《概率论（第四版）》课件1.4 全概公式

第四节全概公式完备事件组2定义1.4已知事件A1,A2,…,An,若它们同时满足:(1)两两互斥(2)和事件A1+A2+…+An=Ω则称事件A1,A2,…,An构成一个完备事件组完备事件组3

设事件A1,A2,…,An构成一个完备事件组,考虑任意事件B,它发生的概率与事件A1,A2,…,An发生的概率有什么关系?完备事件组4在试验E中,若区域A1,A2,…,An两两分离,且它们的并集是长方形桌面Ω,则小球不可能同时落入其中任何两个区域,但一定落入其中一个区域,意味着事件A1,A2,…,An两两互斥,且它们的和事件是必然事件,因此它们构成一个完备事件组区域B被分成n个部分,它们分别是区域B与A1,A2,…,An的交集,即区域B为交集A1∩B,A2∩B,…,An∩B的并集,如图完备事件组5根据§1.1中的讨论,事件B为积事件A1B,A2B,…,AnB的和事件,即B=A1B+A2B+…+AnB注意到交集A1∩B,A2∩B,…,An∩B两两分离,说明积事件A1B,A2B,…,AnB两两互斥全概公式6根据§1.2加法公式特殊情况的推广与§1.3乘法公式,于是得到全概公式P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)贝叶斯公式7如果还求条件概率P(Ai|B)(i=1,2,…,n),则根据§1.3乘法公式P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)得到逆概公式即贝叶斯(Bayes)公式

例18某村麦种放在甲、乙、丙三个仓库保管,其保管数量分别占总数量的40%,35%,25%,所保管麦种发芽率分别为0.95,0.92,0.90.现将三个仓库的麦种全部混合,求其发芽率解:设事件A1表示甲仓库保管的麦种,事件A2表示乙仓库保管的麦种,事件A3表示丙仓库保管的麦种,事件B表示发芽麦种例19P(A1)=40%P(A2)=35%P(A3)=25%P(B|A1)=0.95P(B|A2)=0.92P(B|A3)=0.90由于事件A1,A2,A3构成一个完备事件组,从而对于事件B,有关系式B=A1B+A2B+A3B例110注意到发芽麦种包括甲仓库保管的发芽麦种、乙仓库保管的发芽麦种及丙仓库保管的发芽麦种三个部分即事件B发生意味着积事件A1B发生或积事件A2B发生或积事件A3B发生于是事件B当然等于积事件A1B,A2B,A3B的和事件例111根据全概公式,得到概率P(B)=P(A1B+A2B+A3B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=40%×0.95+35%×0.92+25%×0.90=0.927所以麦种全部混合后的发芽率为0.927特殊情况下的全概公式12

于是全概公式化为

例213市场上供应的某种商品只由甲厂与乙厂生产,甲厂占80%,乙厂占20%,甲厂产品的次品率为4%,乙厂产品的次品率为9%,求:(1)从市场上任买1件这种商品是次品的概率(2)从市场上已买1件次品是乙厂生产的概率

例214由题意得到概率

例215

根据全概公式的特殊情况,得到概率

=80%×4%+20%×9%=5%所以从市场上任买1件这种商品是次品的概率为5%例216

得到条件概率

所以从市场上已买1件次品是乙厂生产的概率为36%例317100张彩票中有7张有奖彩票,甲先乙后各购买1张彩票,问甲、乙中奖的概率是否相同?

根据§1.1古典概型计算概率的公式,得到甲中奖的概率

例318

例319同时注意到甲无论中奖与否,都不把所购买彩票放回,从而乙是从剩余99张彩票中购买1张彩票根据全概公式的特殊情况,得到乙中奖的概率

例320

例421

(2)概率P(AB);(3)条件概率P(A|B);(4)概率P(A+B)例422解:(1)根据§1.3乘法公式与§1.2加法公式的特殊情况,得到概率

例423(2)根据全概公式的特殊情况

得到概率

例424(3)根据§1.3乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)得到条件概率

例425(4)根据§1.2加法公式,得到概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

全概公式总结26全概公式如果事件A1,A2,…,An构成一个完备事件组,则对于任意事件B,都有概率P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(