概率统计习题解答07习题一

概率统计习题解答习题一1.写出下列事件的样本空间：（1）把一枚硬币抛掷一次；（2）把一枚硬币连续抛掷两次；（3）掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；（4）一个庫房在某一时刻的库存量（假定最大容量为）解：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第1页!2.掷一夥骰子的试验，观察其出现的点数，事件“偶数点”，“奇数点”，“点数小于5”“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解：为对立事件.即互不相容；概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第2页!解：3.事件表示某个生产单位第车间完成生产任务，表示至少有两个车间完成任务，表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件的含义，并用表示出来.表示最多有一个车间完成任务，即至少有两个车间没有完成任务.注意：运算定义中有“至少”而没有“最多”概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第3页!5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解：两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.区别互不相容与对立的关键是，当样本空间只有两个事件时才可能对立.而互不相容适用于多个事件的情形.互不相容事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而对立事件必发生一个且至多发生一个.如考试及格与不及格是互不相容事件，也是对立事件，但考试70分与80分是互不相容却不对立.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第4页!7.事件相容，记说明事件的关系.解：要求掌握：根据相容性写出（1）用互不相容的事件表示一个事件的方法；（2）用“包含”与“被包含”关系，表达事件间的相互关系的方法.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第5页!9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解：设事件“取到的两个球中有黑球”则“取到的两个球没有黑球”＝“取到的两个球都是白球”因此有利于事件的样本点数为注意：当所求事件包含的基本事件“较复杂”、而它的对立事件所包含的基本事件“较简单”时，常用如例9那样的“求逆法”来解.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第6页!11.10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解：设事件“任取的两把锁能打开门”，显然，这有多种可能情形.但它的对立事件：“任取的两把锁不能打开门”，所包含的基本事件较简单，且基本事件数容易计算.故用求逆法来计算.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第7页!因此有利于的基本事件数是思考题：求四张中至少有两种花色相同的概率.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第8页!故有利于事件的基本事件总数为14.袋中有球红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率.“三次都是红球”“全红”“无红”，“无白”“无黑“，“三次颜色全相同”“三次颜色全不相同”，“三次颜色不全相同”概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第9页!概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第10页!16.事件互不相容，计算解：由于事件互不相容，17.设事件求证证明：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第11页!19.50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取3个，计算取到废品的概率.解：设“取到废品”一次抽取3个，抽到废品有多个情形，但与其对立的情形：3个都是合格品.就一种.故用求逆运算：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第12页!20.设事件都大于0，比较概率（用不等号把它们连接起来）解：对任何事件均有概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第13页!23.从5副不同的手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解：设事件“取出的4只手套至少有两只能配成一副”则“取出的4只手套中任何两只均不能配成一副”.为使取出的4只手套中没有两只能配成一副，我们先从5副手套中任取4副，然后从取出的4副手套中各取一只.因此概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第14页!注意：善于根据题设条件，适当表达所求事件，使所求事件的概率变得容易.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第15页!26.设是两个随机事件，求证：证明：条件概率具有概率的一切性质，故由题设知因此有整理即得：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第16页!28.设事件的概率都大于0，如果独立问它们是否互不相容，为什么？解：用反证法证明.如果互不相容，则而由题设独立，故在题设条件下，不可能互不相容.注意这里有一个重要的结论：在此题设的条件下，相互独立与互不相容不可能同时成立.反之：在题设的条件下，如果互斥，也可用反证法证明不可能相互独立.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第17页!30.加工某种零件，需经过三道工序，假定、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解：设事件“任取一个零件是合格品”“第道工序是合格的”则相互独立.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第18页!32.一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解：设“第人拿到自己的眼镜”，则设“每个人都没有拿到自己的眼镜”，则表示至少有一人拿到自己的眼镜：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第19页!33.在1,2，…，3000这3000个数中任取一个数，设“该数可以被整除”，求概率解：由题意知概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第20页!概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第21页!即乙先投中的概率是故甲先投中的概率较大.36.某高校新生中，北京考生占30%，京外其他各地考生占70%，已知在北京学生中，以英语为外语的占80%，而京外学生以英语为外语的占95%今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为外语的概率.分析：这里所求其概率的事件与前后两个试验：（1）生源情况；（2）以英语为外语的情况有关.第（1）个试验的各种结果直接对第（2）个试验产生影响，要求的是第（2）个试验出现的结果.应用全概率公式，把第（1）个试验的所有可能结果设成样本空间的一个分割.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第22页!37.地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9：7：4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4%，2%，5%，求地的甲种病的发病率.解：设事件分别表示从地任选一名居民为其南、北、中行政小区的居民，则设表示“任选一名居民患有甲种疾病”，则概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第23页!39.有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中1号袋内装有两个1号球，1个2号球，与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从1号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大.事件“第二次取到号球”，解：设事件“第一次取到号球”，由题意：构成一个完备事件组，概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第24页!40.接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5%（即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5%）；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1%，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实有此病的概率.解：设事件“受检人患有甲种疾病”，事件“受检人被查有甲种疾病”.由37题知所求概率是应用贝叶斯公式解：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第25页!应用贝叶斯公式，有注意：若已知某事件已经发生，欲求在该事件发生的条件下，样本空间的划分中某一个事件发生的概率，可以用贝叶斯公式.全概率公式实质上是由原因求结果，而贝叶斯公式是由结果求原因.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第26页!所求概率是应用贝叶斯公式，有概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第27页!44.一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率解：设事件表示一箱中有件次品，表示“抽取的10件产品中无次品”由题意得：所求事件的概率是概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第28页!解：设事件“一个虫下n个卵”n＝0，1，2，…“该虫下一代有条虫”，＝0，1，…由题意应用全概率公式，有概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第29页!如图1－1，事件都相容，即把事件用一些互不相容事件的和表示出来.解：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第30页!6.三个事件的积是不可能事件，即问这三个事件是否一定互不相容？画图说明.解：不一定.三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第31页!8.袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到两个球颜色不同的概率.解：设事件“取到的两个球颜色不同”试验的样本点总数为有利于的样本点数目为由概率公式有概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第32页!10.抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解：设事件“連掷三次，既有正面又有反面出现”它所包含的基本事件“较复杂”，但它的对立事件所包含的基本事件“较简单”：全部正面或全部反面。故用求逆法：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第33页!12.一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率.（1）四张花色各异；（2）四张中只有两种花色解：（1）设事件“四张花色各异”试验的基本事件总数有利于的基本事件数(2)设事件＝“四张中只有两种花色”注意：有利于的基本事件的产生的过程：（1）在4种花色中任取二种；（2）对所取定的二种花色取牌：各取两张或一个花色取3张另一个取1张.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第34页!13.口袋内装有2个五分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解：共有10个硬币，任取5个，则基本事件总数为有利于事件＝“取5个硬币，总值超过壹角”的情形有以下两种：（1）取2个5分，其余3个可这样取：3个贰分或2个贰分、1个壹其总数为分或1个贰分或3个壹分.其总数为（2）取1个五分，则2分至少要取2个，其总数为概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第35页!解：由于是作有放回抽取，每次可供抽取的球都有三个.故由乘法原理知，个基本事件.同理，次可供抽取的球有3种不同的球；第二次可供抽取的球有2种不同的球；第三次可供抽取的球只有1种球.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第36页!15.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解：设事件＝“6位同学中有4个人的生日在同一个月份”因为每个同学的生日月份都有12种可能，故由乘法原理知，有利于事件出现的过程：（1）6位中选定某4位；（2）这4位同学的生日在12个月份选定某一个月份；（3）其余2位同学的生日，都在别的11个月份选择.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第37页!解：由题设及求证的要求知，首先需求出为此要考虑用已知概率的事件表示未知概率的事件：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第38页!20.已知事件求的取值范围.综上分析的取值范围是：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第39页!22.一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）解：设事件“至少有一人的生日是在元旦”则“100名学生的生日都不在元旦”概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第40页!24.某单位有92%的职工订阅报纸，93%的人订阅杂志，在不订报纸的人中仍有85%的职工订阅杂志从单位任找一名职工求下列事件的概率：（1）该职工至少订阅一种报纸可期刊；（2）该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解：设事件“任找的一名职工订阅报纸”，“任找的一名职工订阅杂志”.由题意：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第41页!25.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，记事件＝“数学成绩优秀”，＝“外语成绩优秀”，若解：概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第42页!27.设独立，解：独立，另解：直接使用推论3来解.概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第43页!29.某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解：设事件＝“第个元件在使用1000小时后没有坏”，显然相互独立.设事件“在使用1000小时后，三个元件最多只坏了一个”.则上述等式右边是四个两两互不相容事件的和概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第44页!31.某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次能打通的概率以及第次才能打通的概率（为任何正整数）.则一次能打通的概率是第二次才能打通的概率是解：设事件“第次能打通”.“总机占线”，“分机占线”第次才能打通的概率是概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第45页!其中概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第46页!34.甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6，计算下列事件的概率：（1）只有一人投中；（2）最多有一人投中；（3）最少有一人投中.解：设事件分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”.显然相互独立.设表示“三个人中有人投中”，由题意得，概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第47页!35.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问誰先投中的概率大，为什么？解：设事件分别表示“甲在第次投中”与“乙在第次投中”，显然相互独立.设事件“甲先投中”，则此等式右边各项显然互不相容，概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第48页!解：设事件“任选一名学生为北京考生”，则表示“任选一名学生为京外考生”.设事件“任选一名学生，以英语为第一外语”由题意知：注意：需用全概率公式解题的类型的判断方法及解题的方法概率统计习题解答07习题一共56页，您现在浏览的是第49页!38.一个机床有三分之一的时间加工零件，其余时间，加工零件,加工零件时，停机的概率为0.3，加工零件时，停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.设“机床停机”，由题意有解：