中考几何最值问题含答案

几何最值问题一．选择题（共6小题）1．（2015•孝感一模）如图，已知等边△的边长为6，点D为的中点，点E为的中点，点P为上一点，则的最小值为（）A．3B．3C．2D．3考点：轴对称-最短路线问题．分析：由题意可知点A、点C关于对称，连接交于点P，由对称的性质可得，，故，由两点之间线段最短可知，即为的最小值．解答：解：∵△是等边三角形，点D为的中点，点E为的中点，∴⊥，3，连接，线段的长即为最小值，∵点E是边的中点，∴⊥，∴3，∴的最小值是3．故选D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．2．（2014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段，50，A、B到x轴的距离分别为10和40，B点到y轴的距离为30，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形的周长最短时，则这个值为（）A．50B．50C．50﹣50D．50+50考点：轴对称-最短路线问题；坐标和图形性质．专题：压轴题．分析：过B点作⊥y轴交y轴于E点，截取，过A点作⊥x轴交x轴于F点，截取，连接交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．解答：解：过B点作⊥y轴交y轴于E点，截取，过A点作⊥x轴交x轴于F点，截取，连接交x，y轴分别为P，Q点，过M点作⊥x轴，过N点作⊥y轴，两线交于K点．40+10=50，作⊥x轴交于L点，过A点作⊥交于S点．∵40．∴60+40=100．∴50．∵50．∴四边形的周长=50+50．故选D．点评：本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长．3．（2014秋•贵港期末）如图，⊥，⊥，∠110°，在、上分别找一点M、N，当△周长最小时，∠的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据要使△的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点A′，A″，即可得出∠′∠A″=∠′=70°，进而得出∠∠70°，即可得出答案．解答：解：作A关于和的对称点A′，A″，连接A′A″，交于M，交于N，则A′A″即为△的周长最小值，作延长线，．∵∠110°，∴∠′=70°，∴∠′∠A″=∠′=70°，∵∠′∠，∠∠A″，∴∠∠70°，∴∠110°﹣70°=40°．故选B．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．4．（2014•无锡模拟）如图，∠90°，矩形的顶点A，B分别在、上，当B在边上运动时，A随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中2，．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，长度为（）A．B．C．2D．考点：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．分析：取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作⊥于F，利用∠的余弦列式求出，从而得到点F是的中点，判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得．解答：解：如图，取的中点，连接、，∵∠90°，∴×2=1，∵三边形是矩形，∴，在△中，由勾股定理得，2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，1+2=3，过点A作⊥于F，则∠，即=，解得，∵3，∴点F是的中点，∴垂直平分，∴．故选B．点评：本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．5．（2015•鞍山一模）如图，正方形的边长为4，点E在边上且1，长为的线段在上运动，当四边形的周长最小时，则∠的值是（）A．B．C．D．1考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根据题意得出作∥且，连结交于M，在上截取，此时四边形的周长最小，进而利用相似三角形的判定和性质得出答案．解答：解：作∥且，连结交于M，在上截取，延长交于P，作⊥于Q，则四边形的周长最小，由∠∠45°，可求得1，∵∠∠，∠∠，∴△∽△，∴=，∴=，解得：，∴，由对称性可求得∠∠．故选：A．点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，得出M，N的位置是解题关键．6．（2015•江干区一模）如图，△中，，6，4，E是高线的中点，以为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是中点，则的最大值为（）A．B．C．2D．考点：圆的综合题．分析：根据等腰三角形的性质可得点D是的中点，然后根据三角形中位线定理可得，然后利用两点之间线段最短就可解决问题．解答：解：连接，如图．∵，⊥，6，∴3．又∵4，∴5．∵E是高线的中点，∴2，∴2．根据两点之间线段最短可得：≤2+5=7．当B、C、G三点共线时，取最大值为7．∵P是中点，D是的中点，∴，∴最大值为．故选A．点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将转化为是解决本题的关键．二．填空题（共3小题）7．（2014•江阴市校级模拟）如图，线段的长为4，C为上一动点，分别以、为斜边在的同侧作等腰直角△和等腰直角△，那么长的最小值是2．考点：等腰直角三角形．分析：设，4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出，′=（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．解答：解：设，4﹣x，∵△，△′均为等腰直角三角形，∴，′=（4﹣x），∵∠45°，∠′=45°，∴∠90°，∴2222+（4﹣x）22﹣48=（x﹣2）2+4，∴当x取2时，取最小值，最小值为：4．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．（2012•河南校级模拟）如图，矩形中，4，8，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且2，当4时，四边形的周长最小．考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：要使四边形的周长最小，由于和都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段2，作F点关于的对称点G，连接和交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠45°，再由即可求出的长度．解答：解：如图，在上截取线段2，作F点关于的对称点G，连接和交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点．∵6，2+4=6，∠90°，∴∠45°．设，则﹣﹣8﹣x﹣2=6﹣x，在△中，∵∠90°，∠45°，∴，∴6﹣2，解得4．故答案为4．点评：本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．9．（2013•武汉）如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是﹣1．考点：正方形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质可得，∠∠，∠∠，然后利用“边角边”证明△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“”证明△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠90°，取的中点O，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得1，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，的长度最小．解答：解：在正方形中，，∠∠，∠∠，在△和△中，，∴△≌△（），∴∠1=∠2，在△和△中，，∴△≌△（），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠∠3=∠90°，∴∠1+∠90°，∴∠180°﹣90°=90°，取的中点O，连接、，则1，在△中，，根据三角形的三边关系，＞，∴当O、D、H三点共线时，的长度最小，最小值﹣﹣1．（解法二：可以理解为点H是在△，直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，长度最小）故答案为：﹣1．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．三．解答题（共1小题）10．（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△（其中∠是一个可以变化的角）中，2，4，以为边在的下方作等边△，求的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△逆时针旋转60°得到△A′，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰△．边4，P为△内部一点，则的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）考点：旋转的性质；全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）根据旋转的性质知A′′=2，′C，所以在△′C中，利用三角形三边关系来求A′C即的长度；（2）以B为中心，将△逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知'A′'．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′'）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．解答：解：（1）如图2，∵△逆时针旋转60°得到△A′，∴∠A′60°，A′，′C∴△A′是等边三角形，∴A′′=2，在△′C中，A′C＜′，即＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′′，即6，即的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵△是等腰三角形，∴．以B为中心，将△逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'4，′A′