2022-2023学年四川省眉山市仁寿南校区高二年级上册学期期中考试数学（文）试题【含答案】

2022-2023学年四川省眉山市仁寿南校区高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．设命题，则为A． B．C． D．C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2．若，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则B【分析】根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：因为，所以，故选项A正确；对B：因为，，所以当时，；当时，；当时，，故选项B错误；对C：因为，所以由不等式的性质可得，故选项C正确；对D：因为，所以，所以，故选项D正确.故选：B.3．圆与圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离B【分析】根据圆与圆位置关系的判断，计算两圆圆心距离，与半径之和和差比较大小即可判断.【详解】解：圆的圆心为：，半径圆的圆心为：，半径所以，则所以两圆相交.故选：B.4．“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A【分析】先判断时，直线与圆是否相切，再根据直线与圆相切求得m的值，即可作出判断.【详解】当时，直线为，圆心到直线的距离为，故直线与圆相切；由直线与圆相切，知圆心到直线的距离，解得或，因此“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，故选：A．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（

）A． B．2π C．3π D．4πB【分析】由题设几何体为轴截面是边长为2的等边三角形的圆锥，进而求其侧面积.【详解】由三视图知：几何体为圆锥，轴截面是边长为2的等边三角形，即母线和底面直径均为2，所以底面周长为，故侧面积为.故选：B6．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则C【分析】对于A、B、D：在正方体中，取特殊平面和直线否定结论.对于C：分或两种情况进行讨论，利用线面垂直的性质进行证明.【详解】对于A：在正方体中，取平面为，平面为，平面为，记直线为m，为n.符合，但是平面即平面与平交，交线为AD.故A错误；对于B：在正方体中，取平面为，平面为，记直线为n，为m，.符合，但是平面不垂直.故B错误；对于C：因为，所以或.当时，因为，所以.当时，按照线面平行的性质定理，过直线m作平面使得，则.因为，所以.又因为，所以.综上所述.故C正确.对于D：因为对于在正方体中，取平面为，平面为，记直线为n，为m，.符合，但是直线m、n为异面直线.故D错误；故选：C.7．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(

)A．3 B．2 C． D．D【分析】首先求出直线的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出的高的最小值，即可求解.【详解】由题意，易知直线的方程为，且,∵圆可化为，∴圆心为，半径为1，又∵圆心到直线的距离，∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，故面积的最小值为.故选：D.8．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，⊥平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．C【分析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与夹角的余弦值．【详解】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设，则,1,，,1,，,0,，,0,，,，则,，,0,，设异面直线与夹角为，则．异面直线与夹角的余弦值为．故选：C．9．如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（

）A．2 B．4 C．4 D．B【分析】根据题意作出截面图，结合几何关系即可求得其面积.【详解】根据题意，作出正方体被平面所截得到的截面为四边形，如下所示：根据正方体的几何特点，显然四边形为矩形，且，故其面积.故选.10．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．B【分析】由题设得，结合点在圆外及求的范围.【详解】圆，则圆心，半径r（），∵点在圆的外部，∴，即，解得，综上所述，实数k的取值范围是．故选：B11．与直线切于点，且经过点的圆的方程为（

）A． B．C． D．D【分析】设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得，即可得出答案.【详解】解：设圆的方程为，根据题意可得，解得，所以该圆的方程为.故选：D.12．如图，已知正方体的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段，，，BC，的中点，连接，，，DE，BF，CI，则下列正确结论的个数是（

）①点E，F，G，H在同一个平面上；②平面∥平面EFD；③直线DE，BF，CI交于同一点；④直线BF与直线所成角的余弦值为．A．1 B．2 C．3 D．4C【分析】①根据共面定理，证明与平行，可得答案；②由①，根据面面平行判定定理，证明平面平面，由图平面平面，可得答案；③先假设，由题意，可得连线直线的等量关系，再假设出，求得连线的等量关系，检验可得答案；④根据异面夹角的定义，作平行，找出夹角，结合余弦定理，可得答案.．【详解】对于①，连接，，，，，作图如下：在正方体中，易知，在中，分别为的中点，，则，命题①正确；对于②，连接，，，，，，作图如下：在中，分别为的中点，，同理在中，，平面，平面，平面，同理可得平面，，与相交，由平面，则平面平面，因为平面平面，所以命题②错误；对于③，连接BD，延长DE、BF交于点M，因为EF∥BD，且EFBD，所以MF＝BF，又因为FI∥BC，且FIBC，所以B、C、F、I四点共面，所以BF与CI相交，设BF与CI的交点为N，则NF＝FB，所以M与N重合，即直线DE，BF，CI交于同一点，命题③正确；对于④，取C1D1的中点K，连接CK，则CK∥BF，则CK与所成的角θ即为直线BF与直线所成的角，连接，设正方体的棱长，则，，，由余弦定理得，命题④正确．综上知，①③④正确．故选：C．二、填空题13．已知“，使”为真命题，则实数的取值范围是_______或【分析】根据一元二次方程有解的条件求解即可．【详解】解：∵，使，，解得：或．故或．14．过点A的直线与圆C：相交截得的最短弦长______【分析】根据圆的性质，结合勾股定理进行求解即可.【详解】由，所以圆C的坐标为，设过点A的直线为，当时，点A的直线与圆C：相交截得的弦长最短，，弦长最短值为：，故15．已知圆C：，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB面积的最小值为______【分析】根据切线的性质可得，则，则要求四边形PACB面积的最小值，只要求出的最小值即可，求出点到直线的距离即可.【详解】解：圆C：，即，则圆的圆心，半径，因为分别切圆于点，所以，所以，则要求四边形PACB面积的最小值，只要求出的最小值即可，的最小值为点到直线的距离，为，所以四边形PACB面积的最小值为.故答案为.16．在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AC⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝30°，现将△ACD沿AC折起，并连接BD，使得平面ACD⊥平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为______【分析】由题意，找到底面和侧面的外接圆圆心，通过面面垂直性质定理，作出线面垂直，确定球心，进而求得棱长，可得答案.【详解】∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC的外接圆圆心为AC中点，△ABC的外接圆圆心为AB中点，如图所示：过作平面ADC的垂线，过作平面ABC的垂线，∵平面ADC⊥平面ABC，∴两垂线交于点，可得为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，由三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为4π，可得外接球的半径r＝1，AB＝2，在中，，，在中，，，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊥AC，BC平面ABC，平面ADC，则为三棱锥的高，则三棱锥D﹣ABC的体积为．故答案为.三、解答题17．已知为正实数，设：实数满足实数满足．(1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．(1)(2)或【分析】（1）若且为真，则p,q均为真，分别求得真命题时得范围，取交集即可得所求；（2）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，根据解集关系确定实数的取值范围．【详解】（1）解：时，：实数满足，若且为真，则p,q均为真为真则有：，为真则有：或，所以的取值范围是：；（2）解：是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件；为真有：为真有：或；所以或，所以或，所以的取值范围是：或．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．(1)求证：EF平面BDD1B1；(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的判定定理求证即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可．【详解】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，因E，F分别是BC，CM的中点，则有EFBM，又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，所以EF平面BDD1B1．（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，而E是BC的中点，于是得EGBD，而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，从而得EG平面BDD1B1，由（1）知EF平面BDD1B1，EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，因此，平面GEF平面BDD1B1，所以当G是DC的中点时，平面GEF平面BDD1B1．19．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论．(1)证明见解析(2)能；证明见解析【分析】（1）根据面面垂直性质定理，结合菱形的性质，可得答案；（2）假设存在，根据线面平行性质定理，可得线线平行，利用菱形性质，可得三角形相似，进而得到线段成比例，结合平行线的性质，可得答案.【详解】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．（2）连接DE，EF，DF，设DE交AC于点H，连接HF因为PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以；由于底面ABCD为菱形，为的中点，易证，所以，由PA//，可得，所以存在点为棱上靠近的三等分点，可使PA//平面DEF.20．已知圆过两定点，且圆心在直线上；(1)求圆的方程；(2)过点的直线交圆于两点，若，求直线的方程．(1)(2)或【分析】（1）设圆的标准方程为，建立关于的方程，求解即可得圆的方程；（2）根据直线与圆相交得弦长公式，确定圆心到直线的距离，讨论直线方程即可求得.【详解】（1）解：设圆的方程为∵圆心在直线上，则又∵圆过点两点，则，又，联立解得：则圆的方程为；（2）解：当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线得距离弦长符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，∵，∴圆心到直线的距离为，解得，则直线的方程为，综上，直线的方程为或21．如图，已知在▱ABCD中，与交于点，平面，，，，与平面所成角的正切值为.(1)证明：平面平面；(2)若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.(1)证明见解析；(2).【分析】（1）通过线线垂直证明平面，再由线面垂直证明面面垂直即可；（2）根据等体积法求得点到平面的距离，再求线面角的正弦值即可.【详解】（1）证明：∵平面，∴为直线与平面所成的角，又∵与平面所成角正切值为，，∴，又∵，，∴，故，又∵面，平面，∴，∵，面，∴面，而⊂平面∴平面平面；（2）由（1）得，，，又，面,可得平面，又平面，则，，则，.∵是上靠近的三等分点，由，设为点到面的距离，为点到面的距离，∴，得，∴，又△ABP中，，，，∴，得，∴.设直线与平面所成角为，∴.故直线与平面所成角的正弦值为.22．已知圆C：，点P是直线上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.(1)若P的坐标为，求过点P的切线方程；(2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；(3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）.(1)或(2)是，(3)【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到