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华师大版九年级上册数学全册优质课件二次根式

正数有两个平方根且互为相反数；

0有一个平方根就是它0；

负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。试一试：说出下列各式的意义；观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数

2、表示什么？表示非负数a的算术平方根1.二次根式的概念试一试（1）例1:判断，下列各式中那些是二次根式？定义：式子叫做二次根式。

不要忽略其中a叫做被开方式。正数0没有x≥2

比一比二次根式的性质（１）二次根式的性质（２）试一试（3）计算:

想一想等于什么?请举例验证.===3520.04性质２：试一试（4）把下列各数写成平方的形式：3=，利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。如4=。

根据等式的定义，可得。我们已经得到:a-a|a|02233二次根式的性质（３）由,可以得。

利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“”的形式，例：

a0-a(a>0)(a=0)(a<0)归纳知识迁移试一试1.计算下列各题:(1)(2)2.若,则x的取值范围为()A.x≤1B.x≥1C.0≤x≤1D.一切有理数

与是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。√

a（）21、什么叫做二次根式？

2、二次根式有哪两个形式上的特点？

课堂小结作业二次根式的乘法1、什么叫二次根式？下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？复习2、填空3、计算4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律（a≥0,b≥0)

二次根式乘法运算规律公式

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。问题1：？×（a≥0,b≥0)问题2：？×××注意：（a≥0,b≥0)例题：计算练习：（a≥0,b≥0)

二次根式乘法运算规律公式的应用例题：化简：如何化简二次根式关键：将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数”或“偶次方因式”化简：由上例可得以下规律：（a≥0,b≥0)练习:例题化简：练习:练习1、化简如何化简二次根式关键：将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数”或“偶次方因式”先计算，再化简化简：试一试2、化简例题3如图，在△ABC中,∠C=900,AC=10cm,BC=24cm,AB2=AC2+BC2。求:AB.ABC练习3一个直角三角形的两条直角边分别长与，求这个直角三角形的面积。练习4（综合练习）1、的成立的条件是（）2、如果：求的值：小结：（a≥0,b≥0)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。乘法规律公式推广式：积的算术平方根被开方数a≥0；根指数为2二次根式（a≥0）复习回顾当x为怎样的实数时，下列各式有意义？x≥3x≤6∴3≤x≤6x≥1x≤1∴x=1x为任何实数x为任何实数复习回顾这个结果能否化简？如何化简？

你发现了什么？用你发现的规律填空：讨论1010计算:==探究不成立！一般情况下，a≥0，b≥0时，与有什么关系？（a≥0,b≥0）一般地，对于二次根式的乘法，有：例题讲解计算：解：（a≥0，b≥0）根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。分析练习计算：解：

把反过来，就可以得到:（a≥0，b≥0）利用它可以对二次根式进行化简。探究例题讲解化简:

化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来。解:解：由二次根式的意义可知：计算：梳理（a≥0，b≥0）最简二次根式。（a≥0，b≥0）巩固练习1、化简：22322222879446452129443312592241cbacba)()()()()()()(

-+×谢谢！二次根式的除法二、探讨（）=（1）（2）观察1、2小题的结果，它们有什么特点？（1）、（2）题结果相同。你能列出怎样的等式呢？即:这个等式用字母怎么表示呢？思考：等式中的a和b有没有条件的限制？请同学们用文字叙述该等式的意义。公式的逆用注意(1)这里的被开方数是一个整式。（可以是多项式，也可以是单项式。）(2)注意被开方数的取值范围。1、与积的算术平方根的性质比较：共同点：一个根号变成两个根号。区别：取值范围不同。商的算术平方根:2、理解和记忆商的算术平方根要注意的问题比较,得出结论练习一下:例3、化简:解:原式=练习:(填下列各题的解题步骤)解:原式==可以开方的一定要开方!化到最简!解:原式=遇到被开方数是小数先化成分数再化简!==难度加深例4：化简三、请你帮忙:

小明在学习本节内容后，做一道化简题作业。第二天作业发下来后，小明知道做错了，可他百思不得其解，你能帮小明找出错的原因吗?解:原式=请大家从观察被开方数，想一想？分析:也就是说我们应该先把带分数化成假分数!再运用商的算术平方根的性质!很显然小明理解错带分数的意义正确解法：解：原式=总结：遇到被开方数是带分数，化带分数为假分数训练题：

四、练习单元（一）（）

（）总结：商的算术平方根性质的运用一定要注意被开方数的取值范围。错C（二）填空（三）选择：①

（D）（）B所以本题选B②小结：请同学们小结一下本节课的内容：1、本节课学习了商的算术平方根的性质，我们要注意被开方数的取值范围。同时应该明确被开方数是整式。2、运用性质化简时应该注意结果要最简，如果被开方数是带分数要先化成假分数。然后再运用性质。3、从本节的学习同学们要学会灵活运用数学知识，数学的形式是很优美也很灵活的，大家要不断探索，克服困难提高学习数学的能力。分析：要求关键是求X、Y，

两个非负数相加和为0。也就是说它们要分别为0。解得：综合练习思考题1、已知x满足不等式3x+5≤0，求下面等式中的代数式M2、已知用含a、b的代数式表示：

二次根式的加减法1．几个二次根式化成

后，若

相同，则这几个二次根式是同类二次根式。2．二次根式相加减，先把各个二次根式

，再将

合并。最简二次根式被开方数化成最简二次根式同类二次根式D

D

C

C

B

C2

解：500C

C

AB

B

3

解：5解：022．(10分)有一种活动板房的铝合金窗架如图所示，上面是一个等腰直角三角形，下面是一个正方形，尺寸如图所示．制作一个这样的窗架大约需要多少米的铝合金材料？一元二次方程请你自己说未知数,并列出相应的方程1.已知甲数是乙数的5倍,且它们的和是30,求乙数。x+5x=302.已知甲数比乙数大3,且两数之积是28,求乙数。x(x+3)=283.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽各为多少?x(x+10)=9004.学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率。5(1+x)2=7.2整理后得:3.2.4.6x=30议一议:

上述四个方程是不是都是一元一次方程?若不是一元一次方程,它与一元一次方程的区别在哪里?方程2、3、4有什么共同点?只有1是一元一次方程,另外三个都不是。区在于含有未知数的最高次数是2。他们的共同点:(1)都是整式方程;(2)都只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2。归纳一元二次方程的定义:

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式:(a.b.c是常数,且a0),其中a.b.c分别叫做二次项系数,一次项系数和常数项。a=0;b0时,方程变为了一元一次方程。a=0;b=0时,方程没有实际意义。想一想:为什么a0其原因是什么?例1.判断下列方程是否是一元二次方程,并说明理由。解:(1)(2)是一元二次方程;(3)是一次方程;(4)含有两个未知数;(5)不是整式方程。例2.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数,一次项系数和常数项。例2.已知关于X的一元二次方程有一个根是0,求m的值。解:因为x=0是方程的一个根,所以,即因为所以m=3或-3又因为方程是关于x的一元二次方程所以故求得m=3例3.k为何值时,关于x的方程

(1)是一元二次方程?

(2)是一元一次方程?练一练:下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()课堂小节1.一元二次方程属于整式方程,它只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2。2.要判断一个方程是否为一元二次方程之前,应先化为一般形式.一元二次方程的一般形式中,要求。直接开平方法和因式分解法

合作学习共同回顾一个数x的平方等于p，这个数x叫做a的什么？即（p≥0）则x叫做a的平方根，表示为：谁能说出下列方程的解？1.x2=492.3x2=273.x2+1=0例1、解方程先移项，得：因此：

以上解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。例题解析：可见，上面的实际上就是求4的平方根。典型例题例1解下列方程（1）x2-1.21=0（2）4x2-1=0

解（1）移向，得x2=1.21∴x=±1.1即x1=1.1，x2=-1.1（2）移向，得4x2=1两边都除以4，得∴x=即x1=，x2=x2=将方程化成(p≥0）的形式,再求解牛刀小试：

解方程(同位之间每人一题）1.2x2-8=02.9x2-5=3典型例题即x1=-1+，x2=-1-

例2解下列方程：⑴（x＋1）2=2

⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－2x）2－3=0分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；解：（1）（x＋1）2=2

∴x+1=可以将方程化成典型例题分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；例2解下列方程：⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－2x）2－3=0即x1=3，x2=-1解：（2）移项，得（x-1）2=4∴x-1=±2x=1±2典型例题例2解下列方程：⑶12（3－2x）2－3=0分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。∴x1=，x2=解：(3)移项，得12（3-2x）2=3两边都除以12，得（3-2x）2=0.25∴3-2x=±0.5即3-2x=0.5,3-2x=-0.5典型例题例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2

即x1=-1，x2=1分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解解：2x-1=即2x-1=±（x-2）∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2照葫芦画瓢：解方程：同位左边做1，3右边2，41.(x+6)2-9=02.3(x-1)2-6=03.x2-4x+4=54.9x2+6x+1=4用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，当p<0时，原方程无解。学会自我总结归纳小结（1）形如的方程的解为（2）形如的方程的解为配方法1．先把方程的常数项移到方程的______，再把它的左边配成一个含有未知数的_____________的形式，右边是一个_______常数，从而可以用_____________的方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将二次项系数化为_____；(2)将常数项移到方程的_______；(3)方程两边都加上____________一半的平方；(4)写成(mx＋n)2＝p的形式，用______________法求解．右边完全平方式非负直接开平方1右边一次项系数直接开平方B1．(4分)用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边加上4的是()A．x2－2x＝5

B．x2＋4x＝5C．2x2－4x＝5D．x2＋2x＝52．(4分)下列配方有错误的是()A．x2－4x－1＝0，化为(x－2)2＝5B．x2＋6x＋8＝0，化为(x＋3)2＝1C．3x2－4x－2＝0，化为(3x＋2)2＝6C1001018xDCC

4B

BC25±6解：原方程无实数解15．(8分)若要用一根长20厘米的铁丝，折成一个面积为16平方厘米的矩形方框，则应该怎样折呢？解：设折成的矩形的长为x厘米，则宽为(10－x)厘米，由题意，得x(10－x)＝16，解之，得x1＝2，x2＝8，∴矩形的长为8厘米，宽为2厘米16．(9分)王红在计算某数的平方时，将这个数的平方误写成它的2倍，使答案少了63，请你帮王红求出这个数的平方．解：设这个数为x，根据题意，得x2－2x＝63.解得x1＝9，x2＝－7.所以这个数的平方是81或4917．(10分)用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于常数2.解：证明：∵x2＋y2＋2x－4y＋7＝(x＋1)2＋(y－2)2＋2.又∵(x＋1)2≥0，(y－2)2≥0，∴(x＋1)2＋(y－2)2＋2≥2恒成立，∴不论x，y取何实数时，x2＋y2＋2x－4y＋7≥2用公式法解一元二次方程二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

一、用配方法解下列方程

2x²-12x+5=01、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；2、把常数项移到方程右边；3、在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方，使左边成为完全平方；4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。公式法是这样生产的你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?1.化1:把二次项系数化为1;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法当时，方程有实数根吗公式法例1、用公式法解方程5x2-4x-12=01.变形:化已知方程为一般形式;3.计算:b2-4ac的值;4.代入:把有关数值代入公式计算;5.定根:写出原方程的根。2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;学习是件很愉快的事例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2b=5c=-3∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=49∴x==

即x1=-3x2=求根公式:

X=(a≠0,

b2-4ac≥0)=练习：用公式法解方程

2x2+x-6=0

求根公式:

X=(a≠0,

b2-4ac≥0)a=

，b=

，c=

.b2-4ac=

==x=

=

=

.即x1=,x2=.

例3：用公式法解方程x2+4x=214-242-4×1×(-2)24求根公式:

X=(a≠0,

b2-4ac≥0)解：移项，得x2+4x-2=0这里的a、b、c的值是什么？3、代入求根公式:X=

(a≠0,b2-4ac≥0)1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。用公式法解一元二次方程的一般步骤：求根公式:

X=4、写出方程的解：x1=?,x2=?(a≠0,

b2-4ac≥0)练习:用公式法解下列方程：1、x2+2x=52、6t2-5=13t例4解方程：解：结论：当时，一元二次方程有两个相等的实数根。例用公式法解方程：

x2–x-=0解：方程两边同乘以3

得2x2-3x-2=0a=2，b=-3，c=-2.∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25.∴x=即x1=2,x2=-例用公式法解方程：x2+3=2x

解：移项，得x2-2x+3=0a=1，b=-2，c=3b2-4ac=(-2

)2-4×1×3=0∴x=x1=x2=====求根公式:

X=由配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)若b2-4ac≥0得1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:用公式法解一元二次方程的一般步骤：小结4、写出方程的解：x1=?,x2=?(a≠0,b2-4ac≥0)X=独立作业知识的升华祝你成功！思考题：1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。当a，b，c满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？2、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解想一想：关于一元二次方程，当a，b，c满足什么条件时，方程的两根互为相反数？解：一元二次方程的解为：提高练习已知方程2X²+7X+c=0,方程的根为一个实数，求c和x的值.解：现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，那么截去的小正方形的边长为多少？X²-140X+3300=0边长为30cm（注意，回答时单位不要漏掉）五、小结用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：３.最后代入公式当时，有两个实数根当时，方程无实数解１.先写出a，b，c２.再求出一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)当b2－4ac>0时，方程________________的实数根；(2)当b2－4ac＝0时，方程_______________的实数根；(3)当b2－4ac<0时，方程________实数根。有两个不相等有两个相等没有D1．(3分)(2014·自贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．(3分)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，ac<0，则原方程()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定A3．(3分)已知一元二次方程x2＋2x－1＝0，则b2－4ac＝______，原方程根的情况是_____________________．4．(9分)不解方程，判定下列一元二次方程根的情况．(1)16x2＋8x＝－3；解：此方程没有实数根(2)9x2＋6x＋1＝0；解：此方程有两个相等的实数根(3)3(x2＋1)－5x＝0.解：此方程没有实数根有两个不相等的实数根8BCc>9解：原方程无实数根解：k≤2，k的非负整数值为0，1，2D10．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是()A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤111．关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是()A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种B12．若关于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0没有实数根，则k的最小整数值是()A．1

B．2

C．3

D．413．(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是()A．27B．36C．27或36D．1814．不解方程，方程2y2＋3y＋1＝0的根的情况是________________________．15．(2014·上海)如果关于x的方程x2－2x＋k＝0(k为常数)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是__________．Bk＜1B有两个不相等的实数根解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0解得b1＝2，b2＝－10(舍去)∵△ABC为等腰三角形，a＝5

∴△ABC的周长为5＋5＋2＝12解：(1)证明：∵Δ＝(m＋2)2－4×2m＝m2＋4m＋4－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2≥0，∴方程总有两个实数根19．(12分)(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长。(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，△ABC是直角三角形(3)∵△ABC是等边三角形，∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1一元二次方程根与系数关系复习：用适当的方法解下列方程：（1）x2-2x=0（2）x2+3x-4=0（3）x2-5x+6=0看谁解得又对又快x2-5x+6=0x2+3x-4=0x2-2x=0

方程自探提示（1）1.将复习中所解3个方程的根填入下面的表格中，并求出两根的和与积：02201-4-3-432562.观察表格中两个根的和与积，它们和原方程的系数有什么关系？3.根据（2）得到的结论试猜想：若一元二次方程x2+px+q=0有两个实数根为x1,x2，则x1+x2=，x1x2=4.试利用一元二次方程的求根公式证明（3）中所得结论。-pq1.若一元二次方程x2-2x-1=0有两个实数根为x1、x2，不解方程，利用根与系数关系求下列代数式的值：x11x21+⑴⑵x12+x22（3）

（x1+1）（x2+1）试一试，你能行！自探提示（2）2.通过问题1的解答，你认为运用根与系数关系解决问题时应注意什么？质疑再探：回顾本节的探索过程，你还有什么不懂的地方或新的问题，请提出来我们大家共同探讨解决！运用拓展：已知关于的方程-6+-2+5=0的一个根是2，试利用根与系数关系求方程的另一根和P的值。谈收获：回顾本节的探索过程，从知识、方法、能力方面谈谈你有什么收获？作业：1.若X1X2是方程X2+X-2=0的两个实数根，则2.若关于X的方程X2+

X+m=0的一个根为1-，试求另一个根及m的值。3.若关于X的方程X2+（a2+a-2）X+a=0的两实数根互为相反数，试求a的值。（选做题）谢谢指导！成比例线段由下面的格点图可知，＝_________，＝________，这样与之间有关系_______________．知识探索概括

像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例。用a、b、c、d

，表示四个数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？acbd

=，如果或a：b=c：d，那么a、b、c、d

叫做组成比例的项，

a、d

叫做比例外项，

b、c

叫做比例内项，

d

叫做a、b、c的第四比例项。1.b、C叫比例内项，a、d叫比例的外项，d叫做a、b、C的第四比例项b叫做a和c的比例中项.温馨提示:线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念,前者是一个正数,而后者是一对互为相反数。1.求下列线段a、b的比例中项.（1）a＝3，b＝27；

2.2和8两数的比例中项是______做一做:练习2，那么、各等于多少？3．已知2．已知：线段a、b、c满足关系式且b＝4，那么ac＝______。，例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：例题解析（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；解 （1）∵∴线段a、b、c、d不是成比例线段。，，∴

，（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．（2）∵，∴

∴线段a、b、c、d是成比例线段。

注意:1.若a:b=k,说明a是b的k倍。

2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致。

3.两条线段的比值是一个没有单位的正数。

4.除了a=b外,a:b≠b:a,

互为倒数比例的基本性质对于成比例线段我们有下面的结论：．如果，那么ad＝bc．如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么你还可以得到其它的等比例式吗？1．判断下列线段是否是成比例线段：（1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；（2）a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝2.4练习例2 证明：（1）如果，那么；证明（1）∵在等式两边同加上1，∴

．∴（2）如果，那么

（2）∵ ∴

ad＝bc，∴－ad＝－bc，在等式两边同加上ac，∴ac－ad＝ac－bc，∴a（c－d）＝（a－b）c，两边同除以（a－b）（c－d），

．∴②合比性质：③等比性质：b+d+···+m基础练习(选择题)1.下列各组数中一定成比例的是()A.2，3，4，5B.-1，2，-2，4C.-2,1,2，OD.a，2b，c，2d2.已知一个比例式的比例外项为m，n，比例内项为p，q，则下面所给的比例式正确的是()m：n=p：qB.m：p=n：qC.m：q=n：pD.m：p=q：nBD3.己知ad=bc(a，b，c，d不为零)，下列各式中正确的是()B4.如果，那么下列各式中正确的是()C1.已知：3a=4b，则2.若则3.写出比例中项为4cm的两线段的长度___________(只要写出一种)2cm，8cm4.若4,a，3的第四比例项为6.则a=________85.已知：x∶y∶z=3∶4∶5，x+y-z=6，则x+y+z=______。36基础练习(填空题)轻松回顾,看谁答得快！轻松回顾,看谁答得快！3.已知a=3,b=4求a与b的比例中项.变式:已知线段a=3cm,b=4cm求线段a与b的比例中项。解后语：

小结:比例的性质①比例的基本性质：.

感悟反思通过这节课的学习活动你有哪些收获？你还有什么想法吗？学习永远是件快乐而有趣的事！拓展知识

我能行探究&

学习☞

你真棒ABCDEF平行线分线段成比例预习质疑：1、什么叫比例尺？2、什么叫两条线段的比？成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的长度比相等，即：（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。定义：相似图形的特征：两个相似多边形对应边，对应角。成比例相等两个相似多边形对应边的比也叫做这两个多边形的相似比。ACDBA`B`D`C`117°77°77°83°α18yx467例：在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角度a的大小。思考：在这个问题中，你能求出AD与A`D`的比吗？通过刚才的学习你认为如何识别两个多边形是否相似？想想看你一定有办法！如果两个多边形

,那么这两个多边形相似对应边成比例对应角相等

应用递进A组：比一比，看谁做的既对又快！

1、在Rt∆ABC中，∠A=30°,则∠

A所对的直角边与斜边的比为_________.2、在∆ABC中，BC=5cm,CA=6cm,AB=8cm,另一个和它相似的三角形的最短边为10cm,求其余两边的长度。1：23、（开放题）：两个相似的五边形的相似比为1：2，其中一个五边形的最短边为3cm，则另一个五边形的最短边长为_________cm，若其中一个五边形的周长为16cm，则另一个五边形的__________cm.6或1.5

8或32B组：乘胜追击1、学科内综合：某弹簧若悬挂50千克的物体，伸长3cm,问悬挂80千克的物体时，弹簧伸长多少cm？2、实践应用：在同一时刻物高与影长成比例，如果某学校的教学楼在地面上的影长为10m，同时高为1m的测杆的影长为50cm，那么该教学楼的高是多少m？C组永攀高峰，胜利一定属于你！1、如图：已知DE//BC，（1）∆ABC与∆ADE相似吗？（2）若已知BC=12cm,你能找出DE的长吗？ADBEC（四）感悟升华

1、知识点

（1）成比例线段：

（2）相似图形的特征：

2、研究几何问题常是经过观察，猜测，测量，推理，验证等一系列步骤，最终得出结论。

3、感受数学来源于实践，又反过来作用于实践的道理。

（五）研究性学习：

同学们，你们还记得全等三角形有哪些特征吗？你能类似地去研究一下相似三角形的特征吗？

名称全等三角形的特征相似三角形的特征对应边对应角对应边的中线比对应边上的高比对应角的平分线比周长比面积比名称全等三角形的特征相似三角形的特征对应边相等成比例对应角相等相等对应边的中线比1等于相似比对应边上的高比1等于相似比对应角的平分线比1等于相似比周长比1等于相似比面积比1等于相似比的平方相似图形请欣赏下列每组中的两幅图有何共同点?找一找:下列图形中哪些是相似图形？像这样，形状相同的图形是相似图形。

1.你能举出生活中所见过的相似的图形吗？想一想2.同学们，还记得全等的图形吗？说一说全等的图形和相似的图形之间有什么联系与区别！观察这幅图形，你有什么发现？操作看导学稿，量出图中两三角形的所有边的长度和所有角的度数。各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。ABCDEF如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E,∠C＝∠F；则△ABC与△DEF相似，记作“△ABC∽△DEF”。其中k叫做它们的相似比。注意：表示两个三角形相似应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。1、如图,△____∽△____ABCDEF则则△ABC与的相似比是

，2、若△ABC∽且与△ABC的相似比是

。1：22：13、如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？分别根据下列已知条件,写出各组相似三角形的对应边的比例式:①如图,已知△ADE∽△ABC,则

=

=_____

试一试ABCDE②如图,已知△OAB∽△OCD,则

=

=_____

试一试ACDOB③如图,已知△ABC∽△ACD,则

=

=_____试一试ABCD试一试在网格纸上任意画一个顶点在格点上的多边形,请你的同桌在同样的网格纸上画一个与它相似的图形类似地，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比。例1：ABCA′B′C′75°45°45°αβ8106如图，△ABC∽△A′B′C′，求∠α、∠β的大小和A′C′的长.

如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°求:(1)∠ADE和∠AED的度数；

(2)DE的长.练习：EDCBA例2：ABCDEF如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，△DEF与△ABC相似吗？为什么？321小结1.形状相同的图形是相似形.2.相似三角形，相似多边形及相似比的概念.通过本节课，你学到了哪些知识？1.下列说法正确的是()A.所有的等腰三角形都相似;B.所有的菱形都相似;C.所有的矩形都相似;D.所有的正方形都相似.D课堂反馈：2.在放大10倍的放大镜下所看到的图形()A.与原图形不相似;B.与原图形相似,相似比为1:10;C.与原图形相似,相似比为10:1;D.与原图形相似,相似比为不确定.C谢谢！相似三角形

相似三角形的判定复习：1、_______________________________的两个三角形叫做相似三角形对应角相等、对应边成比例2、全等三角形的定义：___________________________的三角形。对应角相等、对应边相等3、证明一般三角形全等的方法有__________________ASA、AAS、SAS、SSS在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC和△A'B'C'中，如果：如果∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，我们就说△ABC与△A'B'C'相似，ABCA'B'C'记作△ABC∽△A'B'C'．判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？不需要问题探究如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？试一试如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？这两个三角形相似问题那么两组对应角可以证明两个三角形相似吗？于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（AA)ABCA'B'C'如图：∠A=∠A’∠B=∠B’△ABC∽△A'B'C'．例1 如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．证明 ∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．例2

如图24．3．5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC．证明 ∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∴∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．下列两个三角形是否相似？为什么？相似,因为∠C=180°-80°-40°=60°所以∠A=∠F,∠C=∠E所以△ABC∽△FDE练习1．找出图中所有的相似三角形．你会证明2．图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形．小结：判定三角形相似的方法如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（AA)ABCA'B'C'如图：∠A=∠A’∠B=∠B’△ABC∽△A'B'C'．58794º40º46º20322894º40º46º观察下图所示两三角形有何特征？A/AB/BC/C即：∠A=∠A/，∠B=∠B/，∠C=∠C/.AB：A/B/=BC：B/C/=AC：A/C/=1：4对应角相等对应边成比例这两个三角形的形状相同，但大小不等.对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。ABC与DEF相似，记作ABC

∽DEF。相似三角形1、如图且A=A'B=B'C=C'则ABC____A'B'C'2、如图，DE∥BC，且则ADE___ABC。BACB'A'C'ABCDE小试牛刀∽∽由上面结论完成下列各题：1、若ABC∽DEF，则A=____,____=E,

C=____,2、若A1B1C1∽A2B2C2，且A1C1=2，A2C2=6，则A1B1C1与A2B2C2的相似比是_____。

如果ABC∽DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？什么是相似比？

相似三角形对应角相等，对应边成比例。对应边的比为相似比。

∠D∠B∠FDEACEF想一想4、已知等腰直角△ABC与等腰直角△A'B'C'

相似，相似比为31，斜边AB=5cm,则A'B'=____cm。3、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x,y,m,n的值。（1）（2）(1)x=32(2)y=m=80°n=55°（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？议一议：实践应用：例1、如图，有一块三角形形状的草坪，其中一边的长是20m。在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是35cm，求该草坪其他两边的实际长度。解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，他们的相似比是2000:5=400:1

如果设其他两边的实际长度都是xcm，那么

x=3.5×400=1400(cm)1400cm=14m所以草坪其他两边的实际长度都是14m。5cm3.5cm3.5cm20m练一练，你会了吗？1、有一块三角形形状的土地，其中最长一边长20m，在这块土地的图纸上，这三边分别长5cm，2cm，4cm，则该土地其他两边的实际长度分别为______、______。2、已知

ABC∽A‘B’C‘

， 若

ABC三边长分别为3，4，5，则A’B‘C’

的形状是__________，若A‘B’C‘的最长边为15，则S

A’B‘C’=_____。8m16m直角三角形54例2

如图，已知ABC∽ADE，AE=50，EC=30，

BC=70，BAC=45°，ACB=40°。（1）求AED和ADE的大小；（2）求DE的长。解：（1）因为ABC∽ADE，所以由相似三角形对应角相等，得AED=ACB=40°。在

ADE中，AED+ADE+A=180°所以ADE=180°-40°-45°=95°（2）因为ABC∽ADE，所以由相似三角形对应边成比例，得即AEDCB503070所以DE=43.75想一想：

在例2的条件下图中有哪些线段成比例？图中有互相平行的线段吗？AEDCB1、已知：如图AB是斜靠的长梯，梯脚B距墙根C16米，梯上点D距离墙14米,已知BD=0.5米，且ADE∽ABC,那么AD=_____米,梯子的长度为______米。2、如图，已知ADE∽ABC，AB=10，AD=6，BC=12，A=56°，ADE=40°，则ACB=____度，DE=_____。ADBECAEBDC43.5547.2跟踪练习：例3：如图，在△ABC中，DE∥BC，D，E分别在AB，AC上，求证：△ADE∽△ABCF证明：在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，∵DE∥BC∴∠ADE=∠B∠AED=∠C,过点E作EF∥AB,交BC于F,则四边形BFED是平行四边形。∴DE=BF.又∵EF∥AB,∴∴∴△ADE∽△ABC相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。A型图X型图练习：如图D为△ABC的边AC上一点，过点D作DE∥AB，交BC于E.已知BE：EC=1：2，AB=6，求DE的长。相似比k（对应边的比值）k1

两三角形形状相同而大小不同k=1

两三角形全等课堂小结对应角相等对应边成比例定义表示法“∽”相似三角形相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

1、若ABC∽A'B'C'，相似比为k(k1),则k的值应是（）

(A)A:A'(B)BC:B'C'(C)A':A(D)A'B':AB2、若两个相似三角形的相似比为1，则这两个三角形必________.3、已知ABC∽A'B'C',如果A=55°,B=100°,则C'=_______.4、已知ABC∽A'B'C'且相似比k=,若AB=10,

则A'B'=______.5、已知A1B1C1与A2B2C2的相似比是k,则A2B2C2与A1B1C1

的相似比是________.B全等25°20群星闪耀：7、ABC的三边长分别为、、2，

A´B´C´的两边长为1和，若

ABC∽A´B´C´

，则A´B´C´

的第三边长应为_____。6、如图，

ABO∽CDO则AB与CD的位置关系是_________。ABCDOAB∥CD

ABC∽DEF若ABC的三边长分别为5cm、6cm、7cm、而4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由。探究创新：谢谢大家再见

相似三角形的性质学习目标1.在理解相似三角形基本性质的基础上,掌握相似三角形对应中线、对应高线、对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题。1，相似三角形有何特征？（对应边成比例，对应角相等）2，识别三角形相似的主要方法有那些？两个角对应相等的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。

如图,△ABC∽△A′B′C′,

相似比为K,AD、A′D′分别为△ABC和△A′B′C的高，求证：AD:A′D′=KABCDA′B′C′D′如图,△ABC∽△A′B′C′,

相似比为K,AD、A′D′分别为△ABC和△A′B′C的中线，求证：AD:A′D′=KC′ABCDA′B′D′

如图,△ABC∽△A′B′C′,

相似比为K,AD、A′D′分别为△ABC和△A′B′C的角平分线，求证：AD:A′D′=KABCDB′A′C′D′

如图,△ABC∽△A′B′C′,

相似比为K,AD、A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，求证:Ｓ△ABC

：Ｓ△A′B′C′的值ABCDA′B′C′D′相似三角形性质:

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。一，相似三角形的基本性质：

对应边成比例，对应角相等二，相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。例1：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。C'B'A'CBA例2:有同一块三角形土地的甲、乙两幅地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比。解因为甲、乙两幅地图都与这块三角形土地相似，所以这两幅地图相似。设三角形土地的某一边长为m，甲地图的对应边为a:200,乙地图的对应边为a:500，所以这两幅地图相似比为aa200500:=52所以它们的面积比为25：4１，把一个三角形变成和它相似的三角形，（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的倍。（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的倍。2510２，两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14

厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是——————。（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是————————。100厘米、40厘米50平方厘米、8平方厘米

如图,在ABCD中,E是AB上一点,AC与DE相交于F,AE:EB=1:2,求∆AEF与∆CDF的相似比.若∆AEF的面积为5平方厘米,求∆CDF的面积。BFEDCA练习：如果把一个三角形按照下面的条件改成和它相似的三角形：(1)