2020高中数学 2.2.1 综合法与分析法（含解析）2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精课时作业18综合法与分析法知识点一综合法和分析法的概念1。下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有（)A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．2．要证明eq\r（a)＋eq\r(a＋7）＜eq\r（a＋3）＋eq\r（a＋4）(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法答案C解析用综合法直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．3．命题“函数f（x）＝x－xlnx在区间（0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x）＝x－xlnx取导得f′（x)＝－lnx,当x∈(0,1)时，f′(x）＝－lnx＞0，故函数f（x)在区间（0，1）上是增函数”应用了________的证明方法．答案综合法解析证明过程利用已知条件，通过导数与函数的单调性之间的关系,推导出“f(x)在区间(0，1)上是增函数”的结论，故应用的证明方法是综合法。知识点二综合法和分析法的应用4.已知a＞0，b＞0，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b，\r（a）)≥eq\r（a）＋eq\r(b).(要求用两种方法证明)证明综合法：因为a＞0,b＞0，所以eq\f（a，\r(b))＋eq\f（b,\r(a))－eq\r（a)－eq\r(b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，\r（b））－\r(b）））＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（b，\r（a）)－\r（a）)）＝eq\f（a－b，\r(b）)＋eq\f(b－a，\r（a））＝（a－b）·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，\r（b）)－\f（1,\r(a）)））＝eq\f（\r（a）－\r(b)2\r(a)＋\r（b),\r（ab）)≥0，所以eq\f（a,\r(b)）＋eq\f（b，\r（a）)≥eq\r（a）＋eq\r(b）。分析法：要证eq\f(a,\r（b)）＋eq\f(b，\r（a））≥eq\r(a）＋eq\r（b），只需证aeq\r(a）＋beq\r(b）≥aeq\r(b）＋beq\r(a），即证（a－b)(eq\r(a)－eq\r(b)）≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与eq\r(a)－eq\r(b）符号相同，不等式(a－b）(eq\r（a)－eq\r(b））≥0成立，所以原不等式成立．5．求证：eq\f（1,log519)＋eq\f(2，log319）＋eq\f(3,log219）＜2。证明因为eq\f(1,logba）＝logab,所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19（5×32×23）＝log19360.因为log19360＜log19361＝2，所以eq\f（1,log519)＋eq\f（2,log319)＋eq\f（3,log219)＜2.6．已知a＞0,b＞0，且a＋b＝1，求证：eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，a)））eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，b)））≥9。证明要证明eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，a))）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,b）)）≥9，只需证明eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,a)）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，1－a)））≥9，只需证明(a＋1)(2－a)≥9a(1－a），即证(2a－1）2≥0，∵（2a－1)2≥0成立,∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，a）))eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，b）))≥9。一、选择题1．用分析法证明不等式：欲证①A＞B，只需证②C＜D，这里①是②的（)A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分条件D．必要条件答案D解析因为②⇒①，但①不一定推出②，故选D。2．A、B为△ABC的内角,“A＞B”是“sinA＞sinB”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理eq\f（a,sinA)＝eq\f（b,sinB)＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sinA＞0,sinB＞0，∴sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B.3．设a，b∈R，且a≠b,a＋b＝2,则必有(）A．1≤ab≤eq\f（a2＋b2，2) B。eq\f(a2＋b2,2）＜ab＜1C。eq\f(a2＋b2，2)＜ab＜1 D．ab＜1＜eq\f（a2＋b2,2）答案D解析取a＝eq\f（1,2)，b＝eq\f（3,2),则a＋b＝2，这时eq\f（a2＋b2，2)＝eq\f（\f（1，4）＋\f(9,4），2）＝eq\f(5，4）＞1。ab＝eq\f(1,2)×eq\f（3，2)＝eq\f(3，4)＜1.∴ab＜1＜eq\f(a2＋b2,2).4．设sinα是sinθ，cosθ的等差中项,sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，则cos4β－4cos4α的值为（）A．－1B。eq\f(1,2)C。eq\r（3）D．3答案D解析由已知条件，得sinα＝eq\f(sinθ＋cosθ,2），sin2β＝sinθcosθ.消去θ，得4sin2α＝1＋2sin2β，由二倍角公式,得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos（2×2β）－4cos(2×2α)＝2cos22β－1－4（2cos22α－1)＝2cos22β－8cos22α＋3＝2(2cos2α）2－8cos22α＋3＝3，故选D.5．已知a、b、c、d为正实数,且eq\f(a，b)〈eq\f（c,d)，则()A。eq\f（a,b）〈eq\f(a＋c,b＋d）<eq\f（c,d） B.eq\f(a＋c，b＋d)〈eq\f(a,b）〈eq\f(c,d)C.eq\f（a，b)<eq\f（c,d）<eq\f（a＋c,b＋d) D．以上均可能答案A解析先取特值检验,∵eq\f（a，b）〈eq\f（c，d），可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则eq\f（a＋c，b＋d)＝eq\f(2,5），满足eq\f(a,b)<eq\f(a＋c，b＋d)<eq\f(c,d）。∴B、C不正确．要证eq\f（a,b）〈eq\f(a＋c,b＋d)，∵a、b、c、d为正实数，∴只需证a(b＋d）〈b（a＋c），即证ad〈bc。只需证eq\f(a，b)<eq\f(c,d）.而eq\f(a,b)<eq\f(c，d)成立，∴eq\f（a,b)<eq\f（a＋c,b＋d）.同理可证eq\f(a＋c，b＋d）<eq\f(c,d).故A正确,D不正确．二、填空题6．凸函数的性质定理：如果函数f（x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…,xn,有eq\f（fx1＋fx2＋…＋fxn,n）≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn，n))).已知函数f(x）＝sinx在区间（0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．答案eq\f（3\r（3）,2）解析∵f(x）＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，且A,B，C∈（0，π)，∴eq\f（fA＋fB＋fC，3）≤feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（A＋B＋C,3)））＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,3)）)，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f（3\r(3)，2）,∴sinA＋sinB＋sinC的最大值为eq\f（3\r(3)，2).7．如果aeq\r（a)＋beq\r（b）＞aeq\r(b）＋beq\r(a),则正数a,b应满足的条件是________．答案a≠b解析∵aeq\r(a）＋beq\r(b）－(aeq\r（b）＋beq\r(a))＝a(eq\r（a)－eq\r(b)）＋b（eq\r(b)－eq\r(a）)＝(eq\r(a)－eq\r（b))（a－b)＝(eq\r（a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r（b))．∴只要a≠b，就有aeq\r（a)＋beq\r（b）＞aeq\r（b)＋beq\r（a)。8．已知函数y＝x＋eq\f(2a，x）在［3，＋∞］上是增函数，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9，2）)）解析若y＝x＋eq\f(2a,x)在［3，＋∞)上是增函数，则y′＝1－eq\f(2a,x2）在[3，＋∞)上大于等于0恒成立，只需x∈[3，＋∞）时eq\f(2a，x2)≤1恒成立，即2a≤x2，只需2a≤（x2)min＝9，所以a≤eq\f(9，2)。三、解答题9．证明函数f(x)＝log2（eq\r（x2＋1)＋x)是奇函数．证明∵eq\r(x2＋1）＞｜x｜，∴eq\r(x2＋1）＋x＞0恒成立，∴f（x)＝log2（eq\r(x2＋1）＋x)的定义域为R，∴要证函数y＝log2（eq\r(x2＋1）＋x）是奇函数，只需证f(－x）＝－f(x)，只需证log2(eq\r(x2＋1）－x）＋log2(eq\r（x2＋1）＋x)＝0，只需证log2［(eq\r(x2＋1）－x）(eq\r(x2＋1)＋x）］＝0，∵（eq\r（x2＋1）－x)(eq\r（x2＋1）＋x)＝x2＋1－x2＝1，而log21＝0,∴上式成立，故函数f（x）＝log2(eq\r(x2＋1）＋x)是奇函数．10．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f（x)过点P（1,0），且在P点处的切线斜率为2.（1）求a，b的值；(2）证明：f（x）≤2x－2。解（1）f′(x）＝1＋2ax＋eq\f（b，x)。由已知条件得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(f1＝0，,f′1＝2,))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋a＝0，，1＋2a＋b＝2,）)解得eq\b\lc\｛\