统计2回归与相关蓝

4回4英国人类学家F.Galton首次在《自然遗传》 计学家KarlPearson对上千个家庭的儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸）性关系：ˆ33.730.516X也即高个子父代的子代在成年之后的身高平于其父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定“回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统计学术语，相关并且衍生出“回归方程”“回归系数”等统计学概念。如研究 人血糖与其胰岛素水平的关系，研究儿童与体重的关系等。即便具有相同的体重，肺活量也不一定相同YY

X女大学生体重(X)与肺活量(Y)的散点图 即便具有相同的2岁身高，成年后的身高也不一定相同 X2岁身高X与成年后身高Y的散点2岁身高影响成年的身高，但并非确定地决定它(determineitexactly)；宏观上来讲，他们呈直线关系，但并不能YabX函数式（例如圆周长与半径：y=2πr）来描述。ˆabX“hat”表示估计值，给定x时y的条件均数函数关系：确定。例如圆周长与半径：y=2πr回归关系：不确定。例如血压和 的关系，称为直线回归(linearregression)。依存关系：应变量(dependentvariable)Y化 ——回归分互依关系：应变量Y与自变量X ˆa Y(dependentvariable,response (independentvariable,explanatory条件：Y是服从正态分布的 ˆaa：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。：斜率(slope)，回归系数(regressioncoefficient)。b>0，Y随X的增大而增大（减少而减少）——斜上；b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）——斜下； ——水平条件：Y随量，总体为正态分布

ˆaYX

例7-1某地方病 12345678X7:只有一个自变量，称简单回归（simpleregression）； :

3.6尿肌酐含量尿肌酐含量3.23.02.82.62.44.0 6.0 8.0 10.0（）

12.0 14.0图9-18名儿童 与其尿肌酐含量的散点X squaremethod)：使各散点到直线的 Yˆ2最小。 Q(Yˆ)

(Yˆ)2YabX b(XX)(YY)XYXY/n(XXaYb

1 123946586787

232.617623.87/764762/5.8450回归方程：ˆ

XX/n76/8YY/n23.87/8aY①由于抽样误差引起，总体回归系数②存在回归关系，总体回归系数β②tY总情况(YY

ˆ ˆY)回归部Y (YY)(Yˆ)ˆYˆ)(ˆ所以有(YY)2(Yˆ)2(YˆY即SSSSSS＝剩＋2SS总＝(YY)，Y的离均差平方和(totalsumof2未考虑X与Y的回归关系时的总变异。υ=n-SS＝(Yˆ )为剩余平方和(residualsumof对Y法用解释的部分。SS剩越小，回归效果越好。υ=n- 为回归平方和(regressionsumof，由于X与的直线关系而使变异减小的部分,即总变异中，FSS回/回MS回SS残/ MS1残nYˆ2YYSSSSSS回SS

2ˆY

b2l

ˆ

X

Y

Y(5)=(3)-(4)

(Yˆ)2 - - - - ˆ

计算

12123946586787 /842

Y2(Y)2/相关系 公1，nH0：1，nH1：β≠0，即尿肌酐含量 之间有直线关

FSS/回MS

0.8134

SS回

SS残/ MS SS残=SS总－SS回

回 残nFP7 1 6v1=1;ν2=6,查F界值表,得P<0.01.按 H0接受H1可以认为两者有直线关公 t

bbSbb

SY. SY.XXXXn n

过H0：β=0 前面已计算过n=8，SS残 SS

0.23280.1970,Y.

n 8 SY.

0.19700.0304, 42tb00.13924.579,Sb 0.0304 H0…注意 F SpssSpss.139t检Spss结0.1392ˆ0.1392ˆTheinterceptisaTheinterceptisa=No直线回归方程的区间估(一)总体回归系数的区间估（b-t/2(n-2)Sb,b+t/2(n-2)Sb）简记为bt/2(n-(0.1392－2.447×0.0304，＝(0.0648，(二)总体均数µ的区间估(三 Y值的容许区 Y|X的区间估

本例： 时ˆˆ1.66170.13921.66170.1392(3.3321－2.447×0.1031， Y缩写本例： =12时值的95％容许区间，9595％uX|Y的可信区间 容许区尿肌尿肌酐含量（

可信区

（）

图9-3总体均数的可信区间和 ˆ 控 回 变量间的依存关相 变量间的互依关直线相关(linearcorrelation)简单相关(simplecorrelation)，用于双变量正态分布资料。图

、Y同时增减---正相关（positivecorrelation)；、Y此增彼减---负相关(negativecorrelation) 、Y变化趋势相同----相关系数示意 反向变化 、Y变化互不影 相关(zerocorrelation)图 相关系数示意相关系数(correlationcoefficient)，又称积差相关系数（coefficientofproduct–momentcorrelation），或Pearson相关系数（软件中常说明相关的密切程度和方向的指标r——相关系数的意XXYY XYY

lXXlXXlYYr无单位，-1r≤1。r——为负——（与回归系数的符号相同|r|=1---完全相关，|r|=0---零相关。x,y相关系数的计对例 的相关关由例9-1算得，r lXY lXX

5.845

0.8818r≠0rr1rr1rnSr

n=8,t

0.8818

4.579,n21r 10.88182n 8P<0.05,按0.05水 H0,接受可以认为两者成直线关必须将r转为或 公式tanh为双曲线正切函数tanh-1为双曲线反正切函数，r的取值范围为-1<r<1，Z取值范围-∞＜Z＜+∞。按正态） (1z＝tanh-1

2ln(1z的95％可信区间为1.3838±1.96/8 =(0.5073,3.2749)e2z

上限tanhz＝tanh0.5073=e2

tanh

e2z1

1下 e2z

总体相关系数95％可信区间为公式l /

l R

lXX SS取值0到1之 MS回F 回

，1，

n

SS/残MS

②X、Y服从双变量正态分 回归— 由一个变量值推算另一个变量相关——假设检验等