2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高二年级下册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省无锡市太湖高二下学期期中数学试题一、单选题1．函数，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3D【分析】先求出导数，再计算即可.【详解】，则.故选：D.2．已知随机变量X满足，，则（

）A．， B．，C．， D．，C【分析】根据期望和方差公式，即可判断选项.【详解】，得，，.故选：C3．年初，某市因新冠疫情面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国各地志愿者纷纷驰援.现有名医生志愿者需要分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去人），则分配方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种B【分析】设两家医院分别为甲医院与乙医院，对甲医院分配的人数进行讨论，结合分组计数原理可得结果.【详解】设两家医院分别为甲医院与乙医院，则甲医院分配的人数可以为或或，因此，不同的分配方法种数为种.故选：B.4．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（

）A． B． C． D．D【分析】利用条件概率计算公式即可求解.【详解】设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B，则，，所以．故选：D.5．(，且)的展开式中的系数为（

）A．150 B．165 C．120 D．180B【分析】首先写出含的系数，再利用组合数的性质，即可求解.【详解】展开式中含的系数是.故选：B6．若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（

）A． B． C． D．C【分析】利用导数求出与直线平行的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求解．【详解】解：设与直线平行的直线与曲线切于，由定义域为，得，则，由，解得（舍去负值）．，则点到直线的最小距离是．故选：C．7．有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球.这6个球手感上不可区别.今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为（

）A． B． C． D．A【分析】设A1＝“从甲袋放入乙袋的是白球”，A2＝“从甲袋放入乙袋的是红球”，B＝“从乙袋中任取一球是红球”，利用求解即可.【详解】设A1＝“从甲袋放入乙袋的是白球”，A2＝“从甲袋放入乙袋的是红球”，B＝“从乙袋中任取一球是红球”；.故选：A8．已知函数，，若存在使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．B【分析】由可得，其中，利用导数求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】由可得，可得，其中，构造函数，其中，则，当时，，，此时，当时，，，此时，所以，函数的减区间为，增区间为，则，所以，，即.故选：B.二、多选题9．已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（

）A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极大值C．函数在处取得极小值 D．函数只有一个极值点BD【分析】由图象得出函数的单调性以及极值.【详解】由导函数的图象可知，当时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在出取得极大值.故选：BD10．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（

）附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则.A．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲B．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近C．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587D．若，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174BC【分析】根据正态曲线的对称轴，以及正态曲线的性质，结合，即可判断选项.【详解】A.甲同学的平均成绩是75，乙同学的平均成绩是85，，故A错误；B.甲同学的图象“瘦高”，乙同学的图象“矮胖”，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故B正确；C.，故C正确；D.，故D错误.故选：BC11．在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．各项系数和为1 B．第2项的系数为80 C．二项式系数和为32 D．没有常数项ACD【分析】由的展开项的通项逐一判断即可.【详解】的展开项的通项为令，则各项系数和为，故A正确；，故B错误；二项式系数和为，故C正确；因为，所以没有常数项，故D错误；故选：ACD12．对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得最小值 B．C．有两个不同的零点 D．对任，函数有三个零点ABD【分析】对于A：求导求单调性即可判断；对于B：根据函数在单调递减，所以，即可判断；对于C：令即可判断；对于D：易知不论为何值，必为一个零点，只需判断当时，有两个零点即可，求导求单调性，再数形结合即可判断.【详解】根据题意，，令，解得；令，解得和；所以函数在单调递增，在和单调递减；所以函数的极小值为，极大值为；对于A：当时，，当时，恒成立，所以函数的极小值即为函数的最小值，所以在处取得最小值，故A正确；对于B：因为函数在单调递减，所以，即，即所以，故B正确；对于C：因为恒成立，所以令，即，解得，故函数只有一个零点，故C不正确；对于D：令，即在有三个零点，易知不论为何值，必为其中一个零点，所以在时，只需有两个零点即可，令，即函数与有两个不同交点即可，，令，解得，令，解得或，所以在单调递增，在和单调递减，所以函数的极大值也是最大值为：，画出图像如下图所示：由图可知，当时，函数与有两个不同交点，综上可知，对任，函数有三个零点，故D正确.故选：ABD.函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知随机变量，若，则=___________.2【分析】根据正态分布的性质可求的值.【详解】因为，故，故2.14．现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品的概率为_________.【分析】从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品包括一件瑕疵品一件合格品、两件瑕疵品两种情况，分别求出概率可得答案.【详解】从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品的概率为，故答案为.15．除以9的余数为_________.6【分析】首先原式变形为，再利用二项展开式，计算余数.【详解】所以除以9的余数为.故四、双空题16．已知函数，则函数的最大值为_________；若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为____________.

【分析】①直接求导确定单调性，即可求出最大值；②先因式分解得到或，由函数图像得有两个不同的解，解不等式即可求出t的取值范围.【详解】①定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减，故是函数的极大值也是最大值；②当时，，当时，，当时，，由即，解得或，显然只有一个解，所以方程有两个不同的解，所以，解得，故t的取值范围为.故；.五、解答题17．现有大小相同的8只球，其中2只不同的红球，3只不同的白球，3只不同的黑球.(1)将这8只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？(2)将这8只球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？(3)现取4只球，各种颜色的球都必须取到，共有多少种方法？(最后答案用数字作答)(1)432(2)2880(3)45【分析】（1）利用捆绑法可求不同排列的总数.（2）利用插空法可求不同排列的总数.（3）根据有两球同色分类后可求不同排列的总数.【详解】(1)把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色的排法有，2只不同的红球的排列有，3只不同的白球的排列有，3只不同的黑球的排列有，故不同的排列的总数为.(2)先把除黑球外的5只球全排列，共有种，再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空挡，有种，故共有.(3)取4只球，若各种颜色的球都必须取到，则必有一种颜色取两个球，其余颜色各取一个，故不同的取法总数为.18．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知，___________.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中所有的有理项.(1)和(2)，，【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.【详解】(1)二项展开式的通项公式为：.若选①，则由题得，∴，即，解得或(舍去)，∴.若选②，则由题得，∴，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，，.(2)由（1）可得二项展开式的通项公式为：.当即时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:，，.19．某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求和．（1）分布列见解析；（2）；（3）；．【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，即可得答案.（2）先求得甲、乙都不被选中的概率，进而可得答案.（3）男生甲被选中，再从其他5人中选取2人，即可求得，男生甲和女生乙同时被选中，再从其他4人中选取1人，即可求得，代入条件概率公式，即可得答案.【详解】【解】（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得，，．的分布列为012P（2）设“甲、乙都不被选中”为事件，则；所求概率为；（3）；．．20．已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；（2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围.（1）2（2）【分析】（1）对函数求导，令，即可求得的值；（2）由题可知，在上恒成立，参变分离，利用导数求最值即可求解.【详解】（1）由题可知，则，解得．（2）∵在上是减函数，∴对恒成立，所以，令，则由得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故只需故的取值范围是．关键点点睛：函数在定义域上单调递减转化为函数导数在上小于等于零恒成立，采用了参变分离法，再构造函数，利用导数求出新函数的最值，其中转化的思想，参变量分离的方法，是解题的关键，属于中档题．21．小明和小亮是两名篮球运动爱好者，根据统计数据，他们进行投篮练习时，小明投篮成功的概率为，小亮投篮成功的概率为，每次投篮成功与否相互独立.(1)小明单独进行投篮练习，一旦投篮成功便停止，求停止时，投篮次数不超过3次的概率；(2)小明和小亮两人同时进行投篮练习，规定每人都投篮2次，记他们总共投篮成功的次数之和为X，求X的分布列及数学期望.(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据题意由互斥事件的概率公式求解即可，（2）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后求对应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望【详解】(1)记“投篮次数不超过3次”为事件A，由题知∴小明停止时，投篮次数不超过3次的概率为.(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，4X的分布列如下表所示X01234P22．已知函数.(1)若在处有极值，求实数的值；(2)当时，求函数在区间上的最大值；(3)当时，证明.(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由已知可得出，求出的值，然后利用极值点的定义检验即可得解；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，可求得函数在上的最大值；（3）分析可知所证不等式为，利用导数求出函数的最小值大于零，即可证得结论成立.【详解】(1)解：由题知的定义域为，,若在处有极值，则，得，检验，此时，列表如下：增极大值减此时函数在处取得极大值，合乎题意，所以，.(2)解：当时，由，可得.①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，函数在上单调递减，则；②当时，即当时，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减