导数数列结合

林老师网络编辑整理导数数列结合L设fM=色鬻，曲线y=f(x)在点处的切线与直线2x+y+1=0垂直.(1)求口的值；(2)若VMW+8)『f(x)&ni(k-1)恒成立卜求加的范国工(3)求由e⑵n<£[]Wr曰6叶).2.已知函数/J)=s++(q>0)的图象在点(1/(1))处的切线方程为y=*-L(I)用口表示出b,c；(2)若f(x)>Inx在［1,+8)H"：成立.求口的取值范胤(3)证明：工+-+—b…H—Aln(n+1)4^ (7121)«z3 .JPeh2fji平1)林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理知函数rO)=ln(l+ /-了®>0).(1)若汽幻>0对比6(。,+co)都成立T求a的取值范围:<2)已知e为自然对数的底数，证明士Vn£中,加<(1+J)I1+…(1+白)证明士Vn£中.已知函数f(x)=qjt+xlnxfa€R).(1)若函数/(外在区间回+8)上为增函数，求Q的取值范围：(2)若函数汽幻的图象在点#=e■为自然对数的底数)处的切线斜率为"且上£7时，不等式AG-l)V/(外在工E(1,+b)上恒成立，求A的最大值；(3)当之4时，证明：(mn11)"1>(nmm)n.林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理.已知函数f(x)=\nx—ax2+(2—d)x.Cl)若函数f(x)在U+8)上为减函数，求0的取值范［札(2)当口=1时,g(度)=%*-2犬+b,当兰毛停司时,f(M)与9(幻有两个交点，求实数b的取值范围：(3)证明工.+,+£+,+*”+ >ln(n+1)(VnEN")..已知函数r(x)=工一g-Hu#.(I)若fG)无极值点，求。的取值范围,<2)设9(H)=*+：-(Inx)工当。取(1)中的最Kffi时,求g(x)的最小值；⑶证明不等式：£着面息林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理.设函数/(x)=七-Mn(l+尤)，g(x)=in(l+x)-bxt(1)若函数f(x)在*=0处有极值，求函数/伏)的最大值.(2)①是否存在实数乩使得关于工的不等式或均<0在(0,+8)上植成立?若存在，求出5的取值范围：若不存在，说明理由.②证明：-1<£忆1号一1融E>〃=123).达已知函数人力=：必+口炉一由工+1GER，n,b为实数)有极值，旦I在H二1处附切线与直线+1=。平行.<1)求实数。的取值范围：<2)是哲存任实数曲使得函数/G)的梗小值为1,若存在.求出实数口的值：若不存在，请说平整曲<3)设函数孤幻=""’21马；试判断函立g(x)在(1,+»)上的将号，井证明；Im+Xl+JMEZASWN)林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理9,己却困数r(x)=ln(铲十口)(口为常数)是实数集R上的奇函数.(1)求实数Q的值：(2)讨论关rx的方程Inx=fW(x2-2ex+m)的根的个数:(3)3E明2出’+鹭;')+…+也匕5“<2:天;：(兀WN1.32).10.已知函数/(》)=—上七xeR,(1)若k=小试确定函数/①)的单调区间：(2)若Aa(L且对于任意hWR,/。川)>0恒成立.试确定实数k的取值范围；(3)设函数尸(乃=/(幻+汽一口，求证：F(1)F(2)-F(n)>(铲x+2^(nEN)林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理1L设函数/=/+排口（工+1）,其中5*0.cn当心》;时，判断函数rco在定义域上的单调性:（2）求函数/（五）的极值点：（3）证明时任意的正壑数小不等式1口（；+1）＞*—3部成立.林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理参考答案，仅供参考I.林老师网络编辑整理参考答案，仅供参考I.⑴(#：口+Inx)(m+1)—(x+a)lnx由题设r（i）=%由题设r（i）=%一=£■■£(x+1)工p所以1+。=1,a=0./•gM在（0,+8）/•gM在（0,+8）上单调递减，，9（幻£g（1）=0，即不等式成立.当0<m<g时,方程-md+i-其根m=Gt1―工1二-2^—皿二1+也一4mz2m〉L(2)，(刀)=答.Vxe(h+<»),f(x)<m(x-1),即luxMm(m-})设9(.x)—Inx-m—：)♦即tfxe(1,+8)/(%)<0,j?l(X)=;-nt(l+l)="m^r-W,①若m<0t则g*(x)>0,g(#)>g⑴=0.这与题设g(x)<0矛*盾:②若m>0t方程一mx2+x-m=0的判别式A=1-4m2.当AM。.即m/时.共)制打山嵬拓当工E（1超词0）>0,虱乂）单.调递增.g（x）>3（X）=0,与题设矛盾.综上所述？m>（3）由（3）由（2）知，当1时,711=工时，Im:<-(jc成立.2 2xx/不妨令A碧*EN*t所以2fc+不妨令A碧*EN*t所以2fc+1 1/2fc+12k-11。2k-1《26-1―2fc+l4A4后-i—[1”(2上+1)一】n(2A—1)]<—；——tkeN\4 4/r—1林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理累加可得(ln5-ln3)<2林老师网络编辑整理累加可得(ln5-ln3)<24x22-1口-41一—一1-14n+】)一\n{2n—1))<-ln(2n-bl)<y-^—(neN)4 乙j4产—1f=in,InWZT<y/(nEN)।4p—1r=i2.（1）由题意得『⑺=。一'则有〃（口图而中⑥矢06=0.lr（l）=a-b=l>C2)FtlCD知./W=ax^~+l-2a,令g(jc)=/(x)-In*=ax+~~+1-2a—Ixixa£［，+8),则9(1)=5故口一1 1cwr2一耳一(口一1)g㈤ 7 呼t)£一。.(I)当0〈口时，1.若［<工则g・a)<0,或外是减函数.所以g(x)<9(l)=m林老师网络编辑整理

林老师网络编辑整理即f(x)<Inx,故/(x)>Inx在[1P4-oo)上不恒成立.(ci)当。时，平EL若发>1.则g'O)>0，成汇)是增函数，所以g(x)>g(l)=0.即f(£)>Inx,故当h皂I•时，/(x)>Iruc-综上所述，所求。的取值范围为恨+8).(3)证法一*直接证明由(2)知：当。时.有/(X)>l»(x>1).令”手有fM二；(蒐一之1"(工>1).kA+1 1rfc+1mA<2[k=4(kA+1 1rfc+1mA<2[k=4(洛即ln(fc+t)-Ink<；将匕述4个不等式依次相加得1口伽+1)C2+(5"赛理得1111+/—证法二：用数学白纳法证明3)当打=1时，左边二1.右边二k]1]——F p -wne p r(k+r+J*-=1,Z,3,…门，F+f)+2(n+ir>皿"+1)+而nr-In2+|<b不等式成立.施《)>必令度=匕±也 QQ群亚619246林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理5)假设n:仪kWJtEN")时，不等式成立，就是1+*+…+卜尿"那么1i11 k11+_+_+^+_+__>加防+1)4亚旬+后7=ln(fc+l)+J^L,由(2)知士当q之g时,fW>lnx(x>I).令Q=5有/㈤=：("；)'1皿工之1)，令。搭得1/^+2Jt+lxA+2 , 、 ， 、所以 QQ群5s76192461)+2伉+1}.ln3+2)+而为’所以14*—+—+■+*+[+--->In(4+2)+ ——7.23kK4-1 2(/t+2)就是说,当门二土+1时।不等式也成立.根据(i)和(ii),可知不等式时任何riEN*都成立.林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理（1）因为/（工）=ln（l+工）+］必一箝其定义域为（一1.+8）,所以广田=白+以-1=*.①当£1=0时，『⑴=一充丁当工6（0,+8）时,f（x）<0,则/（力在区间（0.+8）上单调递减，此时，f（x）</（0）=0,不符合题意.②当0<Q<l时，令/a）=0r得必=0,血=9A0，巧，W（0,一）时.rs<o,则ra）在区间（0,?）上单调递减，此时，/m</（o）=o不符合题意.③当口=I时./'M=三.当工艺（0—8）时.fM、。・则/（X）在区间+8）上单调递增，此时/（X）>/CO）=0-符合题意.④“inAl时r令r（x）=。，律小=0.x2=<0+当h£（。,+8）时,f（x}>0,则f（x）在区间（0,+8）上单调递增，此时门»>/（0）=0,符合题意.综上所述，口的取依范困为［L+8）.林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理(2)由(1)可知，当口=。时，/(*)《()对*6(0,+8)都成立，即ln(l+k)<工对k£(0,+⑹都成立.所以加(1+*)+防(1+/+…+加(1+£)即上。玷)(1+3…。+胡修宴由于则要="如力白=1,所以1口［(1+号)。+4…(1+到<1.所以(i+/)(i+J)'',(i+£)<3由(1)明知，》工=1时，/(X)>0时工£(口,+00)都成£即x-ix2<ln(l+幻对丈E(0,+8)都成立*所以G+»*”+W)VG+5+…+5)<ln(l+占)+加(1+*)+…+】n(l+分即嗤1H卜F+呻1向1+941倒得失产<呻1+*)(1+5)•••(1+到由于nEW,则=城":?小J)(言=,所以3〈MOT)a十分,(1+3)］所以依〈aT)(i+京)产a+量,所以所十号)〈嶷林老师网络编辑整理

林老师网络编辑整理(1)因为f(x)=ax+xlnxt又函数/(力在区间由+8)上为增函数，所以当工之e时，f{x)=a+l+】nx20恒成立,所以q之(一1-Inxjg=—1-Ine=-2,即Q的取值范围为［-2.48)•(2)因为fOr)=q，+;dnx(Q6R),所以r(x)二口+10工+L人%)在点工二e(e为自然对数的底数)处的切畿斜率为北/T［e)=3»即n+Ee+l=3,所以q=L当工>1时，x-1>0,故不等式奴工-1)</(工)0A〈合，即上《瞥对任意工>1恒成立,令或幻即上《瞥对任意工>1恒成立,令或幻二x-1，则9'。)=谭^令hO)=x-hu-2(>>1),»Jh\x)=1一1=0>口=在(l,+8)•XX上单调递增，因为无⑶=1-1寓/国4般『2—1口4>0,所以存住与E(3,4)使优")=8?wli<?<X。时,h(x)<0*即0Y；Ov0・当工>如时th(x)>0i即©'(黑)>0,所以力均在(Lx。)匕单调递减，在(M.+8)上单阖递增.令状工。)=Xq—lnx0令状工。)=Xq—lnx0-2=0.即In工0二g(幻mm=gGo)=工口一14—iXq2r=孙£(3,4).所以A<g(x)〜=沏且「W“即々mx=3•(3)由(2)知，@(幻=誓是［屯+s)上的增函数,所以当n>m所以当n>m>4tR+nln.nH-1m—1.得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+n-m*因为！i>m.mnlnn+mlnm>mrAnm+nlnn,即1nHmt+lnn?m>fam""1+Inn11, >lnQn™nn>jnmnnrt, >(nmm)n.林老师网络编辑整理

林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理5.⑴因为fQ）在［L+B）上单调递减,所以f（x）W0在［1,+8）上恒成正，所以r（x）=i-2ox+（2-a）=--竽7工。在［1,+8）上恒成立，所以口之;在［1,+8）上恒成立，因为（J） =1,所以口之，（2）当口=1时1/G）=liu:-好+因为/（琦与廉》）有两个交点T所以Irw-x2+工=#一Zx+h在苏4上有两相异根.所以b=Inx-2x2+珈所以令T（x）=Inx-2xz+3心所以T'Q）=：_4h，3=—，"+?匚口,所以「（>）>0时，^<戈<1，所以丁。）在Rj）上单调递增，所以丁'（幻<0时，l<x<2.所UITQ）在（1,2）上单调递减，所以无=1处有极大值也是最大值，"1）=1，丁（目=1一出2>0,7（2）=ln2-2<0,所以1-1112〈（艾1・（3）由（1）知当口=1时，/仁）在［L+8）上单调递减.所以人工）v/a）=o当且仅当隼混需轴同球成立，即Inx<d一x在（L十co）上恒成立,令文=早）1（neN"）,所以In卓~<所以ln（n+1）—Inn<gm=l时,ln2—Ini<p-in=2n=2时，ln3-ln2<打=3时,ln4-In3<3部4式r?=n_时iInfn+1)—Inn累加可得ln(n+1)<+ + …+号(，wN)林老师网络编辑整理

林老师网络编辑整理16. (1)由题意/'(£)=1+5-;=弓11，由于/W无极值点，故/一心+1之。在(6+8)恒成立即口玉工+5xE(0,+8)恒成立.又父干工之2(墓=1取等号)‘故卜十白=2*1 '工;min所以口的取值范国是口£2.C2)当n=2,p(r)=jr+i—(Inx)2.…Ie1 "_ 1g(幻=i一7一2m广受二 飞 ,设仪幻:f-2jclruf-1.Jt(x)=卫上一21nY—2-2(工一1一加工)，下证+Jnx至Jt-1.设m(x)=Inx-k+1*mr(r)=；1=—♦r名(0,1)时.m'(H)>0.m(x)单隔递增.了c(i,+8)时.也’(x)v0T优(外单调递减，所以Wm(l)=Oi即1nx£馨一1,所以*(刈兰0,故奴©在<0,+8)单调递增.又k(l)=0,所以：“(。二)时,即。,屋鹿%骗遗即跋he(L+8)时,^(x)>0T g(x)单周递增t©(工)芭瓜1)=2.故©(菱)的最小值为2：(1)由(2)知当*>1时，r+^(liw)2>2,1+l_2》(ln工尸.(万一—>Qnx尸*/一喜>加工，取工=i启4再-扁 即瀛产4》1嗡，故21+2 2?+2 2^+2In-； bln-= F-4In———-21+1 2工+f 却十］/ 2口+/ 2口+1邛+122+1=111V21-1-1-2^+1'23-i-141:1"方不可林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理(1)由已知得产。)=焉一言，*£ 1,+8),且函数ro)在工=0处有极值.所以r(o)=』-3=o,即口=1,所以f⑺二上一卬1+6所以尸8=占一金二品・当H£(―1⑼时，r(x)>0,当he。+8)时，尸㈤<o■糙单调域最所以函数r伏)的最大值为。())=上(2)①由已知得©(动的定义域为(-L+8),才(公工士」瓦(i)若人21.则工E|0,+8)时，式工〕=占一8Eo,所以gCO=ln(l+x)-£»r (0,+s)上为减函数，所以g(x)—ln(l+m)i卜工<g(0)=0在(0,+8)上恒成立.(ii)若由V0,则xE[0,+8)时.g'M=士一b>0.所以式工)=ln(l+工)-br把[0,48)上为增函数.所以gCO=ln(l+x)—bx>g(0)=0,不能使j(x)<0在｛0,十《0上恒成立.(iii)若0<b<l*则g*Cr)=±-6=0时，b当工£[03一1)时.5'(r)>0t所以g(x)=ln(l+幻-b工在［。3―1)上为增函数，此时，g(jf)=ln(l+k)—bx>g(0)=。，所以不能使g(x)<0在@+8)上恒成立.综上所述，b的取值范围是［1,+8).②由以上得.yf；<ln(l+x)<x(x>0>,取*=海士Vln(l+JW令占=£1，&一］皿则项=、如一如T"3一|口(1+三)<^4(炉+1加<0(n=23…).因此xn<xn_t<…V勺=去又因为Inn=［Infc-ln(k-1)］+Ml=黑二;In(1+》林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理U)因为/(幻=1必+口/一比r+1,所以/住)=/+2以一人由题意，所以f'(l)=工+2。-B=L所以b=2d.……①因为/G)有极邕所以方程尸(外=x2+2ax-b=0有两个不等实根.所以A=4q2+4b>0,所以。2+5>0. ②旃①@可得，az+2a>0.所以。<-2或q>0.故实数口的取值范围是0E(-%—2)U(0,+8).(2)存在.由<】)可知rco=N+2口m—人令ra)=o,所以修=-以一6」+2q,X2=-a+y/a2+2a,且aG(—8『-2)U(0,+8).x (-8"1) x) (孙上) M (H白十8)f(x} + 0 — 0 +/0)单调增极大值阜调减极小值单调增所以工=加时，/3取极小值，®f(x2)= 4ax^™2clxz+1=1,所以应=0或芯+3ax2—6口=0.若物=。,即—a+Va24-2a=0,则q=0(舍).若可+3ox?-6口=0,义f'g)=。，所以可+2奴工一2r=0.所以-4以=6因为口/0,所以q=4,所以一口一［一+2-=4,所以―一5<—2.所以存在实数口二-1使得函数八幻的极小值为L林老师网络编辑整理

林老师网络编辑整理rr* 、 f(jr)^2tET4-b—1-( ^+201^^-201+4)—1.1 1(3)由g⑴---^^761535-； 2丘二,一；一2Jm,即g(K)=X--21nx.故，g'CO=]+土—：二二;二匕=?>。,则目(外在(L+8)匕是熠函数，故gQ)>g(l)=O.所以.日伏)在(1,十8)上恒为正*nENT设戈=?.nENT二士一3一2加山

nn+1n=1+ I+--^j--2|ln(T：4-1)—Inn]=1+.,]-2[In(n-J-1)-Inn1>0.即，n?hj2[ln(n+1)—Inn]4上式分别取n的值为1,213,…,6—1)<n>1)累加得:>2[hi2>2[hi2-Ini+In3—ln24-In4—Jn3+…4-Inn-tn(n-l)],n>1.所以1+2g+g+3+…+7^7)+：>2ln叫h>1♦所以2f1+[+=+1+1"H 7+—)A2Ink+14—,ti>1\ 2 3 4 n-1n/ n.所以1+；+[+：+'**+j-+：Ainn+：(1+：),n>I.即,Inn+/1+[)U£工又当时，[皿+乂1+：)=£篙右故1皿¥乂1+3*£23，当且仅当汽=1时取等号“林老师网络编辑整理

林老师网络编辑整理因为/（-幻=-/（幻，所以加（广工+奠）=-1门（二十口），所以£一，十口二靛口（£—“+e，+口）=0.所以0=0*（2）由（I）知/■（幻=?所以】nr=式必-2叱+m）u?=0— +m-e£f令h（x）-号，y（幻=（工-日/+m-e*.田口）=守，所以MW在（0⑶上递增，（匕+8）上递减，所以hG）gx=h（e）=%Mr）为二次函数.鱼⑭电击递3%9+8）上递增，所以甲O）min二共1一白二与甲O）min二共1一白二与m—ez>g时.当m—e2=3H寸,当m-V<4时,（3）证明『由即m>/+L时，无解t

e即巾=/+工时，有一解:

巨即m<e:，4--»百〉解.

e（2）如当惬=em-/=1,此时甲Okm>砥刈241时事(X)=(r-e)2+1.^(x)mln=恒成立，fiffW/i(x)<<pWmm=1'即詈<1,1门及MJt恒成；3ln(22-1)ln(22-1)ln(3z-1)ln(n2-1)所以当相之2时自ln(n2—L)<n2-17所以""一】林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理10.(I)由上=£，得f3=-exf所以r(K)=e'-由r(¥)>o得文+i,故，G)的单调递增区间是(l+8),由r(GV0得工V1.故f(x)的单调递减区间是(-004).(2)由八|一引)三f&l),可知穴13)是偶函数.于是/(Ixl)>0对任意her成立等价于/(x)>0对任意x>0成立.由尸的篇巅娜0,得矛==\nkt①当JtECML]时*r0)=eH—A>1—k之0(#>0),此时“豆)在W+oo)上单调递增，故六工)之八0)=1>0,符合题意②当kE(1,+8)时，ink>0.当工变化时rco,ra)的变化情况如下表，x(Ojnfc)Ink(Ink,+8)f(x)- 0 +/(x)单调递减极小值单调递增由此可得，在世,十8)上，f(x)>/(Int)二A一MnJt依题意，々一川nk>04又上>1.所以1<k<d综合①.②，得实数上的取值范围是0<：&<5F3=FCO+/(-幻=小+甘-)所啜FgFg=产+剪+已-5+2+的一黑+仁-4之四+项+e1一国+如+之>^1+"?+2.所以FftJPW>X+工F(2)F(n-1)>e"+14-2>e**1+2^由此用r一⑴gFWF=EHl)F&l)]ira)Ffr-i}J-[F(n)F(ni>(B^+1+阴, 故(3)因为 F⑴F⑵…Fg>&*1+琬1n€N'.林老师网络编辑整理

林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理rW=2x+--rtrTJL（1）函数，（工）=必+加认工+1）的定义域为（一L+8）.b2x2rW=2x+--rtrTJL令自⑺工27+2工+瓦则g（,）在（一：，十8）上递增.在（一1,一也上递减.gO）由卅=g（-勺=一：+2当占,*t上）.=-：+力>0*g（x}=2d+2戈+5>0在（-1,+8）上恒成立,二广&）>5即当力>/时.函数rco在定义域（一L+8）上单调递增，（2）分以下几种情形讨论：①由C〕知当b>g时函数八，）无极值点.②当b=g时，广（幻=当7，'尤e（-l—9时，r（x）>orHE（-'+8）时，f，（幻>0,--h=~时.函数f（x）在（-L十8）上无极值点.③当匕时,解ra）=。得两个不同解-1―Ji—2b_1+VI-2b知= 2 M= 2 当6<0时，_1_y/i=2b —1+V1—2b必= 2 <-1处= j >-1上修£（― +0°）用E（―1.十8）,此时fM在（-L+8）上有瞰一的极小值点牝二一"产当0<bv；时，3,整£ 1,+8）,rw在+g）都大于o,广㈤在53上小于o，此时fM有一个极大值点勺=僦弊驿处个极小值点*2=-计产.综上可知，匕<0时，f（x}在（-L+8）上有唯一的极小值点处=士尸;0<b<ifft.人工）有一个极大值点勺=土手线和一个极小值点盯=-i+vi-叫林老师网络编辑整理

林老师网络编辑整理b之g时.函数人幻在(