）ti－\x\to（t）yi－\x\to（y），\o(∑，\s\up10(7),\s\do7（i＝1）)\o（)ti－\x\to（t）2)＝eq\f（2.89,28)≈0.103.a＝eq\x\to（y)－beq\a\vs4\al（\x\to(t））≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为eq\o（y，\s\up6（^）)＝0.92＋0.10t。将2016年对应的t＝9代入回归方程得eq\o（y，\s\up6(^）)＝0。92＋0.10×9＝1。82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念．2．本节课要掌握以下几类问题(1）准确区分相关关系与函数关系．(2）会利用散点图判断两个变量间的相关关系．（3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤.1．在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是(）A．①② B．①④C．②③ D．②④D［由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④。］2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系,并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o（y，\s\up6（^））＝2.347x－6。423;②y与x负相关且eq\o（y,\s\up6（^））＝－3。476x＋5。648；③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6（^）)＝5.437x＋8。493；④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6（^)）＝－4.326x－4.578。其中一定不正确的结论的序号有（)A．①③ B．①④C．②③ D．②④B[由正、负相关性的定义知①④一定不正确．]3．某工厂生产某种产品的产量x(吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：x3456y2。5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________．eq\o（y,\s\up6(^））＝0。7x＋0.35[∵eq\x\to（x