哈工大专业课-x射线第3章衍射原理

第三X射线的衍射方1、衍射图像2、晶体的衍劳厄（Laue）布拉格（Bragg）方3、衍射花样4、衍射的矢5、劳厄方程衍射图像的两个使用X射线研究晶体的结构及其相关问题，主要是利用X射线晶体的X射线衍射当一束X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射，每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与入射波同频率的电磁波。由于这些弹性散射波之间的 作用，使得空间某些方向上波相互叠加，在这个方向上可以观测到衍射线，而另一些方向上波相互相抵消，没有衍射X射线在晶体中的衍射现象，是大量的散射波互相衍射图像的两个要 晶体的X射线衍射包括两个要素别和位向决定（hkl）衍射强度，即衍射线束的强度，取决于原子的种类和它们在晶X射线衍射理论所要解决的中心问题:在衍射现象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系，这个关系的建立依靠一个参数联系--晶面衍射方子、分子，产生散射后次生X射线发生后相互劳厄Laue方和布拉格Bragg方程M.(Maxvon

学资 物 学者 国 劳厄Laue方直线点阵的衍射方向（衍射条件原子直线点 a

入射角散射角即即H为整数(H=0，±1，±2，……)因为

OAPB

aaSaS散射角入射角原子直线点a(coscos0这就是原子直线点阵产生衍射的条件研究衍射方向就是确定α角直线点阵衍射线形因为由次生波出的X射线为球面电磁波，故H原子直线点 HHHaHH

入射角散射角（a）当α0≠90o时，H等于n和－n（n=1，2，3，…）的套圆锥面并不对称HHHHHH（b）当＝90o时，h0的圆锥面蜕化为垂直于直线点阵的平面，这时等于和－的两套圆锥面就是对称的了。HHHHHH（（a）所得到的是一些同心圆（b）般情况下所得到的是一些曲线，在＝时所得到的是一组双曲线。设空间点阵的三个素平移向量为a,b和c,入射述的讨论可知，角α，β和γ应满足下列条件 点阵衍射的条，，代表衍射方设空间点阵的三个平移向量为a，，代表衍射方a(cosα-cosα0)=Hλb(cosβ-cosβ0)=Kλc(cosγ-cosγ0)=LλH，K，L，＝0式中λ为波长，H,K,L均为整数，（HKL）称为衍射指标上式称为劳埃（Laue）方衍射指标和晶面指标不同，晶面指标是互质的整数，衍射指标都是整数不定是互质的。为了区别起见，在以下的讨论中我们用hkl来表示晶面指标讨论劳厄方程中，对于每组（HKL），可得到三个衍射圆锥，只有同时满足劳厄方程组才能出现衍射，衍射方向是三个圆锥面的共交线。另外，α，β，γ不是完全彼此独立，这三个参数直接还存在着一个函数关系：例如当α，β，γ相互垂直时，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1a(cosα-cosα0a(cosα-cosα0)=Hλb(cosβ-cosβ0)=Kλc(cosγ-cosγ0)=Lλ可采用两种办法即：变λ，晶体不动（即α0，β0，γ0不变 劳厄λ不变α0，β0，γ0中一个或两改变 回转晶体法和粉末法3.2.23.2.2布拉格方程的导布拉格方程的讨布拉格父WilliamHenryBragg,1862-WilliamLawrenceBragg（1890-

生于英格兰西部的坎伯 莱德大学任教，1907年，被选进学会，1909年回英国利兹大学年到伦敦大学任教，1935-1940年授予巴黎、、 主要成就：可分为两个阶段，第一阶段在射线，第二阶段即1912推导出布拉格关系式，说明X射线波长与衍射角之间关系，1913年建立第一台X射线摄谱仪，并将晶体结构分析程序化。小布拉格是最年轻 奖获得者1、布拉格方程的导出（1）单一原子面(晶面)上的镜面反任意两个结点a与b上的散射波，在面反射方向上散射波的光程差am-nb= 于是，同相位而得 同理，不论X射线从什么方向入射在对应的‘镜面反射’方向上，原面上所有个结点的散射波能产 （2）相邻两个晶面对X射线的衍根据图示光程差CBBD

线反ACBBD2dsin 式中：d晶面间距，n为整数，为反射级数；为入射线或反射与反射面的夹角，称为掠射角2称为衍射角。

X射线在晶体多个晶面上因此，已经证明：当一束单色平行的X射线照射到晶体时，同一晶面上的原子的散射线，在晶面反射方向上可以相互加强；不同晶面的反射线若要加强，必要的条件是相邻晶面反射线的光程差为波长的整数倍。****X射线在晶体产生衍射的必要条件而非充分条件。有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但不一定出现衍射线，即所谓系统消光。方程的推导中的晶面间距相等的原子面组成。X射线具 性，可以找到表层和内层原子面上射线与反射线都可视为平行光。衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加合成的结果2、布拉格方程的讨选择反反射级面 指衍射角与掠射衍射极1、选择反（重点：与可见光的镜面反射的区别X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之射线的衍射是由大量原子参与的一种散射与现象。只是由X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。（1）一 总结可见光在任意入射角方向均能产生反射，而X射线则只能在有限的布喇格角方向才产生反射。就平面点阵（l）来说，只有入射角θ满足此方可见光的反射只是物体表面上的光学现象，而衍射则是一定厚度内许多间距相同晶面共同作用2、反射级n为反射级数

2dhkl 当晶面间距（d值）足够大，以致2dsin有可能为波长的两倍或者三甚至以上倍数时，会产生二级或多级反射22dhklsinnsin这样，把（HKL）晶面看成为（hkl）的n级反射面，是虚拟晶面（HKL）晶面与（hkl）平行,如果（hkl）的晶面间距是d，n(hkl)晶间距是d/n。引入虚拟晶面，则所有的反射都是一级反射因此，反射级数是针对实际晶面（hkl）而言，对于虚拟晶面（例n(hkl)），只有一级反射3 面 指2dhkln

令

dhkln2dHKL称为反射面或 （HKL）仅仅是为了使问题简化而引入的虚拟晶面 的面指数称 （222）等。当 指数变为晶面指数 4、衍射角与掠射晶晶2dhkl

入射 反射 2，一定，d越小，加大。即5、衍射极

2d，或者d2如果晶面间距d一定，越小，可得到的多级反射就越 衍射极限的物理意义 对于波长一定的X射线（一定），晶体中能发生衍射的晶面数是有限的、得到的衍射线或者衍射斑点的数目是对于一定晶体而言（所有d值固定），在不同波长的X射线例题面心立方晶体（Al），a=0.405nm，用Cu-（=1.54）射线照射问(200衍射线在那个位置出现？220220202a

2dsin2*0.2025sin2

NaCl2.82×10-10对某单色X

2×2.82×10-10 1.46×10-10

31.18思考一面心立方晶体（），m，用u-（4）射线照射问能否使()面产生衍射？要使某个晶体的衍射数量增加，你选长波的射线还是短波的？说明理由。思考题1.一晶体中晶面间距为2.252×10-10m对某单色X射线的布喇格一级反射的掠射20°，求（1）入射X射线的波长，（2）2一简单立方晶胞参数分为0.3165nm使用衍射线中 涉指数（ 涉指数是指H2+K2+L2为最大指数）Intensity(%)

衍射花样和晶体结构的关a=b=c=0.2866nm

0

(b面心立方：(b面心立方：Fe

0

指数与点阵12345689简单立∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨体心立×∨×∨×∨∨×∨×面心立××∨∨××∨××∨结合布拉格方程与面间距的计算可知，波长一定，衍射方向是晶面间距d的函数：

4a2

(H

K

）4）

H2K a2

）c2

4

H(a2

K2L2b2 c2布拉格方程能给出晶胞参数（晶胞大小）与晶体所属晶系（晶胞状）。但是，不能给出晶胞中原子的种类和位置因此，在研究晶胞中原子的位置和种类的变化时，除布拉格方程外，还需要有其它的判断依据。这种判据就是下一章要讲的结构因子和衍射线强度理论。立方点阵

4a2

(H

Ksinsin2:sin212:(H2K2L111m1:m2:sin2 sin21: 2: 3...11sin2 sin2111:( 立方点阵衍射线 指劳厄方程与布拉格方程的一劳埃（Laue）方a(cosα-cosα0)=Hλb(cosβ-cosβ0)=Kλc(cosγ-cosγ0)=Lλα0、β0、γ0α、β、γ是入射线与衍射线与三个基本矢量a,b和c的交角。为波长，相邻原子散射在衍射方向上的光程差为H、K与Lλ。H,K,L均为整数H,K,L＝0，±1，±2，……1，基于劳厄方X方向找一原子，距离原点O为OR=(KL)a;于是O点与R点原子散射线的光程差为(HKL)。同样，在Y轴找一原子S，距离O原子(HL)bZ方向找一T原子，距离O点（HK）c。于是从RT到OHKL显然，从R,S,T出发的散射线，在衍射方向上是同光程的。这就是R,S,T三个结点的晶面，正好处于入射线和衍射线的2，数学推导将劳厄方程平方a2(cos2

2

0

cos2

H0b2(cos20

2cos

cos0

0

Kc2(cos2

2

cos0

0

故，a=b=c。a2[(cos2

cos2

)(cos2

cos2

00000

0

cos

cos0

cos

cos

)]0

(H2K2L2直角坐标系中，方向余弦分别为cos,cos与cos和cos0cos0cos0的两个直线，其夹角的余弦等于cos0

cos

cos0

0

推导见下下000直角坐标系中，任一根直线的方向余弦的平方为1，000cos2

cos2

cos2

cos2

cos2

cos2 。于是上式可简化为：cos0

0

0

cos所 a2(112cos2)(H2K2L2或4a2sin2H2K2L2

a2H2Kd

)2dnd sinn

或者

cos0

cos

cos0

0α0、β0、γ0与α、β、γ是入射线与衍射线与三个坐标轴的夹角，于是cosα0,cosβ0,cosγ0cosα,cosβ,S0与S分别为入射线与衍射线的单位矢量：S0

jcos0S

cos

SS0S Scos（cos0icos

0

0

0衍射的矢量表示和厄尔瓦德图布拉格方程的几何2dHKL

()sinHKL21布拉21

几何表示没有给出入射线、样品位置、晶面取向、衍射线的方向性。要表示出方向性，需要引入衍射矢量表示（方程）。 N S-因此，衍射矢量S-S0必垂直于晶面(HKL)衍射矢量方而设晶面的倒易矢量为：r

lc则s令s

//rCr

……………式中C为常数。将上式两端取绝对值，则s

2

Cr

Cr

Cdhkl由布拉格方程可知

C

s

r，

ssr2dHKL

HKL

/2(衍射方

S/-布拉格方程的几何表这个球称为球’1/dHKL这个值的大小，即矢量OB线的长度。（2）OB衍射矢量方程与劳厄方程一致矢量方程两端同时点乘三个晶体点阵矢量a,b,a

aa

r a

a

Kb

Lc*)同样有

aaasa

a

……………s

b(cos

cos

)

…b s

c(cos

cos0)

…衍射矢量方程与布拉格方程等效*s *矢量S-S0与倒易矢量r*r*对应的面（L）。晶面与r*垂直，并将入射光束S0和反S的夹角平分。因此可将（L）看成是S0与S的反射面，于是按几何关系得到：sS是单位矢量，

2ssin

衍射矢量三角ss02sin2sin

衍射的厄瓦尔德图以X射线波长的倒数1/λ画一球（反射球）X射线沿球的直径方向入

才能产生衍射a*厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示衍射条件与衍射方向反射球中的衍射矢量与倒易矢量倒空间