2020高中数学 10 双曲线的简单性质（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(十）双曲线的简单性质(建议用时：60分钟）[基础达标练］一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0），则它的标准方程是（）A.eq\f(y2，18)－eq\f(x2,18)＝1 B。eq\f(x2，18）－eq\f（y2，18)＝1C。eq\f（x2,8）－eq\f(y2,8)＝1 D。eq\f（y2,8)－eq\f（x2,8)＝1B［设等轴双曲线方程为eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，a2)＝1（a＞0）．∴a2＋a2＝62，∴a2＝18。故双曲线方程为eq\f（x2，18)－eq\f（y2,18）＝1。]2．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是（）A．－3 B。eq\f（1，3）C．3 D．－eq\f（1，3）D[双曲线x2＋ky2＝1可化为eq\f(x2，1）－eq\f(y2,－\f（1,k））＝1，故离心率e＝eq\f(\r（1－\f（1,k））,1）＝2，解得k＝－eq\f(1,3）.]3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq\r(2)倍,且一个顶点的坐标为(0，2）,则双曲线的标准方程为()A。eq\f（x2，4）－eq\f（y2，4)＝1 B。eq\f（y2，4)－eq\f（x2,4）＝1C。eq\f（y2，4)－eq\f（x2，8)＝1 D。eq\f(x2，8）－eq\f（y2,4)＝1B［由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴,排除A、D，B项，a＝2，b＝2，c＝2eq\r(2),∴2a＋2b＝eq\r(2)·2c符合题意．］4．双曲线eq\f（x2,6）－eq\f（y2,3)＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0）相切，则r＝()A。eq\r（3）B．2C．3 D．6A［双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r（2)，2）x，圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式及渐近线与圆相切得,圆心到渐近线的距离为r，且r＝eq\f（｜3\r（2)＋0|,\r（2＋4)）＝eq\r(3).]5．双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1和椭圆eq\f(x2，m2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形B［双曲线的离心率e1＝eq\f(\r(a2＋b2），a),椭圆的离心率e2＝eq\f（\r（m2－b2)，m),由e1e2＝1得(a2＋b2）(m2－b2）＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．］二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________。［解析]∵2a＝2,2b＝2eq\r(－\f(1,m)),∴eq\r(－\f（1，m））＝2，∴m＝－eq\f（1,4)。［答案]－eq\f(1，4)7．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝eq\f(13,5），则其渐近线方程为________．［解析］由于焦点在y轴，则渐近线方程为y＝±eq\f（a，b)x。而e＝eq\f(c,a）＝eq\f(13，5)，则eq\f(b2，a2）＝eq\f（c2,a2）－1＝eq\f(144，25），eq\f（b,a）＝eq\f（12，5），∴渐近线方程为y＝±eq\f（5,12）x.［答案]y＝±eq\f（5,12)x8．双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a>0，b>0）的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边△MF1F2。若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．［解析]如图，点N为MF2的中点,且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．｜F1N｜＝eq\r(3)c，｜NF2|＝c。又∵|NF1|－|NF2|＝2a即eq\r（3)c－c＝2a。∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f（2,\r(3）－1)＝eq\r（3)＋1.[答案]eq\r(3）＋1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程：（1)顶点间距离为6,渐近线方程为y＝±eq\f(3，2）x；(2)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．[解］（1）设以y＝±eq\f（3,2)x为渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,4）－eq\f（y2,9）＝λ(λ≠0),当λ〉0时,a2＝4λ，∴2a＝2eq\r（4λ)＝6⇒λ＝eq\f（9,4)；当λ〈0时，a2＝－9λ,∴2a＝2eq\r（－9λ)＝6⇒λ＝－1。∴双曲线的标准方程为eq\f(x2，9)－eq\f(y2，\f(81,4））＝1和eq\f（y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.（2)设与双曲线eq\f(x2，2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq\f（x2,2）－y2＝λ(λ≠0)，将点(2,－2)代入双曲线方程，得λ＝eq\f（22，2)－（－2）2＝－2.∴双曲线的标准方程为eq\f（y2,2）－eq\f（x2,4)＝1。10．已知椭圆D：eq\f（x2，50)＋eq\f(y2,25）＝1与圆M:x2＋(y－5）2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．［解］椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2（5，0），因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5。设双曲线G的方程为eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1（a＞0，b＞0),∴渐近线方程为bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴eq\f（|5a|，\r(b2＋a2））＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为eq\f(x2，9)－eq\f（y2,16)＝1。［能力提升练］1．设a,b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2），B(b,b2)两点的直线与双曲线eq\f（x2，cos2θ)－eq\f（y2，sin2θ）＝1的公共点的个数为（)A．0 B．1C．2 D．3A［由根与系数的关系,得a＋b＝－tanθ,ab＝0，则a，b中必有一个为0,另一个为－tanθ。不妨设A(0，0),B(－tanθ，tan2θ）,则直线AB的方程为y＝－xtanθ。根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y＝±xtanθ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．］2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A。eq\r(2）B.eq\r（3)C。eq\f（\r(3）＋1，2)D。eq\f(\r(5)＋1，2)D[设双曲线方程为eq\f（x2,a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0，b＞0），如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f（b,c），∴eq\f(b，a）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（b,c))）＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f（1＋\r(5)，2）或e＝eq\f（1－\r（5),2)(舍去),故选D。]3．设双曲线eq\f(x2，9)－eq\f(y2,16）＝1的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB面积为________．［解析］A(3，0)，F(5,0），取过F平行于渐近线y＝eq\f(4，3)x的直线，则方程为y＝eq\f(4，3)(x－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\f(4,3）x－5，,\f（x2,9）－\f(y2，16）＝1，))得Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（17，5），－\f（32，15)））.∴△AFB的面积S＝eq\f（1，2)（5－3)×eq\f(32,15)＝eq\f（32，15）。[答案]eq\f（32,15）4．设F1和F2为双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0,b>0）的两个焦点，若F1，F2,P（0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．［解析］由题设条件可得，eq\f（2b,c)＝eq\r(3），所以eq\f（b2，c2）＝eq\f(3，4)，所以eq\f(c2－a2,c2)＝eq\f(3,4）,所以eq\f(c2,a2)＝4，所以e＝2。［答案］25．已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点,试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．［解]双曲线方程可化为eq\f（x2,1)－eq\f(y2，3)＝1，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2。∴F2（2，0），又l的斜率为1.∴直线l的方程为y＝x－2,代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝