【班海精品课件】北师大版（新）八年级下-1.1等腰三角形 第四课时

1.等腰三角形第4课时一键发布配套作业&AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入等边三角形有哪些性质？复习回顾班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)情景导入归纳等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．新课精讲探索新知1知识点等边三角形的判定一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.探索新知总

结定理三个角都相等的三角形是等边三角形.定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.探索新知1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．2．应用注意事项：判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法．探索新知如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形．例1导引：从题中条件看，利用三角形的外角性质易求∠OEF＝∠OFE＝60°，从而证明△OEF是等边三角形．探索新知∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.∴△OEF是等边三角形．证明：探索新知总

结证明一个三角形是等边三角形的方法：(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．典题精讲等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(

)A．有一个内角是60°B．有一个外角是120°C．有两个角相等D．腰与底边相等C典题精讲2如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(

)A．2个B．3个C．4个D．5个D典题精讲下列三角形：

①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(

)A．①②③

B．①②④C．①③

D．①②③④D典题精讲4如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(

)A．1个

B．2个C．3个D．3个以上D探索新知2知识点含30°角的直角三角形的性质做一做用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.探索新知归纳定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.探索新知已知：如图(1)，

△ABC是直角三角形，∠C

＝90°，∠A＝30°求证：BC＝AB.ABC(1)探索新知证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.∵∠ACB

＝90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∴AC

＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）.∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）∴

BC＝

BD＝

AB.ABC(2)D探索新知性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，

那么它所对的直角边等于斜边的一半．要点精析：(1)适用条件——含30°角的直角三角形，(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系．探索新知求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求证：CD＝AB例2

ABCD探索新知在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°

∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝

AC(在直角三角形中，如果一个锐角等

于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).∴CD=AB.证明：探索新知例3

如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．导引：(1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．探索新知(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.解：探索新知总

结利用含30°角的直角三角形的性质，关键要有两个要素：一是含30°的角；二是直角三角形．

根据这两个要素可建立直角三角形中斜边与直角边之间

的关系．典题精讲1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长.因为CD是△ABC的高，所以∠BDC＝90°.又因为∠B＝60°，所以∠BCD＝30°.所以BC＝2BD＝2.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°.所以AB＝2BC＝4.所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.解：ABCD典题精讲如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(

)A．6

B．

C．

D．12A典题精讲3如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(

)A．BD＝CDB．BD＝2CDC．BD＝3CDD．BD＝4CDB典题精讲如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(

)A．3cmB．4cmC．5cmD．6cmC4易错提醒已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(

)A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形

D．等边三角形易错点：对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法不理解导致出错D易错提醒如图，连接PO.∵点P1与P关于OB对称，∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.∴△OP1P2为等边三角形．易错提醒本题易错的原因：(1)不会利用轴对称的性质证明OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°；(2)不会用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法．学以致用小试牛刀1

如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为(

)A．34cm

B．32cmC．30cmD．28cmC小试牛刀如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(

)A．3mB．4mC．5mD．6B2小试牛刀已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(

)A．3B．4C．8D．9C3小试牛刀4如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC的中点．(1)求∠CAE的度数；(2)求证：△ADE是等边三角形．小试牛刀∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝

×(180°－120°)＝30°.∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠CAE＝120°－30°＝90°.(1)解：小试牛刀∵∠CAE＝90°，∠C＝30°，∴AE＝

EC.又∵D为EC的中点，∴ED＝

EC.∴AE＝ED.又∵∠AED＝∠B＋∠BAE＝30°＋30°＝60°，∴△ADE是等边三角形．(2)证明：小试牛刀5如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．4小试牛刀(2)如图，过点D作DE⊥BC于E，易得△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝60°.∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DE＝

CD＝2.∴CE＝2∵BC＝3∴BE＝

在Rt△BDE中，DB＝解：小试牛刀6如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1.(1)求证：BE＝AD；(2)求AD的长．小试牛刀∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.∴BE＝AD.(1)证明：小试牛刀由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD

＝∠BAC＝60°.又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.∴AD＝7.(2)解：小试牛刀7问题背景：如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．小试牛刀类比探究如图②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD