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文档简介

立体几何中的向量方法

——二面角(复习课)安阳县实验中学田志龙

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做

，这条直线叫做

，这两个半平面叫做

.l二面角二面角的棱二面角的面1.二面角的定义温故知新l温故知新两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在.二面角的范围：

.l2.二面角平面角的定义lAOB问题1：

二面角的平面角

能否转化成向量的夹角？方法探究半平面内分别垂直于棱的向量的夹角与二面角的关系lDACB方法探究与面如图，ABCD是直角梯形，所成的二面角的余弦值。求面问题引入思考：

本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角求解，怎么办？SADCB问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？l探究新知ll探究新知探究新知ll

问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？方法探究

方法探究AC练一练

已知两平面的法向量分别为，

,则两平面所成的二面角为()

A.45°

B.135°

C.45°或135°

D.90°

解：

即

，其补二面角与法向量的夹角相等或互补，∴两平面所成二面角为45°或135°.小试牛刀解题时角的取值根据图形判断xyzABDPCxyz例题精讲y例题精讲xyzzABDPC利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：建立坐标系找点坐标求法向量坐标求两法向量夹角定值总结归纳解题时角的取值根据图形判断解决问题xyz与面如图，ABCD是直角梯形，所成的二面角的余弦值。求面解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz。解决问题xyz1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，

求二面角A1－BD－C1的余弦值．

巩固练习zyxABCDA1B1C1D11、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，

求二面角A1－BD－C1的余弦值．

巩固练习解法一：如图，建立空间直角坐标系D-xyz。易证A1EC1二面角A1－BD－C1的平面角∠zyxABCDA1B1C1D1E

巩固练习解法二：如图，建立空间直角坐标系D-xyz。zyxABCDA1B1C1D1数形结合类比转化两个思想一个步骤两种方法半平面内分别垂直于棱的向量的夹角两个平面的法向量的夹角求解用法向量求二面角大小的步骤归纳总结

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和B1C1的中点，求平面EBF与平面ABCD所成角的余弦值。1.必做题：布置作业EABCDA1B1C1D1F

正三棱柱ABC-A1B1C1中，D

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