2021版江苏高考数学复习讲义：数列求和含答案

/31{an}的公比)型形如bn=错误!(q为等比数列b=错误！=错误！—错误!n（20xx•郑州模拟）已知数列｛an｝的前n项和为S”、且a2=8、an+1Sn=2—nT.⑴求数列｛an｝的通项公式;_2X3n'

anan+1⑵求数列的前n项和Tn.an+1［解］(1)°・°a2=8、Sn=2~—n—1、a2••a】=S］=2—2=2、当n±2时、a=S—S1=an+1—n-1-nnn—12'an1丿即a1=3a+2、又a°=8=3a〔+2、

n+1n21=3a+2、n^N*、n•an+1ai+1=3(a+1)、n+1'n丿・•・数列｛an+1｝是等比数列、且首项为a1+1=3＞公比为3、•an+1=3X3n-l=3n、・・a=3n—1.n2乂3n（2）・・・话=错误!=错误!—错误!.・•・数列-2X3n'

anan+1，的前n项和32—1丿+.32—133—1丿1j3n—13n+1—1丿213n+1—1.本例第(1)问在求解通项公式时运用了构造法、形如an41=Aan+^的数列递推关系求通项公式都可以采用此法；第(2)问运用了裂项相消法求和.已知｛an｝是等比数列、且a2=2、。5=也、若b=错误!、则数列｛bn｝的前n项和为()A错误！B错误！1C2n+12n—1D.2n+2十十形如a=错误!型n=错误」错误!错误!正项数列｛an｝的前n项和S”满足：S2—(n2+n—l)Sn—(n2+n)=0.⑴求数列｛an｝的通项公式an；(2)令bn=错误!、数列｛bn｝的前n项和为Tn、证明：对于任意的n^N*、5都有Tn<64*［解］(1)由SN—(n2+n—1)Sn—(n2+n)=0、得［Sn—(n2+n)］(Sn+1)=0.由于｛an｝是正项数列、所以Sn>0、Sn=n2+n.于是a1=S1=2>当n±2时、an=Sn—Sn—=n2+n—(n—1)2—(n—D=2n.综上、数列｛an｝的通项公式为an=2n.(2)证明：由于心=2n.Fl丄［丄16n(n.+2)2-(11丄［丄16n(n.+2)2-(111116L丁X43亠+15-1)，-5+2)「」1611~(7+1?(n+2)2•(1)与不等式相结合考查裂项相消法求和问题应分两步：第一步、求和；第二步、利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式.(2)放缩法常见的放缩技巧有:11(1①11(1①k2<k2—l—2(k—lk+1丿②丄一丄丄丄-12kk+1<k2<k—1k.已知等比数列｛an｝的前n项和为S”、满足S已知等比数列｛an｝的前n项和为S”、满足S4=2a4—1、S3=2a3~1.(1)求｛a」的通项公式；(2)记b尸log2(an・。小)、数列｛bn｝的前n项和为T”、求证:V2.［解］(1)设｛an｝的公比为q、由S4~S3=a4得2。4一2a3=a4、八a4八所以03=2、所以q=2.又因为S3=2a3—1、所以。1+2。1+4。1=8。1—1、所以a〕=1.所以a=2n-1.1n(2)证明：由⑴知bn=log2(an・an+1)=log2(2n-1X2n)=2n—1、所以Tn=错误！•n=n2、所以+1221n2<1+1X2+2X3+错误!2+2-3+…+n-11=2-—<2.n:考点3错位相减法求和错位相减法求和的具体步骤步骤If写出S=q+c2+・・・+c.12步骤2~等式两边同乘等比数列的公比q、即qSn=qC]+qc2qcn.步骤3-两式错位相减转化成等比数列求和.步骤4-两边同除以1—q、求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论.(20xx・莆田模拟)设数列｛a”｝的前n项和为S”、且。]=1、a”+]=2S”+1、数列｛bn｝满足a]=b]、点P(bn、bn+1)在直线x—y+2=0上、n^N*.求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；bn设c尸一、求数列｛cn｝的前n项和T”.nannn[解]⑴由a“+]=2Sn+1可得an=2Snj+1(n±2)、两式相减得a1—a=2a、即a1=3a(n±2).n+1nnn+1n'/

又a?=2S]+1=3、所以a?=3。].故｛an｝是首项为1、公比为3的等比数列.所以a=3n-i.n由点P(b、bJ、在直线x—y+2=0上、所以b1—b=2.'nn+1丿n+1n则数列｛bn｝是首项为1、公差为2的等差数列.则bn=1+(n—1)・2=2n—1.(2)因为cn=bn(2)因为cn=bnan2n—l3n—1所以T=存331』+..・+心323n—11t=丄+色+?+・・・+心+心3Tn3132333n—13n、TOC\o"1-5"\h\z「…22,2,22n—1两式相减得：3Tn=1+3+32+3n—i——矿.〜12n—1n+1所以T”=3—'—=3—.n2・3n—22・3n—13n—1本例巧妙地将数列｛an｝及其前n项和为sn、数列与函数的关系等知识融合在一起、难度适中.求解的关键是将所给条件合理转化、并运用错位相减法求和.

(20xx・烟台一模)已知等差数列｛an｝的公差是1、且a「a3、a9成等比数列.求数列｛an｝的通项公式；an求数列的前n项和T”.所以［解］⑴因为｛an｝是公差为1的等差数列、且a1>a3、a9成等比数列、a2=0$9、所以即(a】+2)2=。1(。1+8)、解得。］=1.所以an=a1+(n—1)d=n.⑵Tn=1⑵Tn=1X|212J1+2X-+3X-⑴3+nX-、(］、n+1、⑴2⑴3(］、n+1、⑴2⑴3+炒12J(］、n+1、1(严..12

所以石T=_2n2_

l丿11—2—nX-n+1=11n石—2n+l.^T=1X2+2X2+——(n—1)X2n+nX22n丿丿丿丿两式相减得所以T=2n课外素养提升⑥数学建模一一数列中等量关系的建立20xx全国卷I理科21题将数列与概率知识巧妙的融合在一起、在考查概率知识的同时、突出考查学生借用数列的递推关系将实际问题转化为数学问题的能力.数列作为特殊的函数、在实际问题中有着广泛的应用、如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题、这就要求考生除熟练运用数列的有关概念外、还要善于观察题设的特征、联想有关数学知识和方法、迅速确定解题的方向、以提高解题的速度.直接借助等差(等比)数列的知识建立等量关系【例1】从社会效益和经济效益出发、某地投入资金进行生态环境建设、并以此发展旅游产业、根据规划、本年度投入800万元、以后每年投入将比上年减少5、5本年度当地旅游业收入估计为400万元、由于该项建设对旅游业的促进作用、预计今后的旅游业收入每年会比上年增加*设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元、旅游业总收入为bn万元、写出an、bn的表达式；至少经过几年、旅游业的总收入才能超过总投入？［解］⑴第1年投入为800万元、r1)第2年投入为800X1—三万元、I5丿、r1\n-1第n年投入为800X1—万元、I5丿所以、n年内的总投入为：

(1)(1)n-1a=800+800X1—匚+——800X1-nV5丿V5丿=4000X第1年旅游业收入为第2年旅游业收入为第1年旅游业收入为第2年旅游业收入为400万元、400xfl+1^万元、1)n-1第n年旅游业收入400X1+丁万元.所以、n年内的旅游业总收入为1)b1)bn=400+400X1+4丿+・・・+400X|1+7n-11)4丿=1600X(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入、由此bn—an>0、化简得5X-+2X丁n—7>0、即1600X—4000即1600X—4000X>0、令x=代入上式得：5x2—7x+2>0.或x>1(舍去).由此得n三5.・••至少经过5年、旅游业的总收入才能超过总投入.［评析］本题以函数思想为指导、以数列知识为工具、涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点、正确审题、深刻挖掘数量关系、建立数量模型是本题的灵魂、(2)问中指数不等式采用了换元法、是解不等式常用的技巧.【素养提升练习】公民在就业的第一年就交纳养老储备金a「以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)、历年所交纳的储备金数目a.

a2、…、是一个公差为d的等差数列.与此同时、国家给予优惠的计息政策、不仅采用固定利率、而且计算复利•如果固定年利率为r(r>0)、那么、在第n年末、第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-i、第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2、…、以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.求证：T=An+Bn、其中｛An｝是一个等比数列、｛Bn｝是一个等差数列.[解]T1=a1、对n三2反复使用上述关系式、得Tn=Tn—1(1+r)+an=Tn_2(1+r)2+an_1(1+r)+an—a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2a1(1+r)+a、①在①式两端同乘1+r、得(1+r)Tn=a](1+厂)"+。2(1+r)n—1an](1+r)2+an(1+r)、②②—①、得d厂7^=。](1+r)n+d[(1+r)n—1+(1+r)n—2(1+r)]—。”=?[(1+r)n—1—r]alr+d

r2+。］(1+r)n—aalr+d

r2“alr+d,d即T—(1+r)n——nr2ralr+ddrn、,ealr+ddrn、如果记An=r2(1+r)n、Bn=air~|~d则Tn=An+Bn、其中｛An｝是以r2(1+r)为首项、以1+r(r>0)为公比的等比数列；｛b」是以一半尸一半为首项、一r为公差的等差数列.借助数列的递推关系建立等量关系【例2】大学生自主创业已成为当代潮流.某大学大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金、全部用作批发某种商品•银行贷款的年利率为6%、约定一年后一次还清贷款.已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投入资金的15%、每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%、当月房租等其他开支1500元、余款作为资金全部投入批发该商品再经营、如此继续、假定每月月底该商品能全部卖出.设夏某第n个月月底余an元、第n+1个月月底余a”+］元、写出a1的值并建立an+1与an的递推关系；预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入.(参考数据:1.1211^3.48,1.1212^3.90,0.1211^7.43X10-11,0.1212^8.92X10-12)［解］(1)依题意、a1=20000(1+15%)—20000X15%X20%—1500=20900(元)、an+1=an(1+15%)—anX15%X20%—1500=1.12an—1500(n^N*,1WnW11).(2)令a”*1+A=1.12(an+A)、则an+1=1-12an+0-12A^对比(1)中的递推公式、得久=—12500.则an—12500=(20900—12500)1.12“-1、即an=8400X1-12n-1+12500・则a12=8400X1.1211+12500~41732(元).又年底偿还银行本利总计20000(1+6%)=21200(元)、故该生还清银行贷款后纯收入41732—21200=20532(元).［评析］⑴先求出a1的值、并依据题设得出an+1与an的关系；(2)利用构造法求得｛an｝的通项公式、并求相应值.【素养提升练习】如图、P］(X］、yj、P2(x2>y2)、…、Pn(xn、yn)、・・・、是曲线C：y2=£x(y±0)上的点、A1(a10)>人2@0)、…、An(a”0)、…、是x轴正半轴上的点、且△4041尸1、厶4”2尸2、…、△An-1AnPn、…、均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A0为坐标原点)•

写出a］、a和x之间的等量关系、以及a广a和y之间的等量关系;1nnn—1用数学归纳法证明an=错误!(neN*)；⑶设明占+总+尙+…+舟、对所有用N*、bnVlog8t恒成立、求实数啲取值范围.［解］(1)依题意、△A0A1P1、△A1A2P2、…、△An_1AnPn、…、均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A0为坐标原点)、故有xn=an—1+an、an—an—1(2)证明:①当n=1时、命题成立;②假设当n=k时、命题成立、即有ak=错误!.则当n=k+1时、由归纳假设及(ak~ak1)2=ak1+ak>得错误!错误!=错误!即(ak+1)2—(k