二次函数之距离最小思维

二次函数之最短路径问题例1.(广东)已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标；在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．例2.(甘肃兰州)如图，RtAABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐25标原点，A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4)，抛物线y=；x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=^上．求抛物线对应的函数关系式；⑵若把AABO沿x轴向右平移得到ADCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；⑶在⑵的条件下，连接BD,已知对称轴上存在一点P使得APBD的周长最小，求出P点的坐标；例3•如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N,其顶点为D．抛物线及直线AC的函数关系式；设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值；若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF//BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求AAPC的面积的最大值.

例4.(湖南郴州)已知抛物线y=ax牙bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.求这条抛物线的解析式；如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G,使ACMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.例5.(辽宁)如图16,在平面直角坐标系中，直线y=—石兀-"3与x轴交于点A，与y轴交于点C,抛物线22^°、经过A，B，C三点.y=ax乙-3x+c(a丰0)求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；试探究在直线AC上是否存在一点M，使得'MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标;若不存在，请说明理由．图16图16例6.(山西)综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2^2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.图16求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；点P是x轴上一个动点，过P作直线1//AC交抛物线于点Q,试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．请在直线AC上找一点M,使AEDM的周长最小，求出M点的坐标.例7•如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4,0)、C(0,2),D为OA的中点•设点P是ZAOC平分线上的一个动点(不与点O重合).试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，APDE的周长最小？求出此时点P的坐标和厶PDE的周长；设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P,使ZCPN=90°?若存在，请直接写出点P的坐标．例8.(德州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4,0)，并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.求抛物线的解析式；是否存在点P,使得AACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.练习：(烟台)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与OM相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为(-1,0)，(0,-2),点D在x轴上且AD为QM的直径•点E是QM与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH丄AD于点H,且FH=1.5求点D的坐标及该抛物线的表达式；若点P是x轴上的一个动点，试求出厶PEF的周长最小时点P的坐标；在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使AQCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.例10•已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A(1，3)和点B(2，1)。求此抛物线解析式；点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值，并写出C.D两点的坐标;①在抛物线AB段上存在一点E,使ABE的面积最大，求E点的坐标；②请直接写出以A.B和E为顶点的平行四边形的第四个顶点P的坐标。1~o123^例11.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a#0)的顶点为C(l,4),交x轴于A、B两点，交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).(1)求抛物线的解析式；如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H,使D、G,H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线，垂足为点M,过点M作MN//BD，交线段AD于点N,连接MD,使△DNMs^BMD?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.例12.已知抛物线y=-x^bx+c与x轴交于点A(m—2,0)和B(2m+1,0)(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为P,对称轴为1：x=1.求抛物线解析式．⑵直线y=kx+2(k#0)与抛物线相交于两点Mg,y),N(x2,y?)(xfx?),当Ix^x?|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标.(3)首尾顺次连接点O,B,P,C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O,B移动后的坐标及L的最小值．*6字4321L--1-1i-i--J-?-.01,11-1-2-3-4-5-6例9.(衢州)如图，已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上.求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；平移抛物线y=ax2记平移后点A的对应点为A',点B的对应点为B',点C(-2,0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+CB'最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在,请说明理由．例13・(重庆)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A,B两点(点A在点B的左侧)，交轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与轴的交点为D。求直线BC的解析式。点E(m,O),F(m+2,0)为x轴上两点，其中，，分别垂直于x轴，交抛物线与点，，交BC于点M,N,当的值最大时，在y轴上找一点R,使得值最大，请求出R点的坐标及的最大值。例14.(自贡)如图，抛物线1交x轴于点A(-3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,-3).将抛物线1沿y轴翻折得抛物线J求11的解析式；在*的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点舛及C两点的距离差最大，并说出理由；例15•如图，已知直线y=1/2x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=1/2x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式；动点P在x轴上移动，当APAE是直角三角形时，求点P的坐标P;在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标例16•如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC//AD,上BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A(T，0),B(T，2),D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON•若抛物线y二ax2+bx+C经过点D、M、N.求抛物线的解析式．抛物线上是否存在点P,使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有IQE-QCI最大？并求出最大值.检测1•在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过A(2,0)、B(4,0)两点，直线y=fx+2交号轴于点C,且过点D(8,m).求抛物线的解析式；在x轴上找一点P,使CP+DP的值最小，求出点P的坐标；将抛物线y=x2+bx+c左右平移，记平移后点A的对应点为A，,点B的对应点为B',当四边形A'B'DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A'B'DC周长的最小值.设抛物线的顶点为Q,过点C作x轴的平行线L,点M在直线L上,且MN丄x轴，垂足为N,若DM+MN+NQ最小，直接写出此时点M,N的坐标。.2~1~1__3~~~4~8^-I-Z「2•如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线1:y=^x+远点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线1:y=^x+远交BD于点E,