平面向量复习课件

平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu uua（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是±得）；IABI（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a//b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共露但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）；④三点A、B、C共线oAB.AC共线；—-b-（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，女％B，注意起点在前，终点在后;—► —is f（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角i -fc-坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为rrra=xi+yj=（x,y），称（x,y）为向量a的坐标，a=（x,y）叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a有且只有一对实数九1、九2，使a=九e1+九e2。4r实数与向量的积：实数九4r实数与向量的积：实数九与向量a的积是一个向量，记作九（1）'a|=|X||a|,（2）当九>0时，入a的方向与a的方向相同，当九<0时a，它的长度和方向规定如下：-b- -b-九a的方向与a的方向相反，当九rr ,=0时，九a=0,注意：入aW0。5、平面向量的数量积：一，uuuruuar（1）两个向量的夹角：对于非零向量a,b，作OA=a,OB=b,（0<0<^）称为向量a,b的夹角，当0=0时，a,b同向，当0=冗ZAOB二。兀 ---时，a,b反向，当°=—时，a,

2b垂直。rr _（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为0,我们把数量IaIIbIcos0叫做ar rr rrrr与b的数量积（或内积或点积），记作：a•b，即a•b=abcos0。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。■ rb在a上的投影为IbIcos0，它是一个实数，但不一定大于0。r—a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模IaI与b在a上的投影的积。(5)向量数量积的性质:①(5)向量数量积的性质:①a±boa•b=0；设两个非零向量a,b，其夹角为0，则:②当a,b同向时，rb，特别地，当a与b反向时，a•b=rr . ,ab；当rr . ,ab；当0为锐角时，a•b>0,且a、b不同向，a•b>0是0为锐角的必要非充分条件；当0为钝角- rr时，a- rr时，a•b<0,且a、b不反向，a•b<0是0为钝角的必要非充分条件;精选

rr- - a•b.rr..rr.③非零向量a,b夹角9的计算公式：cos。=r-；@Ia•bl<laIIbl。aibi6、向量的运算：(1)几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行痴但‘淮行四边形法则”只适即不共线的向量如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b，那么向量AC叫做a与b的和，即rruuuruuuuura+b=AB+BC=AC.uuuruurrrruuauuruuu②向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b，那么a—b=AB—AC=CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。(2)坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，则:riri22①向量的加减法运算：a土b=(、土x2，yi±y)。②实数与向量的积：入a=九9「)=(九Xj九yi2)o③若A(xi,yi),B(x2,y2),则AB=(x2—5,y2-y),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标orr④平面向量数量积：a•b=xx+yy。r, ir2r2⑤向量的模：Ial=\：'x2+y2,a2=laI2=x2+y2。⑥两点间的距离：若A(x,⑥两点间的距离：若A(x,y),B(x,y)，则IABl=;(x-x)+(yii2r2rrr(2r)i r27、向量的运算律：(i)交换律：a+b=b+a,入*a/=(X^)a,-y)r1ra•brrr(rr)rrrrr(rr) (r)r(rr)r(r)a+b+c="+b+cc,a一b一c=a-b++c), 入a)•b=X%•b)=a•\bb)；rrr(rr)rr(b+pja=ba+Ra,ba+b/=ba+bbr)r+b••c=rr=b•a；(2)结合律：(3)分配律：如下列命题中：①rraa•b⑦>r

b

=r;aa•(力-c)=a.力一日•c；②a•(力•声)=(a.力)•c；③(arraa•b⑦>r

b

=r;a- 一4 一一 一一 rrrrrrrr-21aI•I bI+IbI2；④若a•b =0,则a =0或b=0 ；⑤若a•b=c-b,则a=c ；⑥a2=a2rrrrrrrrrr⑧(a•b)2=a2•b2；®(a-b)2=a2-2a•b+b2。其中正确的是(答：①⑥⑨)提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)牛(a•b)c，为TOC\o"1-5"\h\z什么？rrrrrr r r8、向量平行(共线)的充要条件： a//b。a=bb。(a•b)2=(IaII bl)2。xy -yx=0。rrrr rr rr i2 i29、向量垂直的充要条件：a±boa•b=0oIa+bl=l a-bI o xx+yy =0.特别地uua uur uua uur i 2 i 2/aBB AC x /aBB AC xImmr4-'nRM 1 I mmr-、nrm 1t/ii/iir i/ti/u/i, t/ii/iir i/ti/ti/i, I)oAB AC AB AC.线段的定比分点：(1)定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数b，使///m. //i2 i2 /1 .PP=bPP，则b叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做有向线段PP的以定比为b的定比分点；I 2 I2 i2(2)b的符号与分点p的位置之间的关系：当P点在线段PP上时Ob>0；当P点在线段PP的i2 mi2延长线上时ob<—1；当P点在线段P2Pl的延长线上时o-i<b<0；若点p分有向线段｛P2所成的精选

UUUK ]UUUK比为九，则点P分有向线段P4所成的比为兀。UUUK(3)线段的定比分点公式：设仆1，»勺X2,y2),玖x，y)分有向线段P1尸2所成的比为九,则X+入XX+入X—t——1+九y+^y11+X2特别地，当九=1时，就得到线段p1P2的中点公式,X+XX= 22_y+y。。在使用定比分点的坐y_ 122标公式时，应明确标公式时，应明确(x,y),(X1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点:分点和终点，并根据这些点确定对应的定比九。r.平移公式：如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x:y'),则|X=X+h；曲线f(x,y)_0按向r [y'_y+k量a=(h,k)平移得曲线f(x-h,y-k)_0.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!12、向量中一些常用的结论:⑴一个封闭图形首尾连接而摩的向量和为零向量，要注意运用；rrrrIIaI-Ib11<1a土b1<1aI+IbI,特别地，当a、b同向或有0O|a+b|_|aI+IbIrr r r r,/// ' r rr rr r r rr r r>II aI-1bII_Ia-bI ；当 a、b 反向或有 0 OI a-bI=I aI+1b I> IIa I-1b II=I a+b I；当 a、b 不共线rrrrrrOIIaI-IbII<Ia±bI<IaI+IbI(这些和实数比较类似).(3)在AABC中，①若A(X],y1),B(x2,y2),C4,y3),则其重心的坐标为(X+X+Xy+y+y\uuu1uuruuruurG-4—2一3,y1*y3。②PG_3(PA+PB+PC)OG为AABC的重心，特别地I3 3 ) 3uuruurumrrPA+PB+PC_0OP为AABC的重心；uuruuruuruuuuuruUU，③PA-PB_PB-PC_PC-PAOP为AABC的垂心.turn uuu④向量九(-AB+/T)(九丰0)所在直线过AABC的内心(是/BAC的角平分线所在直线)；IABIIACIuuuruuuumruuruuruuur⑤IABIPC+IBCIPA+ICAIPB_0oPAABC的内心；mum uuuuuuuuTOC\o"1-5"\h\z(3)若P分有向线段PP所成的比为九，点M为平面内的任一点，则M_叱+入”,特别地P为

12 1+九uuuuuuuu照MP+MPPP的中点oMP_ 1 2-;2 2uuruuuuur ,_ uuruurJ慢(4)向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线O存在实数a、P使得PA=aPB+PPC且平面向量部分常见的题型练习类型(一)：向量的夹角问题—*T 一— 一T，.平面向量a,b，满足a_1,b_4且满足ab_2，则a与b的夹角为—f—► r fr， ■ i_b.已知非零向量a,b满足a_b,bKb-2a),则a与b的夹角为―►—*■ T■- I-I I-I -■■—■.已知平面向量a,b满足(a-b).(2a+b)_-4且|a|_2,|b|_4且，则a与b的夹角为精选类型(二)：向量共线问题1,已知平面向量a=(2,3x)，平面向量b=(—2,—18),若a//b，则实数xTOC\o"1-5"\h\z.设向量a=(2,1),b=(2,3)若向量九0+b与向量c=(-4,—7)共线，则X=f —¥—* —* —*.已知向量a=(1,1),b=(2,x)若a+b与4b—2a平行，则实数x的值是( )A.-2 B.0 C.1 D.24已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(—k,10),且A,B,C三点共线，贝0k= F-* a—F -F -*5.已知A(1,3), B(—2,—3), C(x,7),设AB =a ,BC =b 且a /b ,贝|x的值为(A)0 (B)3 (C)15 (D)18类型(三)：向量的垂直问题—I- ― —1 —F1.已知向量a=(x,1),b=(3,6)且a1b，则实数x的值为f - fF—2.已知向量a=(1,n),b=(—1,n),若2a一b与b2.■ - 1 i.已知a=(1,2),b=(-3,2)若ka+2b与2a-4b垂直，求实数k的值兀.已知a=2,bl=4，且a与b的夹角为—，若ka+2b与ka—2b垂直，求k的值。类型(四)投影问题2兀.已知a卜5,b=4,,a与b的夹角0=—，则向量b在向量a上的投影为.在Rt△ABC中，/C=-,AC=4,则AB.AC=2-b-a-ff-f—3.关于a.b=a.c且a丰0，有下列几种说法：— 1 1 ■+ ■ ■■ 一 f①a1(b—c)；②b1c;③a.(b—c)=0④b在a方向上的投影等于c在ar -f方向上的投影：⑤b=Xa=⑥b=c其中正确的个数是()(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个类型(五)求向量的模的问题f f- r- I |一I1,已知零向量a=(2,1),a.b=10,a+b=5"贝U|b|=精选

2.已知向量a,b满足aa=1,|b|=2,a-b=2,则3.4.已知向量a=2.已知向量a,b满足aa=1,|b|=2,a-b=2,则3.4.已知向量a=(1,sin0),b=(1,cos0),则a—b的最大值为类型（六）向量积问题uuruuuuuuuuuuuuu等于（）49434C.-34D.-91(2009陕西卷文)在^ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学PA=等于（）49434C.-34D.-9类型（六）平面向量基本定理的应用问题1.若a=1.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1-2）,则c等于（1-3；(A) —1-3；(A) ——a+—b2 23P1r(C)—a—-b2 21-3(B)-2a-2b3P1/(D)-2a+2b2.已知a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),"I"求正和日的值，使c=九a+Nb3.设e3.设e,e是平面向量的一组基底，则当九=九=,52时，入e+九e4.下列各组向量中，可以作为基底的是（）(A)e(A)e=(0,0),e=(1,-2)(B)e=(-1,2),e=(5,7)(C)e(C)e=(3,5),e=(6,10)(D)1 1 1 3e=(2,-3),e=(-,--)1 2 2 45.a=(1,5.a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2)，则c=()3a+b3a-b (C)-a+3b(D)a+3b,c=,c=a+2b,d=ma-6(mgR)一，'I』 〜 .一一-八6已知a=3,b|=2,a与b的夹角为—（1）当m为何