2021-2022学年天津市蓟州区、宁河区芦台等五校高二年级下册学期期中联考数学试题【含答案】

2021-2022学年天津市蓟州区、宁河区芦台等五校高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．B【分析】求得函数的导数，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，曲线，可得，则，即曲线在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线方程为，即.故选：B.2．若函数，则f（x）的单调递增区间为（）A．（0，3） B．（-∞，-1）和（3，+∞）C．（3，+∞） D．（-1，0）C【分析】对函数求导，进而令，最后求出答案.【详解】由题意，，令，即函数的增区间为.故选：C.3．函数在处有极值为，则的值为（

）A． B．C． D．B【分析】根据函数在处有极值为，由，求解.【详解】因为函数，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故选：B4．若的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则（）A．33 B．31 C．-33 D．-31A【分析】根据二项式系数和的性质求得，令，求得各项系数和为，即可求解.【详解】由的展开式中的二项式系数和为，可得，令，可得各项系数和为，所以.故选：A.5．某科技小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加比赛，其中至少有一名女生的选法共有（）A．9种 B．12种 C．14种 D．20种C【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案.【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有种，再选3名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种当有二名女生入选时，选选2名女生，有种，再选2名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为14.故选：C6．如图，有、、、四块区域需要植入花卉，现有种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（）A．种 B．种 C．种 D．种D【分析】依次考虑、、、区域，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的檀入方法共有种.故选：D.7．已知定义在R上的可导函数的导函数为f（x），满足，且，则不等式的解集为（）A．（—∞，0） B．（—∞，1）C．（1，+∞） D．（0，+∞）D【分析】首先设函数，利用导数判断函数的单调性，不等式等价于，利用函数的单调性，即可求解.【详解】设，，所以函数单调递减，且，不等式，所以.故选：D8．已知函数，若函数至少有两个零点，则k的取值范围是（）A． B．C． D．C【分析】参变分离后转化为函数图象交点问题，数形结合求解【详解】，得，令，由题意得与图象至少有两个交点，，当时，，当或时，，在和上单调递减，在上单调递增，，作出的大致图象，数形结合可得，故选：C9．已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（）A． B．[，4]C． D．B【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：的导函数为，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，由题意，得，，可得，解得．故选：B.二、填空题10．的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是.故答案为.本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11．若函数在区间内存在极小值，则的取值范围是___________.【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，则，令可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的极小值点为，由题意可得，解得.故答案为.12．已知函数的导数，且满足，则______.2【分析】求导后由赋值法求解【详解】由题意得，则，故，．故213．若函数单调递减，则a的取值范围是_____.【分析】根据导数和函数单调性的关系，可知，，再转化为求函数的最值，即可求的取值范围.【详解】由条件可知，，即，，，当时，等号成立，所以的最小值时，即.故14．用0，1，2，3，4五个数字，可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是_____.（用数字作答）36【分析】根据分步计数原理，结合排列数公式，即可求解.【详解】个位有2种方法，首位有3种方法，中间2位有种方法，所以共有个.故3615．若，不等式恒成立，则的最大值为_____.【分析】先设，对其求导，求出其最小值为，得到，再令，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果.【详解】设，则，因为，所以当时，，则函数单调递减；当时，，则函数单调递增；所以，则，令，则；由可得，；所以当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减；所以，即的最大值为.故三、解答题16．已知函数，曲线在点处的切线方程为(1)求a，b的值；(2)求在上的最大值和最小值.(1)(2)最大值为13，最小值为.【分析】（1）由导数的几何意义列方程组求解（2）由导数分析单调性后求解【详解】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得∴，即，又由得，，而由切线的斜率可知∴，即，由，解得(2)由（1）知，令，得或，当x变化时，，的变化情况如下表：x200＋13单调递减单调递增13∴最大值为13，最小值为17．已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：(1)求的值；(2)求展开式中的系数；(3)计算式子的值.(1)(2)(3)【分析】（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于的等式，即可解得的值；（2）写出展开式通项，令的指数为，求出的值，代入通项后即可得解；（3）在二项式中令可求得所求代数式的值.【详解】(1)解：由题意可得，解得.(2)解：的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的系数为.(3)解：令可得.18．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.(1)60(2)480(3)180(4)180(5)210【分析】（1）有特殊要求的元素（或位置）优先考虑（2）有特殊要求的元素（或位置）优先考虑（3）元素相邻用捆绑法（4）元素不相邻用插空法（5）按甲跑第四棒和甲不跑第四棒分类【详解】(1)先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为(2)先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为(3)先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为(4)从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为(5)第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒则方法数为19．已知函数(1)若，求函数的极值；(2)当时，在（1，∞）上恒成立，求实数m的取值范围；(3)当时，若函数在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.(1)极小值为4-8ln2，无极大值.(2)(3).【分析】（1）由，得到，通过讨论的单调性，即可得到函数f（x）的极值；（2）由，由在（上恒成立，得到，即在上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数的取值范围；（3）当时，易得函数的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】(1)函数的定义域为（+∞），当时，，解得，20单调递减单调递增所以的极小值为，无极大值(2)由，得在（1，+∞）上恒成立令，则..当时，，当时，所以，在为单调递减，在为单调递增..所以，所以(3)当时，可得函数函数h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点等价于与函数t有两个不同的交点..当时，递减：当时，，t（x）递增.由.要使与函数有两个不同的交点，则关键点睛：解题的关键在于利用导数研究函数的极值和函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，（1）的关键是讨论其函数的单调性，即可得到该函数的极值；（2）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题；（3）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于的不等式组．20．已知函数(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；(2)当时，讨论f（x）的单调性；(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证.(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）对函数求导，进而根据导数的几何意义求出答案；（2）先得到导函数，进而讨论的零点分布，然后求出答案；（3）根据题意可以得到存在两个互异的正实数根，然后通过根据根与系数的关系得到，则有，进而可以得到，然后探讨函数的最值，最后证明问题.【详解】(1)若，则，所以，又，所以，即f（x）在点（1，0）处的切线斜率为2，所以切线方程为.(2)f（x）的定义域为（0，+∞），，设，其.①当时，即时，，即，此时f（x）在（0，+∞）为单调递增函数.②当时，