2020高中数学 11 柱、锥、台的体积（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE7-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(十一)柱、锥、台的体积(建议用时:45分钟)[合格基础练]一、选择题1．若长方体的长、宽、高分别为3cm，4cm,5cm,则长方体的体积为()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm3B[长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60cm3.]2．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是（）A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55）C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55）C[设圆锥底面圆的半径为r,则2πr＝6π，∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝eq\r（82－32）＝eq\r(55），∴V圆锥＝eq\f(1,3）πr2h＝3eq\r（55）π.]3.如图所示,正方体ABCD。A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是(）A。eq\f（1,6） B。eq\f（1，3）C.eq\f(1,2） D．1A［三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f（1,3)S△ADC×D1D＝eq\f（1，3)×eq\f(1,2）×AD×DC×D1D＝eq\f(1，3）×eq\f（1，2）×1×1×1＝eq\f（1，6)。]4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3 B．12cm3C.eq\f（32,3)cm3 D.eq\f（40，3）cm3C［由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3）;上面是底面边长为2cm，高为2cm的正四棱锥，体积V2＝eq\f（1,3)×2×2×2＝eq\f（8,3)（cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝eq\f(32,3）（cm3）．]5．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．4＋2π B．8＋2πC．4π D．8πB［由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体,则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V＝1×2×4＋eq\f（1，2）×π×12×4＝8＋2π。］二、填空题6．已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为________cm3。12π［设圆锥的底面半径为r，高为h，则有πrl＝15π，知r＝3，∴h＝eq\r(52－32）＝4,∴其体积V＝eq\f（1,3)Sh＝eq\f（1，3）πr2h＝eq\f（1，3)×π×32×4＝12π。]7．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是______．eq\f(7，19）［设棱台高为2h，上底面面积为S,则下底面面积为9S，中截面面积为4S,eq\f（V上，V下）＝eq\f（\f(1，3)S＋\r(S·4S）＋4S·h，\f（1,3）4S＋\r(4S·9S）＋9S·h)＝eq\f（7,19).]8．已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸（单位:cm)，可得这个几何体的体积是________cm3。eq\f(8000，3)［此几何体的直观图如图，ABCD为正方形,边长为20cm,S在底面的射影为CD中点E，SE＝20cm,VS­ABCD＝eq\f（1，3）SABCD·SE＝eq\f(8000,3）cm3.］三、解答题9．若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．［解]设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝eq\f(1,3）πl,得l＝6r。又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π,得r＝eq\r(\f(15，7）),圆锥的高h＝eq\r(35）·eq\r（\f(15,7）），V＝eq\f（1，3)πr2h＝eq\f(1,3）π×eq\f(15，7）×eq\r(35）×eq\r（\f(15,7）)＝eq\f(25\r(3）,7)π。10．如图所示的几何体，上面是圆柱,其底面直径为6cm，高为3cm,下面是正六棱柱，其底面边长为4cm,高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．［解］V六棱柱＝eq\f（\r（3）,4)×42×6×2＝48eq\r（3)(cm3），V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3），V挖去圆柱＝π·12×(3＋2）＝5π（cm3)，∴此几何体的体积：V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48eq\r（3)＋22π)（cm3)．[等级过关练］1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(）A。eq\f(1，8） B。eq\f(1，7)C。eq\f（1,6) D。eq\f（1,5)D［由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角"后剩余的部分,如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝eq\f(1，3)×eq\f（1,2）×1×1×1＝eq\f（1,6），剩余部分的体积V2＝13－eq\f(1，6)＝eq\f(5，6)。所以eq\f（V1,V2）＝eq\f（\f（1，6)，\f(5，6)）＝eq\f(1，5)，故选D。]2．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同,求h。[解］设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为eq\f（1,3)πR2h，圆柱形容器内的液体体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)））2h.根据题意，有eq\f（1,3)πR2h＝πeq\b\lc\(\r