2020高中数学 第1章 计数原理 组合（第1课时）组合与组合数公式学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精第1课时组合与组合数公式学习目标核心素养1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点）2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．（重点）3．会解决一些简单的组合问题．（难点)通过对组合和组合数公式的学习，培养“逻辑推理”、“数学运算"的数学素养.1．组合的概念一般地，从n个不同的元素中,任取m（m≤n）个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．思考1：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？［提示］关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．2．组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法Ceq\o\al（m,n）组合数公式乘积式Ceq\o\al（m,n)＝eq\f(A\o\al（m,n),A\o\al（m，m)）＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)阶乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m!n－m！)性质Ceq\o\al（m,n)＝Ceq\o\al（n－m,n)，Ceq\o\al(m，n＋1）＝Ceq\o\al（m，n）＋Ceq\o\al（m－1,n)备注①n，m∈N＋且m≤n；②规定：Ceq\o\al（0，n）＝1思考2：在Ceq\o\al（m，n）中有m，n∈N＋，且m≤n，为什么要规定Ceq\o\al(0,n)＝1？［提示]Ceq\o\al（0,n）＝1是为了运算需要规定的，没有实际意义．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）从a，b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是Ceq\o\al（2,3）． （)(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得Ceq\o\al（2，4)个积． （)（3)1，2，3与3，2，1是同一个组合． （)（4）Ceq\o\al(3，5）＝5×4×3＝60． （）[答案］(1）×（2)√（3）√（4）×2．下面几个问题中属于组合问题的是（)①由1，2，3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法;④由1，2,3组合无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④C[①②为组合问题，与顺序无关,③④为排列问题，与顺序有关．]3．Ceq\o\al(2,6）＝________，Ceq\o\al(17，18）＝________.1518［Ceq\o\al（2，6）＝eq\f（6×5,2）＝15，Ceq\o\al（17,18)＝Ceq\o\al（1，18)＝18.］4．甲、乙、丙三地之间有直达的汽车，相互之间的距离均不相等,则车票票价的种数是________．3[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为Ceq\o\al(2,3)＝eq\f(3×2,2）＝3。］组合的概念问题【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题．（1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？(2）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？（3）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？［解］(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．（2)是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的,是有顺序的区别．（3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．区分排列、组合的方法区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序,是排列问题；若无新变化,即说明无顺序，是组合问题。1．判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1）把5本不同的书分给5个学生,每人一本;（2)从7本不同的书中取出5本给某个同学;（3）10个人相互写一封信，共写了几封信；(4）10个人互相通一次电话，共通了几次电话．［解］（1）由于书不同,每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．（2）从7本不同的书中，取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3）因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．（4)因为互通电话一次没有顺序之分,故它是组合问题．有关组合数的计算与证明【例2】(1)计算Ceq\o\al（4，10)－Ceq\o\al(3,7）·Aeq\o\al(3，3);（2）证明:mCeq\o\al（m，n）＝nCeq\o\al（m－1，n－1）。[解](1)原式＝Ceq\o\al(4，10)－Aeq\o\al(3，7）＝eq\f（10×9×8×7，4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0.（2）证明：mCeq\o\al（m，n）＝m·eq\f(n！，m！n－m!)＝eq\f(n·n－1！，m－1！n－m！）＝n·eq\f(n－1！,m－1！n－m！）＝nCeq\o\al（m－1,n－1）。关于组合数公式的选取技巧1涉及具体数字的可以直接用eq\f(n,n－m）Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f（n,n－m)·eq\f(n－1！，m！n－1－m！)＝eq\f（n！，m!n－m！)＝Ceq\o\al(m,n)进行计算。2涉及字母的可以用阶乘式Ceq\o\al（m，n）＝eq\f(n!,m!n－m！）计算.2．求使3Ceq\o\al（x－7,x－3）＝5Aeq\o\al（2,x－4)成立的x值．[解]根据排列数和组合数公式,原方程可化为3·eq\f（x－3！,x－7!4！)＝5·eq\f（x－4!，x－6！），即eq\f(3x－3,4！）＝eq\f(5，x－6），即为(x－3)（x－6）＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2。经检验知x＝11时原式成立．组合数的性质[探究问题]1．试用两种方法求：从a，b,c，d，e5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？［提示］法一:从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共Ceq\o\al（3,5）＝eq\f(5×4×3，3×2×1）＝10（种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共Ceq\o\al（2，5）＝eq\f（5×4，2）＝10（种）不同选法．经求解发现Ceq\o\al(3，5）＝Ceq\o\al（2，5）。推广到一般结论有Ceq\o\al（m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n）.2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？［提示]共有Ceq\o\al（6,10）＝eq\f(10×9×8×7×6×5,6×5×4×3×2×1)＝210(种）选法．3．在探究2中，若队长必须参加,有多少种选法?若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3,你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？[提示]若队长必须参加，共Ceq\o\al(5,9）＝126(种)选法．若队长不能参加，共Ceq\o\al（6，9）＝84(种）选法．由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得:Ceq\o\al(6,10）＝Ceq\o\al（5，9)＋Ceq\o\al（6,9)。一般地:Ceq\o\al(m，n＋1)＝Ceq\o\al（m,n）＋Ceq\o\al（m－1，n）。【例3】(1)计算Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3，5）＋Ceq\o\al（3,6)＋…＋Ceq\o\al(3，2019）的值为（)A．Ceq\o\al(4,2019) B．Ceq\o\al(5，2019）C．Ceq\o\al(4，2020)－1 D．Ceq\o\al(5，2019)－1（2）计算：Ceq\o\al(38－n,3n）＋Ceq\o\al(3n,n＋21）的值．思路探究：恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．（1）C[（1）Ceq\o\al(3,4）＋Ceq\o\al(3，5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3，2019)＝Ceq\o\al（4，4）＋Ceq\o\al（3,4）＋Ceq\o\al（3,5）＋…＋Ceq\o\al(3，2019)－Ceq\o\al（4，4)＝Ceq\o\al（4，5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2019）－1＝…＝Ceq\o\al（4，2019)＋Ceq\o\al（3，2019)－1＝Ceq\o\al(4,2020)－1.］（2)［解]∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，，3n≤21＋n，）)∴9。5≤n≤10.5。∵n∈N＋，∴n＝10。∴Ceq\o\al(38－n，3n）＋Ceq\o\al（3n,21＋n）＝Ceq\o\al（28,30）＋Ceq\o\al(30，31)＝Ceq\o\al(2，30)＋Ceq\o\al（1,31)＝eq\f（30×29,2×1）＋31＝466.1．性质“Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al（n－m,n）”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时,要注意由Ceq\o\al（m，n)中的m∈N＋,n∈N＋，且n≥m确定m,n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．3．（1）化简：Ceq\o\al(9，m）－Ceq\o\al（9，m＋1）＋Ceq\o\al(8,m)＝________；（2)已知Ceq\o\al(7，n＋1)－Ceq\o\al（7，n)＝Ceq\o\al(8,n），求n的值．（1）0［(1）原式＝（Ceq\o\al(9，m）＋Ceq\o\al(8,m））－Ceq\o\al（9,m＋1)＝Ceq\o\al（9,m＋1)－Ceq\o\al（9,m＋1）＝0.］（2）解：根据题意，Ceq\o\al(7，n＋1）－Ceq\o\al（7,n)＝Ceq\o\al(8，n)，变形可得Ceq\o\al（7,n＋1）＝Ceq\o\al（8，n)＋Ceq\o\al（7，n），由组合数的性质，可得Ceq\o\al(7,n＋1）＝Ceq\o\al（8,n＋1）,故8＋7＝n＋1，解得n＝14。1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体,不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时,一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算Ceq\o\al（m，n)时，若m＞eq\f(n,2)，通常使用Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al（n－m，n)转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征,灵活运用Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1，n）.1.给出下面几个问题：①从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？②从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法?③由1,2，3组成无重复数字的两位数．其中是组合问题的有（)A．①B．②C．①②D．①②③A[①是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别;②是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的;而③中选出的元素还需排列,有顺序问题是排列．所以①是组合问题．］2．下列计算结果为21的是（)A．Aeq\o\al(2，4)＋Ceq\o\al(2,6) B．Ceq\o\al（7，7)C．Aeq\o\al（2，7） D．Ceq\o\al（2，7）D[Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1）＝21.]3．从5名学生中选出2名或3名学生会干部，不同选法共有________种．20［可分两类：选2名的共有Ceq\o\al（2,5）＝10种；选3名的共有Ceq\o\al(3,5)＝10种，故共