2020高中数学 4 角度问题（含解析）5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(四）角度问题（建议用时：60分钟）[基础达标练]一、选择题1．从C处望A处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β，则∠BAC＝（）A．α B．α＋βC．90° D．|α－β｜B［由图可知∠BAC＝α＋β.]2．某人沿着倾斜角为α的斜坡前进cm,那么他上升的高度是()A．csinα B．ctanαC．ccosα D．eq\f(c，tanα)A［如图，∠C＝α.∴sinα＝eq\f(AB，c).∴AB＝c·sinα。］3．有一条与两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为eq\r（2）m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶（)A．与水速成45° B．与水速成135°C．垂直于对岸 D．不能确定B［如图所示，AB是水速,AD为船速,AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝eq\f（AB，BC）＝eq\f(AB，AD）＝eq\f（\r(2）,2)。∴∠ABC＝45°，∴∠DAB＝90°＋45°＝135°.则小船的方向应与水速成135°行驶．]4．在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200eq\r(3）m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200m B．300mC．400m D．100eq\r(3)mB[法一:如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m），BC＝DC＝200eq\r（3)（m）．在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r（3）2－200\r(3）2，2×600×200\r(3))＝eq\f（\r(3），2),∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3）×eq\f(\r(3）,2）＝300（m)，故选B．法二:由于△BCD是等腰三角形，eq\f(1，2)BD＝DCcos2θ，即300＝200eq\r(3)cos2θ。cos2θ＝eq\f（\r（3)，2)，2θ＝30°,4θ＝60°.在Rt△ABC中,AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r（3）,2）＝300(m)，故选B．]5．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示，测得AC的长度为4m,∠A＝30°，则其跨度AB的长为(）A．12m B．8mC．3eq\r(3）m D．4eq\r(3)mD[由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC）＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°）＝4eq\r(3）.］二、填空题6．在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________．30°［如图，OC⊥OA,BC＝OA＝20，OB＝40，∴∠BOC＝30°.]7．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．30°[如图，∠CAB＝60°，BC⊥AC时，BC在地面的影子最长为AB，此时∠CBA＝30°。]8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3eq\r（3)km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km。7[如图所示，由题意可知AB＝3eq\r(3），BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理,得AC2＝27＋4－2×3eq\r（3）×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地的距离为7km.］三、解答题9．要航测某座山的海拔高度,如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000m，速度为900km/h，航测员先测得M山顶的俯角为30°，经过40s（已飞过M点）后又测得M山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(精确到m)（可能要用到的数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3）≈1。732，eq\r（6)≈2。450)［解]900km/h＝250m/s,AB＝250×40＝10000（m)，在△ABM中，由正弦定理得eq\f(BM，sin30°)＝eq\f(AB,sin105°)，所以BM＝eq\f（ABsin30°，sin105°),作MD⊥AB于点D（图略)，则MD＝BMsin45°＝eq\f(ABsin30°,sin105°）×sin45°＝eq\f(10000×\f（1，2）×\f（\r（2），2），\f(\r(2），2）×\f(1，2）＋\f(\r(2)，2）×\f（\r（3）,2））＝eq\f（10000,\r(3)＋1)＝5000（eq\r（3）－1)≈3660，所以山顶M的海拔高度为10000－3660≈6340（m)．10．如图所示，在海岸A处,发现北偏东45°方向，距A处(eq\r(3）－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r（3）nmile/h的速度追截走私船．此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10eq\r(3）t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1）2＋22－2·(eq\r（3)－1）·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r（6)，且sin∠ABC＝eq\f（AC,BC）·sin∠BAC＝eq\f(2，\r（6)）·eq\f（\r(3）,2)＝eq\f（\r(2),2).∴∠ABC＝45°。∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理,得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f（10tsin120°，10\r(3)t）＝eq\f(1，2）,∴∠BCD＝30°。即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．［能力提升练]1．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时20海里的速度航行，若我舰要用1小时追上敌舰，则速度大小为（)A．28海里/时 B．14海里/时C．14eq\r（2）海里/时 D．20海里/时A［如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v,在△ABC中，AC＝20，AB＝12,∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28，∴v＝28海里/时．］2．从高出海平面hm的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°,则此时两船间的距离为（)A．2hm B．eq\r(2)hmC．eq\r(3)hm D．2eq\r（2)hmA[如图所示，BC＝eq\r（3)h,AC＝h,在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r（3h2＋h2)＝2h。］3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°,沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________。eq\r(3)－1［由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°,∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f（BD,sin∠BAD)，即eq\f（50，sin30°)＝eq\f(BD,sin15°)，所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°）＝25(eq\r(6）－eq\r(2）)．在△BCD中，由正弦定理得eq\f（CD，sin∠DBC）＝eq\f（BD，sin∠BCD)，即eq\f(25，sin45°)＝eq\f（25\r（6）－\r（2),sin∠BCD），解得sin∠BCD＝eq\r（3）－1.所以cosθ＝cos（∠BCD－90°）＝sin∠BCD＝eq\r(3)－1.］4．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ＝________。eq\f(\r(21）,14)[在△ABC中，AB＝40，AC＝20,∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20eq\r（7）。由正弦定理eq\f（AB，sin∠ACB)＝eq\f（BC，sin∠BAC），∴sin∠ACB＝eq\f(AB,BC）·sin∠BAC＝eq\f(\r(21）,7），∵∠BAC＝120°，∴∠ACB为锐角，cos∠ACB＝eq\f（2\r(7）,7)。由θ＝∠ACB＋30°,则cosθ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝eq\f（\r(21)，14)。]5.如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sinα的值．[解](1)依题意知,∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦