2020年高考文科数学易错题《立体几何》题型归纳与训练

CTOC\o"1-5"\h\z__3S=—x\/3x、；'3=.apnb22•・•AD丄平面PNB,AD//BC,BC丄平面PNB.2132•/PM=2MC,.•・V二V二-V二-x1x3x2二-.P-NRMM-PNB3C-PNB2.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，D是AB的中点.111（1）证明：BC//平面ACD；11（2）若AC=CB，求证：AD丄CD.1【答案】见解析.【解析】证明：（1）如图，连接AC,交AC于点O,连结OD.11据直三棱柱性质知四边形ACC1A1为平行四边形，所以0为AC1的中点.又因为D是AB的中点，所以BC//OD.1又因为BC农平面ACD,ODu平面ACD,111所以BC//平面ACD.11（2）因为AC=BC,D为AB的中点，所以CD丄AB.据直三棱柱ABC-ABC性质知AA丄平面ABC，又因为CDu平面1111所以AA丄CD.1又因为AAIAB=A,AA,ABu平面ABBA,1111所以CD丄平面ABB1A1,又因为A1Du平面ABB1A,所以CD丄A1D，即A1D丄CD-题型二立体几何体积求解1.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3,DPA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.D（1）证明MN//平面PAB；

（2）求四面体N-BCM的体积.TOC\o"1-5"\h\z11114苗答案】（1）（2）V=_x_PA-S=_x4x2p5='—口案】（!）（2）N-BCM23△ABC63•1【解析］（1）取PB中点Q，连接AQ、NQ,因为N是PC中点，NQ〃BC,且NQ二-BC,又，且AM//BC，所以QN//AM，且231，且AM//BC，所以QN//AM，且AM=—AD=—x—BC=—BCA342AQN二AM，所以四边形AQNM是平行四边形.所以MN//AQ.又MN@平面PAB，AQu平面PAB，所以MN〃平面PAB.（2）由（1）QN//平面ABCD.所以V二V二1V二1VN-BCMQ-BCM2P-BCM2P-BCA所以V=-x1PA-S所以N-BCM23△ABC62•如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底P面ABCD，P1AB二BC二一AD，ZBAD二ZABC二90。.2（1）证明：直线BC//平面PAD；（2）若APCD面积为2、订，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】（1）（2）V=-x2"2+4）x2朽=4朽.2【解析】（1）在平面ABCD内，因为ZBAD=ZABC=90o，所以BC//AD.又BC匸平面PAD，ADu平面PAD，故BC//平面PAD.（2）取AD的中点M，联结PM，CM.由AB=BC=1AD，及BC//AD，ZABC=90。，得四边形ABCM为正方形，则CM丄AD.2因为侧面PAD是等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PADI平面ABCD=AD，所以PM丄AD，因为PMu平面PAD，所以PM丄平面ABCD.因为CMu平面ABCD，所以PM丄CM.

设BC=x，贝9CM=x,CD二込x,PM=<3x,PC=PD=2x.14取CD的中点N，联结PN，则PN丄CD，所以PN=——x.2因为APCD的面积为2^7，所以-xJ2xx血x=2^7，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，22AD=4，PM=2^3•所以四棱锥P-ABCD的体积V=-x2"十4'x2、込=4<3.32题型三几何体的外接球问题1.在正三棱锥S-ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM丄MN，若侧棱SA二2朽，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积.【答案】36兀【解析】正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1,取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH丄平面ABC,SH丄AB，0AC=BC，AD=BD，.CD丄AB，.AB丄平面SCD，AB丄SC，同理：BC丄SA，AC丄SB，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图（3）-2，0AM丄MN，SB//MN，AM丄SB，0AC丄SB，.SB丄平面SAC，SB丄SA，SB丄SC，0SB丄SA，BC丄SA，SA丄平面SBC，.SA丄SC，故三棱锥S—ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，（2R）2=（2\打）2+（2占）2+（2込）=36，即4R2=36，.正三棱锥S—ABC外接球的表面积是36兀C(3)题-1C(3)题-22•在四面体S-ABC中，SA丄C(3)题-1C(3)题-2A.lhiB.7兀1040C.—兀D.——兀33ZBAC=120A.lhiB.7兀1040C.—兀D.——兀33【答案】D【解析】在AABC中，BC2二AC2+AB2-2AB-BC-cos120。二7,BC=简，AABC的外接球直径为2BC=简，AABC的外接球直径为2r二BCsinZBAC(2R)2=(2r)2+SA2二)2+4二40,S二迥,333.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六9棱柱的体积为8，底面周长为3，则这个球的体积为.4兀【答案】V二丁1【解析】解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a二-，2底面积为s二6•手-1二子，冷二sh二罟h二8，二h=运，r2二（¥）2+（2）2二bR=1，球的体积为V=丁4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为（）【答案】D【解析】根据三视图，还原原图如图所示，A,D面积为（）【答案】D【解析】根据三视图，还原原图如图所示，A,D为棱中点，根据几何体判断R2=12+(2一x4141才兀，故选D解得x二4'R=¥，该几何体外接球的表面积为4衣2-题型四立体几何的计算1.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.-81B.-71C.—61D.-5【答案】D俯视图【解析】由三视图得，在正方体ABCD-ABCD中，截去四面体A-ABD，1111111为（）1A.-81B.-71C.—61D.-5【答案】D俯视图【解析】由三视图得，在正方体ABCD-ABCD中，截去四面体A-ABD，1111111111=三x三a3=a3，故剩余几何体体积326如图所示，设正方体棱长为a，则VA'ABD1为a3-6a3二6a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为1•故选D.66512.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）.B.1+2迈正（主）视图11侧（左）视图C.2+込答案】C如图所示.由图及解析】由该几何体的三视图，在长为2，宽为1，高为1的长方体中还原其立体图形，三视图中所给的数据可知，ZA与AABC为等腰直角三角形，'FA与'PEC为等边三角形,如图所示.由图及PA=PC=AB=BC=\：2，所以四面体的表面积为S=2-xC'2}+2x-xPA=PC=AB=BC=\：2，所以四面体的表面积为S=223.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，12A.3+3n12B—In3312

C-+一n36答案】解析】由三视图可知，半球的半径是丰，体积为音n，四棱锥的26D.1+1体积为3，所以该几何体的