浙教版数学八年级上册全册优质课件

浙教版八年级上册数学全册优质课件认识三角形那么,怎样的图形叫做三角形呢?生活中的三角形!由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。ACB“三角形”用符号“△”表示，如图顶点是A，B，C的三角形记做“△ABC”读做“三角形ABC”

三角形的表示方法A B C ABCa b c 记作：ABC三角形的顶点： A、B、C三角形的边：BC、AC、AB三角形的内角：A、B、Cc b a 2、如图，三角形ABC记作：∠B的对边是邻边是练一练ABC１、小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念是（

）此时图中有几个三角形？BACABCACAB、BCDEC人行横道.A

生活中的数学为什么有行人斜穿人行横道?家C. B.两点之间线段最短 三角形的三边长度存在怎样的数量关系 三角形的三边关系:三角形的任何两边之和大于第三边 bcaABCa+b>cb+c>ac+a>b任何 反之： 在三条线段中 若任两线段之和大于第三线段 则这三条线段能构成一个三角形。

中秋节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。长度为6cm,4cm,3cm三条线段能否组成三角形？ 解:∵6+4>36+3>4

4+3>6 ∴能组成三角形 这样判断需要三个条件，你一定希望有更好的判断方法吧.想想看!解:

∵最长线段是 6cm

4+3>6∴能组成三角形 学以致用只要满足较小的两条线段之和大于最长线段，便可构成三角形;若不满足，判断方法： (1)找出最长线段。(2)比较大小：较短两边之和与最长线段的大小 (3)判断能否组成三角形。 则不能构成三角形.判断下列各组线段中，哪些能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由。(1)a=2.5cm,b=3cm,c=5cm.(2)e=6cm,f=6cm,g=12cm.解(1)∵最长线段是c=5cm,a+b=2.5+3=5.5(cm)∴a+b>c.线段a,b,c能组成三角形。(2)∵最长线段是g=12cm,e+f=6+6=12(cm)∴e+f=g.线段e,f,g不能组成三角形。范例解析由下列长度的三条线段能组成三角形吗?为什么?（1）a=1cm,b=2cm,c=3.5cm;（2）a=4cm,b=5cm,c=9cm;（3）a=6cm,b=8cm,c=13cm;练一练想一想三角形任何两边的差与第三边有什么关系？ 三角形任何两边的差小于第三边。 两边之差第三边两边之和要做一个三角形的铁架子,已有两根长分别为1m和1.5m的铁条,需要再找一根铁条,把它们首尾相接焊在一起.小红拿来的铁条长2.2m,小明拿来的铁条长0.4m,这两根铁条合适吗?考考你长度为多少的铁条才合适?40cm,50cm,60cm,90cm,130cm我该买哪种呢？40cm

90cm已有商店 小刚想做一个三角形的零件，现手头上40cm、90cm长的铁条，想去商店里再买一根C90cm40cmx

AB50<x<130 两边之差第三边两边之和已知三角形的两边a,b长分别为2和3,则第三边c的范围是

练一练:两根小木棍分别长3cm和5cm,现取第三根,要求长度为偶数,三根木棍作边长制成三角形,这样可制成不同的三角形有个.1<c<52a-b<c<a+b.若三角形的两边长分别为a和b,(设ab)则第三边c的范围是三角形在生活中有广泛的应用。

三角形的三边关系:(1)判断三条已知线段能否组成三角形.(2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围：知识梳理:任何两边的和大于第三边。两边之差第三边两边之和思考题：在ABC中，AB=7BC=3，并且AC为奇数，那么ABC的周长为________。现有木棒4根,长度分别为12,10,8,4,选其中3根组成三角形,则能组成三角形的个数是()A.1B.2C.3D.4C 你会数三角形吗？下列各图中各有几个三角形？（）（）（）（？）探究活动数完后请说出你发现的规律。 1+21+2+31+2+3+4…(1)(2)(3)(n)认识三角形

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.复习回顾2、小明有两根长度分别为6cm，9cm的木条，他想钉一个三角形的木框,现在有长度分别为2cm，3cm，8cm，15cm的木条供他选择，那么他所选的木条长度应为（).A、2cmB、3cmC、8cmD、15cmC

三角形任何两边的和大于第三边,三角形任何两边的差小于第三边.应用性质:判断三条线段能否构成一个三角形.思考：三角形的三个内角有什么关系？合作学习1、剪一个△ABC；2、分别取AC、BC的中点D、E，连结DE；3、过D作DF⊥AB于点F，过E作EH⊥AB于点H；4、依次把△CDE，△ADF，△BEH沿DE，DF，EH折叠，得长方形DFHE.请问：你发现了什么？三角形三个内角的和等于180。三角形的内角和定理：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.几何表示：例

如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，求∠C的度数.CAB解

∵

∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°），∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°.

1、在△

ABC中，∠A=45°，∠B=2∠C，求∠B,∠C的度数.2、在△

ABC中，∠A=∠B=2∠C，求∠B,∠C的度数.练一练：3、在△ABC中，∠A,∠B,∠C的度数之比是2：3：4，求∠A,∠B,∠C的度数.4、在△ABC中，已知∠A=∠B,∠C=40°，则∠A=

.70。？？？（１）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由．(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角?将所得结果与(1)的结果进行比较.按三角形内角的大小把三角形分为三类：三角形的分类锐角三角形三个内角都是锐角钝角三角形有一个内角是钝角直角三角形有一个内角是直角请问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐角？锐角三角形直角三角形钝角三角形⑦②①③④⑤⑥认一认：将下面的这些三角形进行分类.①④⑥⑦②③⑤DBAC让我们再来认识一下与三角形的内角相关的另外一种角：三角形的外角.

．1外角由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角.思考:一个三角形有多少个外角?观察ABC123ABC123456

与三角形的每个内角相邻的外角分别有

个，他们的大小

.

两相等（2）∠2既是______的内角，又是______的外角.2、如图：∠1△BCD△ADC（1）△BCD的外角是_____.1、如图，∠1，∠2，∠3是不是△ABC的外角？辨一辨：DBAC不相邻内角1234

．想一想：外角与相邻内角有什么特殊关系？外角相邻内角∠3+∠4=180°观察：

外角与不相邻内角有什么关系？(1)∠4=∠1+∠2，

(2)∠4﹥∠1，∠4﹥∠2.

数学说理:∵∠3+∠4=180°，∴∠4=∠1+∠2.

∠1+∠2+∠3=180°，DBAC不相邻内角1234

．相邻内角外角探索，猜想：

由三角形内角和性质，我们有以下两个结论：1、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.2、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的外角性质：∠1=∠A+∠B.∠1﹥∠A，∠1﹥∠B.例

一张小凳子的结构如图,∠1=∠2,∠3=100°.求∠1的度数....123ABC∴∠3=∠1+∠2∵∠1=∠2，(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).解∵∠3是△ABC的外角，∠3=∴∠1=×100°=50°.∴∠3=2∠1，如图，（1）若∠1＝80°,∠2＝45°,则∠3＝

；

312ABCDE（2）若∠3＝100°，∠1＝∠2,求∠1的度数.试一试也是______的外角；（2）∠2是______的外角，如图：∠1△ADC（1）△BCD的外角是_____；1BC2DAE找一找（3）△

AEC的外角是______.△ADE∠AED

我们知道,三角形的三个内角的和是180°,那么四边形四个内角的和为多少度?五边形呢?......填写下表,你能找到什么规律?多边形内角和三角形四边形五边形……

n边形180°360°540°180°(n－2)共同探究１、在△ABC中∠A∶∠B∶∠C＝１∶２∶3，则△ABC是（）.A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定２、已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A，∠B和∠C的度数，它是什么三角形？B随堂练习：３、判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°；（）（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；（）４、在△ABC中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B=

度；（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C=

度．√×6040６、如右上图，在直角三角形ABC中，∠A=2∠B，则∠A=

度，∠B=

度.

５、如左下图，在直角三角形CDE中,∠C和∠E的关系是

，其中∠C=55°，则∠E=

度.互余3560307.在△ＡＢＣ中，（１）若∠A=54°，∠B=27°，则∠C=

.（２）若∠B＝∠C＝30°，则∠A＝＿＿，△ABC为＿＿＿三角形．99°

120°

钝角

思考：如图,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

度.BCDAGMHEF3601、三角形的内角和等于180°；2、三角形的外角及其性质；3、三角形按角的大小分类.

在三角形的三个内角中找出一个角是直角或是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但如果判定它是锐角三角形，就必须知道三个角都是锐角才行.小结定义与命题知识回顾:(1)什么是定义?(2)什么是命题?一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.一般地,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.命题由可看做由题设(或条件)和结论两部分组成.命题由哪两部分组成?温故而知新1、你对命题有什么印象？判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）同角的余角相等。（2）在直线AB上任取一点C。（3）相等的角是对顶角。（4）全等的两个三角形的面积相等。（5）不相交的两条直线叫做平行线。（6）所有的质数都是奇数。是不是是是是是思考下列命题的题设(条件)是什么?结论是什么?(1)三角形的两边之和大于第三边上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?正确的是_______不正确的是______(1)(2)(3)(4)真命题：正确的命题叫做真命题。假命题：不正确的命题叫做假命题。(2)三角形的三个内角的和等于180°(4)对于任何实数x,x2＜0.(3)两点确定一条直线2.下列几个命题哪些是真命题？哪些是假命题？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）两个奇数的和是偶数；（4）不相等的两个角不可能是对顶角。假命题假命题真命题真命题说明假命题的方法：举反例使之具备命题的条件，而不具备命题的结论3.下列命题中哪些是假命题？为什么？（1）如果a≠0,b≠0,那么a²+ab+b²=(a+b)²（2）两个锐角之和一定是钝角辨一辨（3）√a²=a（a为实数）（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形如何证实一个命题是真命题呢想一想真命题常常通过推理的方式（根据已知事实来推断未知事实）请你归纳证明真命题的方法判断真假命题对顶角相等∵∠1＋∠3＝180°∠2＋∠3＝180°∴∠1＝∠2132ab三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等练一练:如图,若∠1+∠2=1800,则a∥b.用推理的方法说明它是一个真命题.ab⌒⌒12⌒3如图，若∠1=∠2，则∠3=∠4。请你判断这个命题的真假，并说明理由。若直线l1∥l4,l2∥l3,则∠1+∠2=1800.

用推理的方法说明它是真命题。12l1l2l4l3数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题叫做基本事实.1、两点间线段最短。

2、两点确定一条直线。

3、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。4、同位角相等，两直线平行。5、两直线平行，同位角相等。用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.定理和基本事实都可以作为判断其他命题真假的依据.对顶角相等三角形任何两边的和大于第三边两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行命题命题、真命题、假命题、公理、定理之间的关系真命题假命题公理定理下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？火眼金睛1.定理都是真命题2.真命题都是定理3.公理都是命题

4.真命题都是公理如图AB、CD相交于点O。给出下列四个论断：①∠A=∠D②AC=BD③OC=OB④OA=OD

以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个命题。请你分别写出一个真命题和假命题，并说明理由。议一议证明证明命题的一般步骤:

回顾与思考(1)根据题意,画出图形；(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；(3)在“证明”中写出推理过程.

依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.ABC对于三角形，我们已经有哪些认识？合作探索定义分类内角和外角和…………三角形的三个内角的和等于180°.例

求证：ABC已知：求证：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.∠A+∠B+∠C=180°

实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。ACB图1BAC图2BAC图3BAC图4例

求证：三角形三个内角的和等于180º.112ABD23C12实验2：

将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

在证明三角形内角和时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）。他的想法可行吗？ABCED证明过点A作DE∥BC.则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝180º（平角的定义）你还有其他的证明方法么？辅助线例已知：如图，△ABC.

求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°ABC12DE证明:作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则

∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）

∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°

∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°例ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM关于辅助线：3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.推论：已知：求证：证明：如图，∠ACD是△ABC的一个外角∠ACD=∠A+∠BABCD1、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.ABC3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和ABC12DE∴∠1+∠2＝

∠Ａ+∠Ｂ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B三角形内角和定理的几何表述：1、在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120°，∠B=50°，则∠C=

°，请说明理由.2、如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断.ABCD70BACDE123做一做例已知：如图，证明：如图，本节课你学到什么？

已知命题：如图，点A，D，B，E在同一直线上，且AD＝BE，AC∥DF，则△ABC≌△DEF.这个命题是真命题还是假命题？ADBECF如果是真命题，请给出证明；

如果是假命题，请添加适当的条件，使它成为真命题.你有几种不同的添加方法？全等三角形（1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)如果把这些形状和大小一样的图形叠合起来，会重合吗？能够重合的两个图形称为全等图形两个能够重合的图形叫做全等图形.全等图形的形状和大小完全相同.形状相同,但大小不同,因此它们不是全等图形.把全等图形用线连起来：①②③④⑤abcde能够重合的两个三角形叫做全等三角形ABCA’B’C’(A’)(B’)(C’)它们重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点：如A和A’、B和B’、C和C’；

互相重合的边叫做全等三角形的对应边：如AB和A’B’、BC和B’C’、CA和C’A’;

互相重合的角叫做全等三角形的对应角：如∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’ABCA’B’C’“全等”符号：≌如上图：△ABC≌△A’B’C’全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等∵△ABC≌△A’B’C’

∴AB=A’B’、BC=B’C’、CA=C’A’

∠A=∠A’、∠B=∠B’、∠C=∠C’通常把对应顶点的字母写在对应位置上1、若△AOC≌△BOD，对应边是

，对应角是

；ABOCD2、若△ABD≌△ACD，对应边是

，对应角是

；ABCD3、若△ABC≌△CDA,对应边是

，对应角是

；ABCD找一找

判断题:①全等三角形的对应边相等,对应角相等.()②全等三角形的周长相等.()③面积相等的三角形是全等三角形.()④全等三角形的面积相等.()√√√×OCABD如图：已知△OBD≌△OCA,请指出其中相等的角和边例一例二解：12ABCD图1B(C)AD图2∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2因此将图形(图1)沿AD对折时，射线AC与射线AB重合图1，AD平分∠BAC，AB=AC，

(1)△ABD与△ACD全等吗？

(2)BD与CD相等吗？∠B与∠C呢？请说明理由AB=AC∵点C与B重合，即△ABD与△ACD重合(图2)∴△ABD≌△ACD∴BD=CD∴(全等三角形的对应边相等)∠B=∠C()全等三角形的对应角相等

右图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？想一想：想一想：

右图是一个等边三角形，你能把它分成三个？

右图是一个等边三角形，你能把它分成四个？想一想：1、如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E，BC=DE，其它的对应边有：_________________对应角有：_____________ABCDE练习2、如图△ABD≌△CDB，若AB=4，DA=5，BD=6，则BC=

，CD=

。ABCD3、如图，△ABC≌△AEC，∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.BACE拓展练习1、如右图，已知△ABD≌△ACE，

且∠1=45°,∠ADB=95°,则

∠AEC=

∠C=

.1AEBCD2、如右图，已知△ABC≌△DFE，

且AC与DE是对应边，若BE=14CM，

FC=4CM，则BC=

.ABCFED50°95°9CM

此图中有哪些相等的线段？小结

同学们，通过这节课你自己的努力，你获得了全等三角形的哪些知识？一、全等图形（叠合法）二、全等三角形三、全等三角形的性质

三角形全等的判定

知识回顾①AB=DE②BC=EF③CA=FD④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF2、什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫

全等三角形。3、全等三角形有什么性质？1、什么叫全等图形？能够完全重合的两个图形叫做全等图形。全等三角形对应边相等，对应角相等。1、已知△ADF≌△CBE，则结论：①AF=CE②∠1=∠2③BE=CF④AE=CF，正确的个数是()（Ａ）１个（Ｂ）２个（ Ｃ）３个（Ｄ）４个课前练习：C2、面积相等的两个三角形一定全等吗？课前练习：3、周长相等的两个三角形一定全等吗？课前练习：试问怎样的三角形才会全等呢？合作学习1、已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？(不一定全等)FEDACB2、已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm，7cm，你能画出这个三角形吗？合作学习画法：1、画线段AB=4cm；2、分别以A、B为圆心，5cm和7cm长为半径画两条圆弧，交于点C；3、连结AC、BC；△ABC就是所求的三角形。

把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？ABCEFGABC≌EFGAB=EFBC=FGAC=EG（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)在△ABC和△EFG中用数学语言表述：

用这样的结论可以判定两个三角形全等．

判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．

由上面的结论可知，只要三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性：三角形的稳定性举例例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，则∠A=∠C，请说明理由。ABCD解：在△ABD和△CDB中，（已知）（已知）AB=CDAD=CBBD=DB（公共边）∴△ABD≌△CDB（SSS）∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）ABCD证明：在△ABD和△ACD中，AB＝AC（已知）AD＝AD（公共边）DB＝DC（已知）∴△ABD≌△ACD（SSS）

如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架，请说明△ABD≌△ACD的理由。牛刀小试分析：要证明△ABD≌△ACD，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。牛刀小试

如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架，请说明△ABD≌△ACD的理由。小结：从以上的解法中可以看出，说理要由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出正确的结论。ABCD12∠1和∠2相等么？理由呢？能判断直线AD与直线BC的位置关系么？对于本题，你还能得到什么结论？例2、已知∠BAC，用直尺和圆规∠BAC的角平分线AD，并说明正确的理由。以上是角平分线的尺规画法BAC作法：1、以点A为圆心，适当的长为半径，与角的两边分别交于E、F两点。3、过点A、D作射线AD。射线AD为所求的平分线。2、分别以E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠BAC内一点D。请同学们说说理由练一练：

已知∠α，用直尺和圆规作∠α的平分线（只要求作出图形，并保留作图痕迹）α例3，如图，已知AB＝CD，AD＝CB，请说明∠B＝∠D解：连结AC,AB＝CD（已知）AC＝AC（公共边）BC＝AD（已知）∴△ABC≌△CDA（SSS）∴∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？在原有条件下，还能推出什么结论？ABCDABCD在△ABC和△ADC中小结：四边形问题转化为三角形问题解决。有时为了解题需要，在原图形上添一些线，这些线叫辅助线。辅助线通常画成虚线。ABCD1、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。巩固练习：答：△ABC≌△DCB理由如下：∵在△ABC和△DCB中AB=DCAC=DB=BCCB∴△ABC≌△DCB(SSS)(公共边)(已知)(已知)２、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BH=CH，AH=AH∴△ABH≌△ACH（SSS）；在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）；在△ABH和△ACH中∵BD=CD，BH=CH，DH=DH∴△DBH≌△DCH（SSS）3、已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB（如图），要用“边边边”说明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？解：要说明△ABC≌△FDE，还应该有AB=DF这个条件∵DB是AB与DF的公共部分，且AD=BF∴AD+DB=BF+DB

即AB=DF请同学们谈谈本节课的收获与体会本节课你学到了什么？发现了什么？有什么收获？还存在什么没有解决的问题？

尺规作图基础知识复习我们已经会作一条线段等于已知线段、作一个角的角平分线,你能说说以前是怎么作的?在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图.

下面我们将要继续学习用尺规法作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线及作三角形.知识探索——尺规法作三角形1、已知三边作三角形求作：△ABC，使得AB=c、AC=b、BC=a;分析：要作三角形，那么，根据定义和条件，只要设法把三条线段首尾顺次相接即可。于是——abc【例】已知：线段abc作法：（1）作线段BC=a；（2）以C为圆心，b长为半径画弧；（3）以B为圆心，c长为半径画弧,与前弧在射线BX的同侧相交于A;（4）连接AB、AC；则△ABC就是所要求作的三角形.求作：△ABC，使得AB=c、AC=b、BC=a;【例】已知：线段abc【练习】求作：以m为边长的等边三角形。试根据下面的作图语言完成作图：（1）作线段AB=a,（2）分别以A、B为圆心，a长为半径画弧，两弧在射线AX同侧相交于C;则△ABC就是所要求作的等边三角形.已知：线段m.a（3）连接AC、BC；2、已知两边及其夹角作三角形【例】已知:线段a、c，∠α，α求作：△ABC、使得BC=a、AB=c、∠ABC=∠α。分析：根据夹角的定义和题目所给的条件，可以想象——先确定夹角，然后再在角的边上确定三角形的边.于是——ac作法：（1）作∠XBY=∠α;（2）用圆规在射线BX上截取BC=a、在射线BY上截取BA=c;（3）连接AC;则△ABC就是所要求作的三角形.选一选1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（）A、已知三边B、已知两边及夹角C、已知两角及夹边D、已知两边及其中一边的对角2、利用尺规不可作的直角三角形是（）A、已知斜边及一条直角边B、已知两条直角边C、已知两锐角D、已知一锐角及一直角边3、以下列线段为边能作三角形的是（）A、2厘米、3厘米、5厘米B、4厘米、4厘米、9厘米C、1厘米、2厘米、3厘米D、2厘米、3厘米、4厘米DCD通过这一节的学习你学到了什么?图形的轴对称法国巴黎凯旋门印度的泰姬陵中国天安门天坛埃菲尔铁塔它们有什么共同特征？欣赏下列图片，你有什么发现如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？方法：找对称轴

做一做，找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多，哪一个图形没有对称轴.2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.（1）四边形ABCD是轴对称图形吗？如果你认为是，请说出它的对称轴.（2）与点B对称的点是哪一个点？（3）连结BC，交AD于点E.把四边形ABCD沿AD对折，BE与CE重合吗？∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论？轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。EABCD轴对称图形中沿对称轴对折后能重合的两个点称为对称点。每一组里，左边的图形沿直线对折后与右边的图形完全重合吗？由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称。这条直线叫做对称轴。

成轴对称的两个图形是全等图形。轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系

轴对称图形轴对称区别联系图形(1)轴对称图形是指()

具有特殊形状的图形,

只对()

图形而言;(2)对称轴()

只有一条(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及

()图形;(2)只有()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.一个一个不一定两个两个一条共同点

沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合两个图形成等腰三角形等腰三角形有两边相等的三角形。你能找出你身边的哪些物体有等腰三角形的形状吗？北京五塔寺ACB有两边相等的三角形叫等腰三角形！

腰腰底边底角底角顶角等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.若AB=AC,则等腰三角形ABC中:1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。等腰三角形腰底边顶角△ABC△ABDAB和ACBC∠AAD和BDAB∠ADB找一找:如图，五角星中有

个等腰三角形。认一认10画一画:已知线段a=2cm，b=3cm（如图）用直尺和圆规做等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a。ab

做一做你发现了什么?探索:

2、等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴1、等腰三角形是轴对称图形做一做1.在上图的基础上，画出它的顶角平分线AD，2.然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB，AC上的点，且AD=AE，AP是△ABC的角平分线。点D，E关于AP对称吗？请说明理由。DE与BC平行吗？解：点D、E关于AP对称，且DE∥BC，理由如下：因为AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE，则当把图形沿直线AP对折时，线段AB与AC重合，线段AD与AE重合，所以点B、C关于直线AP对称，点D，E也关于直线AP对称，所以BC⊥AP，DE⊥AP，所以DE∥BC。ABCPDE例题学习如图，AD是等腰△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，请分别作出E，F关于AD的对称点。画一画ABCEFGD1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是（）（A）14（B）15（C）16（D）14或16D2、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________12、6或9、9做一做:

若把此等腰三角形的两边长改为3和7，则它的周长应是多少？你发现了什么规律?火柴数356789示意图形状等边三角形等腰三角形等边三角形等边或等腰三角形等腰三角形等腰三角形

在平面内,分别用3根、５根、６根火柴首尾顺次相接搭三角形，多少根火柴棒能搭成等腰三角形?等边三角形呢？通过尝试，完成下面的表格，7根火柴棒呢？8根呢？9根呢？你发现了什么规律？探究活动说一说同学们有些什么收获?等腰三角形的性质定理复习回顾1.

叫做等腰三角形2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是

。有两边相等的三角形

顶角平分线所在的直线

将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平。你知道为什么吗？做一做现在请同学们将刚才所画的等腰三角形对折，使两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，你能发现它的内角之间有什么关系呢？DABC等腰三角形的性质:你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗?ACB121.等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）等腰三角形的两个底角相等已知：ABC中，AB=AC.求证：

B=C.证明一:作顶角的平分线AD.证明二:作底边的中线AD证明三:作底边的高AD.(待以后证明)ACB等腰三角形的性质１：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）注意：在三角形中,等边对等角。一个

一个

用符号语言表示为：在△ABC中，∵AC=AB（）∴∠B=∠C(）已知等边对等角CAB例1求等边三角形三个内角的度数。由已知:AB=AC=BC,∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C(等边对等角）同理∠A=∠C∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180∴∠A=∠B=∠C=60结论:等边三角形的内角都相等,且等于60°.练习：已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，求∠B和∠C的度数。ABC变式1:已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，求∠B和∠C的度数。ABCBA变式2:已知：等腰三角形的一个内角为70°，求另两个角的度数.例2求证：等腰三角形两底角的平分线相等。的两条角平分线求证：BD＝CE巩固练习1.填空题：(1)如图,在△

ABC中,AB=AC,外角∠

ACD=100度,则∠

B=____度(2)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,则点D到AB,AC的距离相等.请说明理由.

ABCD100°第１题ＡＢＣＥＦD第２题1.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为______

试一试75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°等腰三角形的性质文字叙述几何语言等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）∵AB=AC∴∠B=∠C课堂小结等腰三角形的性质定理△ABC中，已知：AB=AC(2)、若∠B=40°，则∠A=

；∠C=

；(3)、若有一个角为120°，则另外两个角分别为

、

;

(5)、若有一个角为70°，则另外两个角分别

、

(4)、若有一个角为60°，则△ABC是

三角形；(1)、若∠A=36°，则∠B=

；∠C=

；72°72°100°40°30°30°70°、40°等边或55°、55°既快又准分类思想操作：在三角形ABC中，AB＝AC，AD是角平分线。在图中找出所有相等的线段和相等的角。由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？结论：1、∠B=∠C2、BD=CD，AD为底边上的中线3、∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高4、∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线ACBACBD等腰三角形的性质:

等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?ACBD在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠___=∠___，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中线，∴∠＿=∠＿，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分线，∴____⊥____，____=____。

CAB12D等腰三角形“三线合一”的性质用符号语言表示为：12BＤCＤ12ADBCADBCBＤCＤ已知：如图，求证：如图，已知D，E在三角形ABC的边BC上，且AB＝AC，AD＝AE。求证：BD＝CE已知线段a,h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高为h.ha作法:1.作线段BC=a.2.作BC的中垂线m,交BC于点D.3.在直线m上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求的等腰三角形.aBChA练习判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°.（）（3）等腰三角形的底角都是锐角.（）（4）钝角三角形不可能是等腰三角形.（）××等腰三角形的性质文字叙述几何语言等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，BD=CD课堂小结等腰三角形的判定定理等腰三角形的知识:复习回顾:2、等腰三角形的两个底角相等.(在同一个三角形中,等边对等角)1、等腰三角形的两腰相等.3、等腰三角形三线合一顶角平分线、底边上的中线和底边上的高等腰三角形的判定方法：1、有两边相等的三角形是等腰三角形。(定义)两个角相等的三角形会是等腰三角形吗？如图，在ΔABC中，∠B=∠C，判断AB和AC是否相等，并说明理由。ACBD合作学习:在ΔABD和ΔACD中∠B=∠C∠ADB=∠ADC=90°AD=AD∴ΔABD≌ΔACD(AAS)∴AB=AC证明：过点A作AD⊥BC于点D“在同一个三角形中,等角对等边。”2、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．等腰三角形的判定方法：“在同一个三角形中,

等边对等角。”辨一辨：1、有两边相等的三角形是等腰三角形。性质判定在同一个三角形中,等角对等边

问：如图,下列推理正确吗?

ABCD21∵∠1=∠2

∴BD=DC（等角对等边）∵∠1=∠2

∴DC=BCABCD21（等角对等边）错，因为都不是在同一个三角形中。1.在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=70°,判断△ABC是什么三角形,为什么?答：等腰三角形。∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°∴∠B=∠C∴△ABC是等腰三角形2、已知：如图，∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,计算∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些是等腰三角形。ABCD36°1236°°72答：∠1=72°,∠2=36°△ABC、△ABD、△BDC是等腰三角形。例：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河宽（即A,B之间的距离）．这个方法正确吗？请说明理由．说明线段相等的方法:1、说明线段所在的两个三角形全等。2、说明在同一个三角形中，线段所对的两个角相等。解：∵∠DAC=∠ACB+∠ABC∠DAC=60°，∠ACB=30°∴∠ABC=∠DAC-∠ACB=60°-30°=30°∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）即AC的长就是河宽。如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/小时的速度向正北方向航行，9时30分到达B处。从A处测得灯塔C在北偏向26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，求B处到灯塔C的距离。NBAC52°26°北做一做:一个三角形还满足什么条件时会成为等边三角形？①三个角都相等的三角形是等边三角形．探索发现②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.点拨：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．三条边都相等的三角形是等边三角形．证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC(在同一个三角形中，等角对等边)．又∵∠A=∠C，∴BC=AB(在同一个三角形中，等角对等边)．∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．CBA证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等角对等边)∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．第一种情况：有一个底角是60°；ACB60°证明:∵AB=AC，∠A=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等角对等边)

∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．第二种情况：顶角是60°；已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．求证:△ABC是等边三角形．ACB60°等边三角形的判定定理：①有一角是60°的等腰三角形是等边三角形．②三个角都相等的三角形是等边三角形。练一练：如图,已知DE∥BC,∠1=∠2.求证:BD=CE.ABCDE12证明:∵∠1=∠2（已知）∴AD=AE（在同一个三角形中，等角对等边）∵DE∥BC（已知）∴∠1=∠B，∠2=∠C∴∠B=∠C∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）∴AB－AD=AE－AC即BD=CE一变：如图，BD是等腰三角形ABC的底角∠

ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E。判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由。如图，BD是∠

ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E。判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由。变变变二变：在△ABC中,已知AB=AC,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB③猜想线段DE和线段DB,EC之间的关系?并说明理由。BOCADEDE=DB+CE也可得:DE=2DB=2CE②过点O作DE∥BC，则图中有

个等腰三角形。①则△OBC是

三角形等腰5②在图中，可得线段关系是()A、DO+EO=BD+ECB、DO+EO＞BD+ECC、DO+EO＜BD+ECD、无法确定三变：如果△ABC不是等腰三角形，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，DE∥BC。2ACBOEDA ③若BC=3，作OF∥AB，OG∥AC，则△OFG的周长=

。GF3 ①则图中等腰三角形共有

个。1.等腰三角形△ABC中，∠A的外角是110°，则∠B=

.2.如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A，则图中等腰三角形共有

个.ABCD3.AB=AC,BF平分∠ABC交AC于F，CE平分∠ACB交AB于E，BF和BE交于点D，且EF∥BC，则图中有

个等腰三角形.课堂小测验670°或55°31.如图，GF⊥AF于F，且AB=BC=CD=DE=EF=FG，求∠A的度数。2.已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长AC至点E，使CE=BD，连结DE交BC于F。求证：DF=EFABCDEHF3.如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD//BC，则△

ABC是等腰三角形吗？说明你的理由。证明：∵AD∥BC，AEBC12D∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2，∴∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）逆命题和逆定理下列句子是命题的是（）A.画∠AOB=45°B.小于直角的角是锐角吗？C.连结CDD.鸟是动物对某件事情作出判断的句子叫做命题。D知识回顾命题的结构：命题由条件和结论组成命题有真有假。正确的命题是真命题，错误的命题是假命题填表：a＝ba2＝b2⑷如果a2＝b2，那么a＝b。a2＝b2a＝b⑶如果a＝b，那么a2＝b2。两直线平行同位角相等⑵同位角相等，两直线平行同位角相等两直线平行⑴两直线平行，同位角相等结论条件命题

观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？a＝ba2＝b2⑷如果a2＝b2，那么a＝b。a2＝b2a＝b⑶如果a＝b，那么a2＝b2。两直线平行同位角相等⑵同位角相等，两直线平行同位角相等两直线平行⑴两直线平行，同位角相等结论条件命题

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。我们把其中的一个叫做原命题（originalstatement），另一个叫做它的逆命题（conversestatement）。同位角相等，两直线平行.(2)同位角相等相等的角是同位角(3)长方形有两条对称轴。说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：有两条对称轴的图形是长方形。(1)两直线平行，同位角相等.真命题假命题假命题1.写出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假：（1）如果|a|=|b|，那么a=b；

逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|做一做(2)等边三角形的三个角都是60°。(3)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形。逆命题：高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。真命题真命题真命题假命题假命题真命题判断下列说法是否正确？请说明理由（1）假命题没有逆命题；（2）真命题没有逆命题；（3）每个命题都有逆命题；（4）真命题的逆命题是真命题思考：每个命题都有逆命题吗？一个命题的逆命题是真命题还是假命题？请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题的例子；有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子？√×××定理：等腰三角形的两个底角相等。

如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。有两个角相等的三角形是等腰三角形。一个命题经证明是真命题，就可称为定理；请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：这是一个真命题请说出三对互逆定理下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说出逆定理。⑴同旁内角互补，两直线平行；⑵对顶角相等；⑶三角形的两边之和大于第三边。没有逆定理两直线平行，同旁内角互补。没有逆定理试一试下列说法哪些正确，哪些不正确？（1）每个定理都有逆定理。（2）每个命题都有逆命题。（3）假命题没有逆命题。（4）真命题的逆命题是真命题。√×××辨一辨⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？AB线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等ODCP⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.例1、按要求作答：APB已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上作PC⊥AB于点OOC证明:∵PA=PB，PO⊥AB，∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）∴PC是AB的垂直平分线。∴点P在线段AB的垂直平分线上解:这个定理的逆命题是:到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．⑵当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；⑴当点P不在线段AB上时，ABPPPPPP显然，上述两个命题可称为互逆定理线段垂直平分线性质定理：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上APB几何语言：∵PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线性质定理的逆定理：例2、说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明。解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。”说明一个命题是真命题需经证明，而说明一个命题是假命题只需举一个反例。1、说出一个原命题是真命题和逆命题是假命题的命题。3、说出一个没有逆定理的定理。2、说出一对互逆定理。做一做做一做4、已知命题：“P是等边三角形ABC内一点。若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”证明这个命题，并写出它的逆命题，判断其逆命题成立吗？谈谈本节课的收获再见！直角三角形有一个角是直角的三角形叫做直角三角形直角三角形表示：Rt△

直角边ABC斜边直角边直角三角形ABC表示为Rt△ABC,∠ACB为Rt∠一、直角三角形的定义二、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余ABC∵∠ACB=90°()∴∠A+∠B=90°几何语言在△ABC中()直角三角形的两个锐角互余已知练一练1、△在ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠B=

.

2、直角三角形两个锐角之差是10°，则较大的锐角是

度。3、直角三角形的两个锐角的平分线所构成的角是

度.60°50°45°或135°4、一个三角形的三个内角之比是1：2：3，则这个三角形是

三角形.直角4、如图，由一副三角尺组成的图案，则∠DCF=_____，∠CFD=_____，∠AEF=______6007501350例1：如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，请找出图中各对互余的角。CADB（1）相等的锐角有几对？E（2）过Ｄ作DE⊥BC于点E，图中有几对互余的角。1234ABC等腰直角三角形的两个锐角为

度.45°两条直角边相等的直