2020高中数学 8 一些常见曲线的参数方程（含解析）4-4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE5-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(八)（建议用时：45分钟)一、选择题1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有()A．①③ B．②④C．②③ D．①③④［解析]对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．［答案］C二、填空题2．已知圆的渐开线的参数方程是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝8cost＋8tsint,y＝8sint－8tcost）)（t为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数t＝eq\f(π,4）时对应的曲线上的点的坐标为______．［解析]圆的渐开线的参数方程由基圆的半径惟一确定,从方程不难看出基圆的半径为8，故直径为16。求当t＝eq\f（π,4)时对应的坐标只需把t＝eq\f（π,4)代入曲线的参数方程，得x＝4eq\r（2)＋eq\r（2)π，y＝4eq\r（2）－eq\r(2)π，由此可得对应的坐标为(4eq\r（2)＋eq\r(2）π,4eq\r(2)－eq\r(2）π)．[答案]16（4eq\r(2）＋eq\r（2)π，4eq\r(2)－eq\r(2)π）3．参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8t－sint，y＝81－cost）)(0≤t≤2π)的摆线的对称轴方程是________．［解析］∵t＝π时，y有最大值16，此时x＝8π,∴由摆线的特点知对称轴方程为x＝8π.［答案]x＝8π三、解答题4．求圆的渐开线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cost＋tsint，y＝3sint－tcost））上与t＝eq\f(π,4）对应的点的直角坐标．[解］∵当t＝eq\f(π,4）时有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cos\f(π，4）＋\f（π，4）sin\f(π，4），,y＝3sin\f（π,4)－\f（π，4)cos\f(π，4）,)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(3，8）4\r(2)＋\r（2）π，，y＝\f（3，8）4\r(2）－\r（2）π。）)∴对应的直角坐标为（eq\f(3,8）(4eq\r（2)＋eq\r(2）π)，eq\f(3，8）(4eq\r(2)－eq\r（2）π))．5．求摆线eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t－sint,y＝1－cost))（0≤t≤2π）与直线y＝1的交点的直角坐标．［解]由题意知：1＝1－cost,解得t1＝eq\f(π,2），t2＝eq\f（3π，2），对应交点的坐标为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝\f（π，2）－1＝\f（π,2)－1,y1＝1)），eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＝\f（3,2)π＋1,y2＝1）），交点为(eq\f（π,2）－1,1)，（eq\f（3，2）π＋1,1)．6．当t＝eq\f(π，2），π时，求出渐开线eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝cost＋tsint，y＝sint－tcost))上对应的点A、B,并求出A、B的距离．［解］将t＝eq\f（π,2)代入eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝cost＋tsint,y＝sint－tcost）)，得x＝coseq\f(π，2)＋eq\f(π,2)·sineq\f(π,2)＝0＋eq\f(π，2)＝eq\f(π,2），y＝sineq\f(π,2)－eq\f(π,2）·coseq\f(π,2)＝1，∴A（eq\f（π,2)，1),将t＝π，代入eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝cost＋tsint,,y＝sint－tcost，))得x＝cosπ＋π·sinπ＝－1，y＝sinπ－πcosπ＝π，∴B（－1,π)，∴｜AB｜＝eq\r(\f(π,2）＋12＋1－π2)＝eq\r(\f（5，4）π2－π＋2).7．已知一个圆的摆线方程是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4t－4sint,y＝4－4cost）)（t为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[解］首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝4cost＋4tsint，y＝4sint－4tcost)）(t为参数）．8．如图2。4.1所示，设基圆半径为r，渐开线的起点为A，取圆心O为极点，射线OA为极轴．M(ρ，θ)为渐开线上任一点，过M作基圆的切线MB，B是切点．设∠BOM＝α，试用α做参数,写出渐开线在极坐标中的参数方程．[解]∵MB是切线，∴OB⊥BM，∴ρ＝eq\f（r，cosα).又eq\o(\s\up10（︵),BA)＝BM，且BM＝rtanα，∴θ＝rtanα－α。∴极坐标方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝\f(r，cosα),,θ＝rtanα－α。）)9．设有两个半径相同的圆，其中一个圆固定不动,另一个圆绕定圆无滑动地滚动，在动圆的圆周上有一定点M，求滚动过程中点M的轨迹方程．［解]设圆半径为a，取定圆的圆心为坐标原点，开始时两圆相切于A点,射线OA为x轴的正半轴,建立坐标系(如右图所示）．当滚动角度θ(以弧度为单位）后，两圆切于B点，动圆圆心为C，定点M的位置如图所示．记射线CM与x轴正向形成的任意角为α(图中为负值）．由于无滑动，得eq\o（\s\up10(︵)，AB)＝eq\o（\s\up10(︵),BM），因为两圆半径相等，所以∠AOB＝θ，从而得α＝－（π－2θ)．向量eq\o（CM，\s\up10（→))的坐标表达式为eq\o（CM,\s\up10(→）)＝(acosα，asinα）＝（－acos2θ，－asin2θ），又eq\o（OC，\s\up10（→））＝（2acosθ，2asinθ)，得eq\o(OM,\s\up10（→)）＝eq\o（OC,\s\up10（→））＋eq\o(CM，\s\up10（→）)＝(2acosθ－acos2θ，2asinθ－asin2θ）．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2acosθ－acos2θ，，y＝2a