2020高中数学 第1章 常用逻辑用语 4 4. 逻辑联结词“非”学案 2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精4.3逻辑联结词“非”学习目标:1。理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“p”命题．(重点、难点)eq\a\vs4\al(2。）了解逻辑联结词“且”“或”“非"的初步应用．(重点)eq\a\vs4\al（3.）理解命题的否定与否命题的区别．（易混点）“非”（1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题,记作p，读作非p．（2)命题p的真假判定pp真假假真思考:在日常生活中“非”的含义是什么？从集合角度如何理解？［提示]“非"的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定"“问题的反面”等抽象而来的，即与之相反的意思．从集合角度理解“非”即集合运算“补"．设命题p：x∈A(A⊆U）,则p⇔xA⇔x∈（∁UA)．1.判断正误（1)命题p是真命题，则p可能是真命题． （)（2）“x＞0"的否定是“x〈0”。 （)（3)命题“若A，则B”的否定为“若A,则B”. （)［答案］(1)×(2）×(3)√2．命题p:“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是(）A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根C[命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．］3．若p是真命题，q是假命题，则()A．p且q是真命题 B．p或q是假命题C．p是真命题 D．q是真命题D［根据“且"“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．]4．已知命题p:6＋7＝13,则该命题的否定是p：________，其为________命题．（填“真”或“假”）［答案]6＋7≠13假命题的否定[探究问题］1．已知命题p：平行四边形的对角线相等,分别写出命题p的否命题和命题p的否定,并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别?[提示］命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定:平行四边形的对角线不相等．“否命题”与命题的“否定”的区别:对命题的否定(即非p）只是否定命题的结论，而否命题（“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．2．“p或q”、“p且q"的否定是什么？[提示]“p或q”的否定是“p且q”;“p且q”的否定是“p或q”．【例1】写出下列命题的否定形式．（1)面积相等的三角形都是全等三角形；（2）若m2＋n2＝0，则实数m,n全为零；（3）若xy＝0,则x＝0或y＝0。[思路探究]（1）“都是”的否定“不都是”;（2)“全"的否定“不全是”;（3）“或"的否定“且"。[解]（1)面积相等的三角形不都是全等三角形．（2）若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．（3)若xy＝0，则x≠0且y≠0。p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都"的否定是“不都"“至多两个”的反面是“至少三个”“p且q"的否定是“p或q"等．(变结论）写出本例命题的否命题［解](1）面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2≠0,则实数m，n不全为零．(3）若xy≠0，则x≠0且y≠0。1．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1）p：y＝sinx是周期函数；(2)p：3＜2;(3)p：空集是集合A的子集;（4)p：5不是75的约数．［解］(1)p：y＝sinx不是周期函数．命题p是真命题，p是假命题;(2）p：3≥2.命题p是假命题，p是真命题；（3）p：空集不是集合A的子集．命题p是真命题,p是假命题；（4)p：5是75的约数．命题p是假命题，p是真命题．含有逻辑联结词的命题的真假判断【例2】(1）已知命题p：若x>y，则－x〈－y：命题q:若x>y，则x2〉y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(q）；④(p）或q中，真命题是（)A．①③ B．①④C．②③ D．②④(2）已知命题p：对任意x∈R，总有2x〉0；q：“x〉1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是(）A．p且q B．p且qC．p且q D．p且q(1）C（2）D[(1）由不等式的性质可知，命题p是真命题,命题q为假命题，故①p且q为假命题，②p或q为真命题，③q为真命题，则p且(q)为真命题，④p为假命题，则（p)或q为假命题，所以选C。(2)依题意，命题p是真命题．由x>2⇒x〉1，而x〉1x>2,因此“x〉1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题,则q是真命题，p且q是真命题，选D。]判断含逻辑联结词的命题真假的步骤1．逐一判断命题p，q的真假；2．根据“且"“或”“非”的含义判断“p且q”“p或q”“非p”的真假；3．“p且q”为真⇔p和q同时为真；“p或q”为真⇔p和q中至少有一个为真;“非p"为真⇔p为假．2．指出下列命题的真假．(1）命题：“不等式｜x＋2|≤0没有实数解"；(2）命题：“－1是偶数或奇数”;(3）命题:“eq\r（2)属于集合Q，也属于集合R”；（4）命题：“A(A∪B)"．[解］（1)此命题为“非p"的形式，其中p：不等式｜x＋2｜≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解,所以命题p是真命题，即“非p”为假命题，所以原命题为假命题．(2)此命题为“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为命题p为假命题,q为真命题，所以“p或q”为真命题，故原命题为真命题．（3)此命题为“p且q”的形式，其中p:eq\r（2）∈Q,q：eq\r(2)∈R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q为假命题，故原命题为假命题．（4）此命题为“非p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p为真命题，所以“非p”为假命题,故原命题为假命题．命题的否定的应用【例3】已知命题p:方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根,命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1〉0的解集为R，若“p或q”与“q”同时为真命题，求实数a的取值范围．［解]命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（Δ＝4a2－4≥0,，x1＋x2〉－2,，(x1＋1）（x2＋1)〉0）)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1≥0，,－2a>－2，2－2a>0，）)，解得a≤－1。命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0。)）由于eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a>0，,Δ〈0)）⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a〉0,，a2－4a〈0，）)解得0〈a<4,所以0≤a〈4.因为“p或q”与“q”同时为真命题，即p真且q假，所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a≤－1，,a<0或a≥4，）)解得a≤－1。故实数a的取值范围是（－∞，－1]．由真值表可判断p或q、p且q、p命题的真假，反之，由p或q，p且q，p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．3．已知命题p:eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3）））≤2;q：x2－2x＋1－m2≤0(m〉0）,若p是q的充分不必要条件,求m的取值范围．[解］p：eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（1－\f(x－1,3)））≤2，∴eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（4－x，3))）≤2,∴－2≤x≤10；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0),∴［x－（1－m）][x－(1＋m）］≤0（m>0)，∴1－m≤x≤1＋m(m>0）．∵p是q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,，1＋m≤10,））∴m≤3。∴m的取值范围是（0，3］。1．对于p：x∈A∩B，则p()A．x∈A且xB B．xA或x∈BC．xA或xB D．x∈A∪BC[p等价于x∈A且x∈B，所以p为xA或xB。］2．若命题“p”与命题“p或q”都是真命题，那么(）A．命题p与命题q的真假相同B．命题p一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题q一定是真命题D[由于p是真命题，所以p是假命题，由于命题p或q一真则真,所以命题q一定是真命题，故选D。］3．命题p:“相似三角形的面积相等”，则p为________，否命题为________．相似三角形的面积不相等若三角形不相似，则它们的面积不相等[p只否定命题的结论，而否命题则是命题的条件、结论都否定．］4．已知p：函数f(x）＝x2＋2(a－1）x＋2在区间(－∞，4］上是减函数，若p是假命题，则a的取值范围是________．(－∞，－3]［∵p为假，则p为真，即函数在（－∞，4］上为减函数，∴－（a－1）≥4，即a≤－3，∴a