静定结构的位移计算2

第二部分静定结构的位移计算

第七章静定结构的位移计算

虚功原理是结构力学的一个重要原理，应用广泛。1、计算结构处于平衡状态时的内力和反力；2、计算结构在变形状态下的位移。什么叫位移?第一节概述

结构在外因作用下变形或位移后，某一横截面产生的相对其初始状态的位置改变。位移是矢量，可分解为三个位移分量，即两个线位移（一般常考虑水平位移和竖向位移），一个转角位移（简称角位移）。

位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为：

（1）绝对位移（2）相对位移

指结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。

绝对位移指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。

相对位移(a)(b)研究结构位位移计算的的目的(1)验算结构的的刚度，使使结构的变变形（一般般由结构上上的最大位位移控制））限制在允允许的范围围内。(2)为超静定结结构的内力力分析打基基础。即位位移条件的的建立和使使用。结构位移计计算的假定定(1)应力应变符符合线性关关系(2)结构的变形形很小，不不影响荷载载的作用位位置和方向向(3)忽略杆端轴轴力由于杆杆弯曲引起起的弯矩(4)理想铰接满足以上条条件的称为为线性变形形体系第二节刚刚体的虚功功原理及应应用1.虚功的概念念功——力与其在力力方向上的的位移的乘乘积。实功——力与位移之之间存在直直接因果关关系。虚功——力和位移之之间没有因因果关系，，即虚功的的力和位移移不相关。。力与位移移分别属于于同一体系系的两种彼彼此无关的的状态：力力状态和位位移状态（（见下页图图）。这是虚功区区别于实功功的重要特点。力状态位移状态2.刚体的虚功功原理及应应用体系的力状状态和位移移状态应满满足的条件件力状态——静力平衡条条件位移状态——变形协调条条件两种表现形形式：虚位移方程程——求内力、反反力；虚力方程——求位移。W虚外=0刚体的虚功功原理W虚外功=V虚变形功虚功原理虚位移方程程及应用实际的力状状态和虚位位移状态之之间的虚功功原理称为为虚位移原原理（虚位位移方程））虚位移方程程用于求真真实的未知知力（内力力、约束力力、支座反反力）。(a)(b)实际力状态态虚位移状态态应用虚功原原理，可得得：由于，可得：一般令可得：单位位移法法例7-2-1：求支座B的反力(a)静定结构可可利用刚体体的虚功原原理（虚位位移方程））求力分析：(1)去掉B支座链杆(2)按拟求支座座反力让机机构发生单单位虚位移移见图(b)(3)写出虚位移移方程(4)求解虚位移移方程解(b)虚力方程及及应用在体系上虚虚设的平衡衡力系，此此力系在体体系真实的的刚体位移移上所作的的总虚功等等于零虚力方程虚力方程用用以求真实实的位移(a)(b)虚力状态真实位移状状态应用虚功原原理，可得得：一般令单位荷载法法由静力平衡衡条件，可可得：在支座移动动时的位移移计算公式式(a)(b)虚力方程则所求位移移为：例7-2-2:求铰C的竖向位移移和相对转转角。(1)解：（2）按位移计算算公式计算算位移（3）计算顶铰两两侧截面的的相对转转角角位移q()相对转角位位移q结构（变形形体）的位位移计算一一般公式推推导如下(a)第三节结结构位移计计算公式(b)微段变形对对结构位移移的影响(c)(d)微段AC变形引起的的B点的位移：：结构位移计计算的一般般公式单根构件：：整个体系：：考虑荷载引引起的变形形和刚体位位移：线弹性变形形体位移计计算公式对于线弹性性体：其中，EA、GA和EI分别为杆件件的拉伸刚刚度、剪切切刚度和弯弯曲刚度，，K0为剪应力的的分布不均均匀系数，，对于矩形形截面K0＝1.2在荷载单独独作用下，，结构的位位移计算公公式(1)梁和刚架架，主要要考虑弯弯曲变形形的影响响，位移移公式：：(2)桁架，只只考虑轴轴向变形形的影响，位位移公式式：(3)组合结构构一般将将梁式杆杆和桁架架杆分别别按各自自的主要要变形考考虑，位位移计算算公式可可写成：：第四节在荷载作作用下静静定结构构的位移计计算例7-4-1(a)(1)D结点的竖竖向位移移(2)CD杆的转角角位移已知各杆杆EA相等，并并为常数数。求：解（1）求D结点的竖竖向位移移DDV1）计算(b)图（kN）2）计算(c)图（kN）3）计算DDV（2）求CD杆的转角角位移q()(d)图（1/m）例7-4-2求B结点的水水平位移移(a)解(b)(c)（1）（2）两种状态态下任意意截面的弯弯矩函数数AB杆：BC杆：（3）总结：广广义位移移对应的的广义力力1）求结构构上的某某点在指指定方向向上的线线位移，，可在该该点上施加指定定方向的的单位力力；2）求结构构某截面面的转角角，可在在该截面面上施加加单位力力偶，由由于桁架架杆只能能有结点点力，因因此可在在桁架杆杆的两端端施加一一对大小小相等，，方向相相反且垂垂直杆轴轴的集中中力，大大小为1/d，其中d为杆的长长度；3）求结构构AB两点的相相对线位位移，可可在AB的连线上上施加方方向相反反的单位位力；4）求结构构在切口口处的相相对线位位移，可可在切口口处施加加两个方方向相反反的单位位力；5）求结构构两个截截面的相相对角位位移，可可在结构构的截面面处施加加一对方方向相反反的单位位力偶，，如果待待求的是是两根桁桁架杆的的相对角角位移，，则可在在桁架杆杆施加一一对方向向相反的的单位力力偶，即即在每根根杆的两两端施加加一对大大小相等等，方向向相反且且垂直杆杆轴的集集中力，，大小为为1/d，其中d为该杆的的长度。。第五节图图乘法法图乘公式式代替积积分公式式(a)图乘公式式的应用用条件(1)结构上各各杆均为为等截面面直杆，，即，各各杆EI分别或分分段为常常数；(2)竖标必须须取自直直线弯矩矩图形;(3)另一弯矩矩图的面面积A和面积形形心易求求得。(b)例7-5-1(a)返回求：简支支梁B端截面的的角位移移和梁中中点C处的竖向向位移。。已知梁的的EI值为常数数。解1)求梁B端的角位位移q(1)作荷载作作用下梁的弯矩矩图(3)由图乘公公式计算位移移q(2)作虚单位位力偶作用下的的弯矩图图（）2)求梁中点点C的竖向位位移DCV(1)作荷载作作用下梁的弯矩图图(2)作虚单位力力作用下的弯弯矩图(3)由图乘公式式计算位移DCV例7-5-2：求B点的竖向位位移(a)解图见图(a)、(b)。作(a)(b)(c)(d)或者：例7-5-3求所示刚架架B点的水平位位移DBH(a)图(c)图(b)(d)图例7-5-4A,B两端点的相相对竖向位位移DAB(a)求:图(b)图(c)或温度改变时时静定结构构的位移计计算第六节静定结构受受到温度改改变的影响响时，发生生满足约束束允许的变变形和位移移，但为零零内力状态态。设温度沿截截面高度h以直线传递递，见图（（a），则截面面上材料的的应变沿高高度也呈线线性变化。。因此，杆杆件由于温温度改变变变形后平截截面假定仍仍然适用。。由于两个截截面之间没没有相对竖竖向位移，，因此剪切切应变为零零，轴向应变：：转角应变：：代入虚功原原理：可得：假设，温度度沿杆件全全长不变，，且截面高高度相同，，则有：注意正负号号的选取：：当虚力的变变形和温度度引起的变变形同向时时，取正号号；反之，，取负号。。与荷载引起起梁的变形形不同，温温度引起的的变形不能能忽略轴向向变形的影影响。例7-6-1图示静定刚刚架，各杆杆截面相同同，截面为为矩形，截截面高度h=60cm。设材料在温温度作用下下的线膨胀胀系数为a=0.00001。白天施工时时，室内外外温度均在在10ºC，夜间室外温温度降至-10ºC，室内温度不不变。求晚晚间悬臂端端G点相对于初初时状态（（内外均为为0ºC）的水平位位移DGH。各杆杆长均均为：L=6m。解：(b)第七节线线性变形体体的互等定定理1.功的互等定定理（基本本定理）状态1Fp1的虚功Fp2的虚功由于，可得，最终有，功的互等定理功的互等定理理线弹性体上上一组外力力在由另一一组外力引引起的相应应位移上所所作的总虚虚外力功，，等于另一一组外力在在由此外力力引起的相相应位移上上所作的总总虚外力功功。2、位移互等等定理称为位移影影响系数——每单位力引引起的位移移值。表示由于单位力时，（）（）状态1(a)引起的相应应于（）的位移值。为位移互等定定理叙述为为：，等于由在任一线弹弹性变形体体上，由力力引起的沿另另一力方向上的位位移影响系数方向上的位位移影响系系数引起的沿。位移互等定定理在任一线弹弹性变形体体上，由单单位力引起的沿单单位力方向上的位位移等于由引起的沿方向上的位位移或者：状态2(b)3、反力互等等定理状态1(a)由功的互等等原理，可可得：由于：反力互等定定理反力互等定定理叙述为为:在任一线弹弹性变形体体上，由支支座1的位移引起的另一一支座2的反力影响系数,等于由支座座2的位移引起的另一一支座1的反力影响响系数。或，在任一线弹弹性变形体体上，由引起的另一一支座2的反力等于由支座座2的单位位移移引起的支座座1的反力支座1的单位位移移状态2(b)4、反力位移移互等定理理状态1(